平面向量中三点共线性质的一个推广与应用

本文给出平面向量三点共线性质的一个推广性质,并例说其应用. 性质 已知向量(→OA),(→OB)不共线,且(→OC)=m (→OA)+n (→OB)(m,n∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是m+n=1. 此性质称为平面向量中的三点共线性质,它是解决平面向量中有关三点共线、两向量共线等问题的常用性质.然而笔者发现,学生在运用其充分性(即由m+n=1(=)A,B,C三点共线)进行解题时,对于m+n=1的情形一般能较好的理解并掌握,而对m+n≠1的情形往往束手无策.是否当m+n≠1时就不能运用该性质进行解题了呢?本文即对此问题进行探究:给出一个推广性质,然后例说其应用.     

向量选择题求解中的几大突破口

随着高考改革的深入,向量在中学数学中的地位也愈来愈显著,学好向量并进行运用,已成为很多同学的共识.那么如何学好向量呢?这就要抓住向量学习中的关键点,抓住它就犹如抓住向量学习的主线一样,其他问题也就迎刃而解,因此本文试以选择题为例来加以说明.     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下：     

向量方法在平面几何中的应用

平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1　利用两个非零向量a、b共线的充要条件a=λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题.　　例1　如图1,一…     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa,由于零向量与任一向量共线,故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是:存在不全为0的实数λ_(1),λ_(2),使得     

妙用三点共线求解向量中的最值问题

<正>一、向量问题中的三点共线结论应用向量的定比分点公式与平面向量唯一分解定理,不难证明关于三点共线的如下结论:结论设■是平面内两个不共线的向量,则三点A、B、P共线的充要条件是存在唯一的实数λ和μ,使得■,且λ+μ=1.这个结论经常用在涉及向量试题中的最值(取值范围)问题.在实际解题过程中,当题目中没有明显的预示可以使用该结论时,需要我们善于挖掘题目隐含的条件,观察图形,构造出满足使用该结论的条件,这是运用该结论的一     

学习向量请注意

向量与同学们以前学习过的许多数学概念截然不同 .向量融数、形于一体 ,它不仅有数的形式 ,而且还有形的特征 .为了帮助同学们更好地学习向量知识 ,笔者以下给出在学习向量时需要注意的几个问题 ,供同学们学习中参考 .注意 1.要区别向量a与实数a向量a既有大小又有方向 ,它的大小就是向量a的模 (长度 ) ,记作｜a｜ ,｜a｜是一个非负实数 .两个向量不可以比较大小 ,它们之间的关系只能说是相等或不相等 ,平行或不平行 ,共线或不共线 ,a>b或a ｜b｜表示向量a的长度大于向量b的长度 .而…     

利用向量证明共线与共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题,是现行高中教材中的基本要求.有些学生对这类问题无从下手,原因就在于对利用向量证明三点共线和四点共面的实质不理解,解决这类问题关键就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和向量共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论。     

妙用向量解立体几何题

以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1　 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析　本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的…     

例说平面向量与解析几何的结合

高考命题注重知识的整体性、综合性 ,常在知识的交汇处设计试题 .高中新教材增加了平面向量这一新内容 ,由于平面向量既具有几何形式 ,又具有代数形式 ,因而它成为中学数学知识的一个交汇点 ,备受命题者的青睐 .平面向量与解析几何的结合将是高考命题的趋势 .本文通过例题说明用平面向量解决解析几何问题 ,使二者达到完美结合 .一、基本知识( 1)向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 b =λa.推论 :OA ,OB是平面内两不共线向量 ,对于向量OP总存在 a,b满足 :OP =a OA + b OB( a,b∈ R) ,则A、P、B…     

两向量共线的条件在解题中的应用

共线向量是平面向量中的一个基本概念,苏教版新教材《数学4(必修)》在介绍这一概念时讨论了两向量共线的条件,因此,利用共线向量,可改进研究平面图形的一些方法.首先,教材中以例题的形式证明了如下结论:C为直线AB上一点,AC=λCB(λ≠-1),则OC=OA1 λλOB.容易进一步证明这一结     

(?)∥(?)(?)AB∥CD?（高一、高二、高三）

平面向量中,将方向相同或相反的非零向量定义为平行向量,平行向量也叫做共线向量.也就是说平面几何中的“平行线段(直线)、共线线段(包括重合线段)”在平面向量内看做一个概念,平行即共线,共线即平行.平面向量中“∥”与平面几何中“∥”涵义不同,即AB∥CD与AB∥CD是不等价的.     

用共线向量定理的推论解求值问题

<正>在人教版高中数学新教材第二册(下B)中介绍了空间向量的共线定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得a=λb.由这个共线定理,我们可以推导出它的一个推论:设OA,OB是平面内不共线的两个向量,则点A,B,P三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使得OP=xOA+yOB(x+y=1).在近几年的高考备考中,发现有不少的题目,如果能够充分用好这个共线定理的推     

从一道例题说开去

向量共线是高中阶段的重要内容,也是解决几何平行问题的重要依据.判断向量的共线条件是解决向量共线问题的重要一关,本文从教材的一道例题说起,逐步剖析向量共线的条件,并分析了在高考题中的灵活应用,给我们应对高考指明了方向.     

平面向量基本定理的一个推论的应用

人教A版必修四第94页介绍了平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于一平面内的任意向量e1、e2a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.平面向量基本定理指出,平面内任何向量都可以沿两个不共线的方向分解为     

关于两个向量共线的充要条件之我见

人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书(必修)(即实验教材或叫新教材)关于两个向量平行(也称共线)给出了两个充要条件.本文针对这两个充要条件的教学谈点看法.1关于在实数与向量的积的意义下的充要条件在定义了实数与向量的积的意义后,课本给出了两个向量共线的充要条件,即以下定理1.定理1向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa在教学实践中,笔者发现:这个定理的关键词,即非零向量a,是解题出错之所在.事实上,如果缺少了这个条件,那么当向量a=0时,与向量a共线的非零向量b不可能满足b=λa.即定理1成为定理2向…     

浅谈共线与共面向量的教学策略

共线向量与共面向量是空间向量中的两个重要概念,对于这两个概念学生容易接受和理解,但是有关共线向量、共面向量的定理及推论学生则较难理解和掌握.因此,它是空间向量教学中的难点.笔者在教学过程中采取了灵活的教学策略,化难为易,使学生轻松自如地把握了内容的实质,为后续学习打下坚实基础.实施方案如下:     

妙用“λ”解题

在高考试题中,经常出现以"λ"搭建的解析几何试题,如果在题中它不是起畏助性作用(即只起共线向量的作用)而是必须用到它时,若在解题中合理运用"λ",不仅可大大减少运算,还可以对解析几何问题有更深层次的理解,抓住解决问题的规律.通过下面几例希望能把握此类题其解题规律.     

深思才有所得

人教社2001年版的《数学(试验修订本·必修)》教材高中第一册(下),5.3“实数与向量的积”这一节给出了两个定理:共线向量定理和平面向量基本定理,此后课本安排了一个例题:例5如图(此处图略),OA,OB不共线,AP=tAB(t∈R),用OA,OB表示OP.课本推得的结论是OP=(1-t)OA+tOB.这个例题仅指出:OP=(1-t)OA+tOB是A,B,P三点共线的必要条件,不难证明:OP=(1-t)OA+tOB也是A,B,P三点共线的充分条件.于是我们得到课本两个定理的一系列推论:推论1若平面向量OA,OB不共线,则点P与A,B共线的充要条件是:存在实数t,满足等式OP=(1-t)OA+tOB.不难…     

《平面向量》学习指导

一、知识要点和学习要求 1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法. 3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的