“定曲线”与“动直线”——从2017年一道高考函数题说起

<正>1题目已知函数f(x)=x-1-alnx,且f(x)≥0,求实数a的值.(2017年课标Ⅲ卷第21题)2分析本题是常见的一次函数与对数函数的复合型函数问题,利用导数研究其极值和最值,再根据f(x)≥0在(0,+∞)恒成立?f(x)_(min)≥0(x∈(0,+∞))可以求解.考虑到f(x)≥0可以转化为alnx≤x-1,     

用导数法解不等式恒成立问题

不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题.这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理.而导数是研究函数性质的有力工具,因而将不等式f(x)≥g(x)恒成立转化为F(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立问题,再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值,就顺理成章了.一、利用函数的单调性例1(2006年全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(x 1)ln(x 1).若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.解:构造相应函数g(x)=(x 1)ln(x 1)-ax,于是不等式f(x)≥ax转化为g(x)≥g(0)对x≥0恒成立的问题.对g(x)求导数,得g′(x)=ln(x 1) 1-a.令g′(x)=0,解得x=e…     

不等式恒成立问题的求解策略

一、判别式法对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x)≥0恒成立,则{a>0,Δ≤0;若f(x)≤0恒成立,则{a<0,Δ≤0.例1奇函数f(x)是R上的减函数,若对任意x∈R,有f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立,求k的取值范围.解析由已知得:     

高中数学恒成立问题的一般解法

高中数学复习中的恒成立问题成为历年高考的一个热点。恒成立问题解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。一、一次函数型(略)二、二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0驻<,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a恒成立,求a的取值范围。分析:题目中要证明f(x)≥a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数…     

让方法的选择更合理——例说函数最值法和分离参数法

<正>含参变量的不等式恒成立、存在性问题在高考试题中经常出现,这类问题主要采用函数最值法和参数分离法来解决.最值法是利用f(x,a)≥0(≤0)恒成立(a为参数,x∈D)等价于x∈D时f(x,a)min≥0(f(x,a)max≤0);而参数分离法是将f(x,a)≥0(≤0)在x∈D时恒成立,转化为h(x)≥g(a)(x∈D)恒成立,然后求出h(x)的最小值m,转化为解关于a的不等式g(a)≤m.什么时候选择函数最值法?什么时候选择分离参数法?笔者试通过几例略加说明,以期对我们的解题有所启发.     

巧用最值定义 简解高考压轴题

2012年高考数学湖南理科卷第22题如下:已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(Ⅰ)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(Ⅱ)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1相似文献   

证明含“lnx”的不等式的一个小技巧——分离出“lnx”

<正>例1(2010年高考全国卷I理科第20(2)题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明:(x-1)f(x)≥0.证法1可得f′(x)=1x+lnx>0,(f′(x))′=x-1x2.进而可得f′(x)min=f′(1)=1>0,所以f(x)是增函数.当00;当x≥1时,得f(x)≥f(1)     

解题来源于猜想——一道高考试题解法再探究

2010年课标全国卷理科第21题:设函数f(x)=e~x-1-x-ax~2.(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.解析:(Ⅰ)略;(Ⅱ)f′(x)=e~x-1-2ax,由(Ⅰ)知e~x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤1/2时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x     

莫让浮云遮望眼 拨云见日现真颜——2017年高考同根题探源

<正>2017年高考大多数省份采用全国卷,少数地区仍自主命题.笔者发现全国卷三和浙江卷的压轴题有相似之处,故撰文略作探究.一、题根探源试题1(2017年全国高考题)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,     

浅析不等式恒成立的求解方法

近年来,高考试卷中经常出现不等式恒成立的问题,不等式恒成立与函数的最值即甬数图象的最值点密切相关,也就是利用极端思想的原理.不等式f(x)≥a恒成立,其实质就是f(x)的最小值大于或等于a,不等式f(x)≤a恒成立,实质是f(x)的最大值小于等于a.不等式f(x)≥g(x)恒成立实质是f(x)-g(x)的最大值大于等于0,不等式f(x)≤g(x)恒成立,实质是f(x)-g(x)的最大值小于等于0.这类问题有时可以用图象法解决.     

不等式成立问题

不等式成立问题内容丰富、综合性强、难度大、与各部分知识联系紧密,是历年高考考察的重要内容.不等式成立问题概括起来有恒成立、能成立、恰成立三类问题.我们看下面的例子:例1(2000年上海卷)(1)已知f(x)=x2 2x ax,对任意x∈[1, ∞),f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知f(x)=x2 2xx a,对任意x∈[1, ∞),f(x)的值域是[0, ∞),求实数a的取值范围.分析本题第(1)问是一个恒成立问题,由于x≥1,f(x)=x2 2xx a≥0恒成立,则此问题等价于φ(x)=x2 2x a≥0(x≥1)恒成立,又等价于x≥1时φ(x)的最小值大于0恒成立.由于φ(x)=(x 1)2 a-1在x≥1时为…     

巧代妙证一道高考压轴题

<正>题目(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x_0,且e~(-2)相似文献   

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

一道周期函数例题的一般情形

例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数f(x)满足f(x a)=1/2 √f(x)-(f(x))2,求证:f(x)是周期函数. 证明由f(x a)≥1/2在x∈R时恒成立,得f(x)≥1/2在x∈R时恒成立.     

利用充分条件简化一类含参恒成立问题

1方法运用该方法常用于以下两类情况,我们先来探究它的灵活运用.1.1若f(x)≥0(含参数)在x∈[m,+∞)上恒成立,且f(m)=0例1 (2014年陕西理数21题简编)已知f(x)=ln(x+1),g(x)=xf’(x),若x≥0时,f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

用定积分直接简证高考理科压轴题

2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2. 另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0). 设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0).     

构建一个简单结论,简解一类导数难题——一类高考导数压轴题的逆否转化解法的改进

正文[1]通过对近六年的新课程高考卷中"已知含参a的不等式f(x)≥g(x)(x≥0)恒成立,求实数a的取值范围"一类导数压轴题的研究分析,给出了解决这一类问题的一种有效办法"逆否转化法",运用这种方法解题分3步:第1步(求充分性):由于题目隐含f(0)=g(0),故(?)·x≥0,f'(x)≥g'(x)(?)x≥0,f(x)≥g(x),由f'(x)≥g'(x)(x≥0)恒成立得出a的范围M(充分条件);第2步(验必要性):证明"(?)x≥0,f(x)≥     

赏析近年“华约”数学试题

例1(2012年清华保送生)f(x)=lnex-1/x,a1=1,an+1=f(an). (1)求证:exx-ex+1≥0恒成立; (2)试求f(x)的单调区间; (3)求证:{an}为递减数列,且an＞0恒成立. 解析:(1)令g(x)=exx-ex+1,则g'(x)=exx. 当x＜0时,g '(x)＜0;当x＞0时,g'(x)＞0. 所以g(x)在(-∞,0)内为减函数,在(0,+∞)内为增函数.所以g(x)≥g(0)=0,即exx-ex+1≥0恒成立.     

一道数学问题的解答错误引起的教学思考

<正>在高三的复习迎考教学中,我们遇到了一个解法正确,结果错误的不等式恒成立问题,即后面的题目,找出错因后引出了一些思考.题目已知函数f(x)=lnx,g(x)=e^x,其中e=2.71828…是自然对数的底数.(1)若函数Φ(x)=f(x)-(x+1)/(x-1),求Φ(x)的单调区间;(2)若x≥0,g(x)≥kf(x+1)+1恒成立,求实