圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

利用极点极线探究从“圆”开始的定点问题

<正>在圆锥曲线问题中常常考察定点定值问题,很多定点定值问题隐藏在相关几何关系中．圆具有完美的对称性以及丰富的几何性质,我们可以考察圆的相关问题,再猜想其在一般圆锥曲线中的相关结论．本文以一道圆中的定点问题为起点,利用极点极线理论发掘一般圆锥曲线中的定点问题．一、试题的分析与求解题目过直线x+y=4上一动点M,向圆O:x²+y²=4引两条切线,A,B为切点,求圆C:(x+3)²+(y-3)²=1上的动点P到直线AB距离的最大值．(华中师大一附中2021-2022学年高二期考题)．     

圆锥曲线中的定值问题

正圆锥曲线中的定点定值问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点。解这类题的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积等,这些不受变量所影响的一个值就是定值。具体要求就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量得到定值。下面就以今年的几道高考真题为例,揭示一般做题方法。     

圆锥曲线中一类定点定值问题

<正>圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的重、难点,知识综合性强,对学生逻辑思维能力与计算能力等要求都较高,此类问题的解决过程渗透了函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想方法.笔者最近遇到一类与斜率相关的定点、定值问题,得到了一般性结论,与诸位共赏.性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过点P(m,n)分别作斜率为k1、k2的动直线AB、CD与椭圆依次交于A、B、C、D四点,若     

巧解圆锥曲线定值问题

对于圆锥曲线中的定值问题 ,学生在解答时常常会感到无从下手 .这里介绍几种巧妙方法 ,供读者参考 .一、巧用韦达定理圆锥曲线方程是二元二次方程 ,增加一个条件即能消去一个变量 ,化为一元二次方程 ,从而可用韦达定理解决有关问题 .　　【例 1】　已知直线l与x轴正向交于定点P(mP ,0 ) ,(m >0 ,m为常数 ) ,直线l与抛物线y2 =2Px(P >0 ,P为常数 )交于A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 )两点 ,求证 :x1x2 ,y1y2 为定值 .证明 :设直线l的方程是x =ay+mP ,代入抛物线方程得 :　y2 =2P(ay+mP)即　y2 -2Pay-2mP2 =0显然 ,由韦达定理得 :y1y2 =-2mP2 为定…     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

例析圆锥曲线中直线过定点问题的解法

<正>圆锥曲线中的定点问题一直是高考中的热点问题.由于在学习圆锥曲线知识时,教材对这类问题没有作专门介绍,因此定点问题就成了数学高考中的难点之一.本文探究一则圆锥曲线中直线过定点问题的多种解法,以期抛砖引玉.问题已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为槡32,且过A(0,1).(1)求椭圆方程;(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N,求证:直线MN恒过过定     

从轨迹的角度审视圆锥曲线中的一类隐性定点

圆锥曲线中的定点问题是教学中多次遇到的问题,也是高考中经常涉及的题型,蕴含着动静依存的辩证关系,反映了变量在变化过程中的特定状态.文[1][2]相继给出了椭圆、抛物线中内接直角三角形斜边恒过定点的性质: 性质1 已知点G(x1,y1)为椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一定点,M、N是椭圆上异于点G的两不同动点,且满足GM⊥GN,则直线MN恒过定点(c2x1/a2+b2,-c2y1/a2+b2).     

探究圆锥曲线的一类定点定值问题

例题:如图1,设P(x0,y0)是曲线C:x2 =4y上的一个定点,过点P任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点A、B. (1)证明:直线AB的斜率为定值; (2)记曲线C位于A、B两点之间的那一段为L.若点E在L上,且点E到直线AB的距离最大,求点E的坐标.     

圆锥曲线弦的一个“两定”命题

<正>1 试题呈现及分析已知P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点,F2(1,0),线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q,当点P在圆F1上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)记曲线C与x轴交于A、B两点,M是直线x=1上任意一点,直线MA、MB与曲线C的另一个交点分别为D、E,求证:直线DE过定点H(4,0).此题是皖江名校2019届高三5月联考理科试题,考查圆锥曲线方程和直线过定点问题.试     

巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

<正>定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题,其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M),则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.一、几个结论已知椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)上的一定点M(x₀,y₀)和两动点P,Q(异于点M),则有:     

圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质

最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2…     

有关抛物线的定值问题

一、抛物线定值问题的特征圆锥曲线的定值问题具有如下几个特征:角度是定值;长度是定值;曲线或直线过定点;坐标之和或坐标之积是定值;曲线的面积是定值;两个动点关于某一个定点对称. 二、抛物线定值问题的处理方法     

对圆锥曲线的一类定值问题的再思考

文[1]研究了圆锥曲线的一类定值问题,得到了几个重要的结论,读后深受启发.笔者曾想,能否把圆锥曲线上的一个定点变为两个定点,即如果圆锥曲线E上有两个定点P,Q过P,Q作倾斜角互补的两条直线PA,QB(PA,QB的斜率存在),分别与圆锥曲线E交于异于P,Q的点A和B,那么直线AB的斜率是否为定     

圆锥曲线的两类定值性的推广与统一

文[1]给出圆锥曲线的一个奇妙性质:过圆锥曲线Г上的一个定点P任作两条互相垂直的弦PM,PN,则直线MN必过定点(有穷点或无穷远点).无独有偶,文[2]也得到圆锥曲线的一个类似的定值性质:过圆锥曲线Г(坐标轴与曲线的对称轴平行)上的一个定点P任作两条角互补的弦PM、PN,则直线MN必有定向.     

例析圆锥曲线定值、定点问题

作为高考中重要考点,圆锥曲线有许多丰富多彩而且生动有趣的性质,其中定点、定值问题则是诸多性质中的一条主线,下面介绍圆锥曲线定值定点问题中的几种常见题型,供同学们参考。一、与切点弦有关的定点问题例1已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足HP·PM=0,     

圆锥曲线两个性质的合并推广

文[1]给出圆锥曲线的一个有趣的性质:在圆锥曲线(等轴双曲线除外)的焦点所在的对称轴上必存在一定点,过该定点的弦被定点分成长为m,n的两部分,使得m12+n12为定值.实际上椭圆、抛物线还有一个有趣的性质:过焦点的弦被焦点分成长为m,n的两部分,则1m+1n为定值.文[2]探讨了上述第一个性质及推广,本文从另一个角度探索其本质.我们注意到焦点也在对称轴上,那么过对称轴上其它点的弦,究意有什么性质呢?笔者通过对该问题的探究,把圆锥曲线的这两个性质合并推广到一般情况.命题1设过定点P(q,0)(q≠0)的直线交抛物线y2=2px(p>0)于两点P1,P2,记│PP1│=m,│PP2│=n,则m12+n12+│2q(│p-mq·)n为定值.证明设P1P2方程为x=ty+q,代入y2=2px得y2-2pty-2pq=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则y1+y2=2pt,y1y2=-2pq.而m2=│EP1│2=(1+t2)y12,n2=│EP2│2=(1+t2)y22,所以1m2+n12+│2q(│p-mq·)n=(1+t2y)21·+(yy221y2)2+(1+t22()p│-qqy)1y2│=│q│...     

浅谈参数法求解定点问题

<正>证明直线过定点的基本思想是用参数表示直线方程,方程组的解坐标就是直线所过的定点,因此参数法是我们求解直线过定点问题的一种有效方法。例题已知椭圆C:x²/4+y2/4+y²=1,过椭圆右顶点A的两条斜率之积为-14的直线分别与椭圆交于点M,N。问:直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标;若不过定点D,请说明理由。解法一:直线MN恒过定点D(0,0)。     

删繁就简三秋树,领异标新二月花——探求圆锥曲线中的一组优美性质

<正>圆锥曲线的性质缤纷多彩,定值问题更是层出不穷。本文将对圆锥曲线的一个定值问题进行证明,望与各位读者共同分享探索的乐趣。定理:设Γ是一条圆锥曲线,过定点P(不在Γ上)作两条相互垂直的直线,交Γ于     

抛物线过焦点弦特性

抛物线是圆锥曲线的一种,其离心率e=1,具有很多特有的性质.引例:已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线焦点的一条直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,o为坐标原点.在这个共同的条件下,有许多定值问题.下面一一介绍.定值1x1x2=p2/4;y1y2=?p2.证明当直线斜率存在,设直线方程()(0