最值问题简解探源

<正>1试题呈现答案比较(2016-2017江苏省苏北四市高三联考试卷第14题)已知函数f(x)=|x²-4|+a|x-2|x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是__.参考答案1因为函数f(x)的最大值为0,故函数f(x)≤0在-[3,3]上恒成立,从而     

对一道CMO试题的讨论

题目 给定整数n≥2.设n个非空有限集A1,A2,…,An满足: |Ai△Aj|=|i-j|(i、j∈{1,2,…,n}), 规定 XAY={a|a∈X,a(∈)Y}U{a|a∈y,a(∈)X｝. 求|A1|+|A2|+…+|An|的最小值.[1] （2013,中国数学奥林匹克） 文[1]给出的参考解答,采用配对思想, 简洁有效地得出了所需的下界估计.下面给 出另外两种解法.     

两个新的广义勾股数组

文[1]介绍了拉氏广义勾股数组，并给出一个新的数组：[18，19，…，34|35，36，…，42]；文[2]谓之[2n 1|n]型；并试图证其唯一性而未果，本文沿用文[2]的方法，又找到2个．设x 1为第一个数，求[n k|n]型广义勾股数，则     

对一类绝对值问题的探究

<正>含绝对值的问题常出现在高考和竞赛试题中,处理此类问题常规方法有零点分类讨论去绝对值、应用绝对值的几何意义、借助绝对值三角不等式等.这些办法虽然易明确解题思路,但过程较繁琐,计算量大,降低了解题效率.本文将介绍一个结论,来处理此类问题.结论令f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+…+|x-a_n|,a_1≤a_2≤…≤a_n(n∈Ν).     

关于正定厄米特矩阵的几个不等式

本文推广了文献[1]、[3]给出的不等式,得到以下结果:(1)设Ai(i=1,2,…,k)都是n阶正定或半正定厄米特矩阵,p 1n,则|A1+…+Ak|p |A1|+…+|Ak|p;(2)设Ai,Bi,…,Ci(i=1,2,…,k)都是n阶正定或半正定厄米特矩阵,α,β…,r都是正实数,且α+β+…+r 1Ai｜α·｜Ai｜α·｜Bi｜β…｜Ci｜r ｜∑kn,则∑ki=1i=1Bi｜β…｜∑kCi｜r.｜∑ki=1i=1     

一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

绝对值的几何意义与一类代数式最小值的求法

|x-a|(a 是常数,并称为零点)的几何意义:在数轴上,动点 x 与定点 a 的距离.求:|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n|(a_1,a_2,…,a_n 是常数,并称为零点)的最小值的几何意义:在数轴上,确定动点 x 的位置,使它     

一道流行难题的解法研究

1　一道流行难题文 [1 ]所讨论的所谓“一道流行难题”是指下述问题 :设二次三项式ax2 bx c在区间 [0 ,1 ]上的值的绝对值不超过 1 ,试求 |a| |b| |c|的最大值 .该文给出了这道流行难题的一种错误解法和一种正确解法 ,并将原问题进行了一般化的推广 .读罢该文深受启发 ,但是该文给出的一种正确解法中引用了文[2 ]中的一条不常见的引理并且借助了几何直观 ,显得有点儿迂回曲折 ,因此觉得寻求这一道流行难题的更直接的解法是有意义的 .2　一种错解及其错因分析今将文 [1 ]给出的一种错解重新整理如下 :由题设条件显然有f( 0 )≤ 1 ,f( 1 )≤…     

一类无理函数值域的新求法

文 [1 ],[2 ]各用一种方法介绍了形如函数 f( x) =ax2 + b- x( x≥ 0 ,a>1 ,b≥ 0 )(下称函数 )的最小值的求法 ,文 [3]用三种不同策略研究了比函数 更一般的函数f( x) =m x2 + 1 + nx(其中 mn<0 ,且 | nm|<1 ) (下称函数 )的值域 .本文再给出函数 的值域的一种新求法 .用待定系数法将 f( x)变形为f( x) =m+ n2 ( x2 + 1 + x) + m- n2( x2 + 1 - x) .( 1 )若 m>0 ,n<0 ,则由 | nm| <1得- m0 ,m- n2 >0 ,又　　 x2 + 1 + x>| x| + x≥ 0 ,x2 + 1 - x=1x2 + 1 + x>0 ,故由基本不等式得　f( x)≥ 2·m+ n2 ( x2 + …     

round函数在几何画板中的应用

<正>文[1]、文[2]给出了用几何画板绘制分段函数图象的方法,其基本方法是引入符号函数sgn(x):若分段函数f(x)在任意区间(ak,bk)的表达式为fk(x),则其可表示为f(x)=     

广义勾股数组一个猜想的解决

文[1]指出,(18,…,34|35,…,42)广义勾股数组(以下按汉语拼音记为 GGS),并问这类 GGS 有无一般形式?文[2]称这类 GGS 为[2n+1|n]型,并认为(18,…,34|35,…,42)是[2n+1|n]型 GGS 中唯一的.事实上,(60,…,110|111,…,135)也是[2n+1|n]型 GGS,可见并不唯一.出错之因是由于误认为一个多项式,只有它是完全平方式时,其值才可能是平方数.比如 x+1,并非完全平方式,但当 x=8时,x+1=9是个平方数.下面回答“除拉钦斯基给出的 GGS 的一般形式外,有无其他 GGS 的一般形式”的问题.设(n,…,n+a|n+a+1,…,n+b)为 GGS,记 S_m=i~2,则 S_(n+b)-S_(n+a)=S_(n+a)-S_(n-1)①     

判断两个增函数(减函数)图像的公共点个数时要慎重

<正>题1(文献[1]第21页第7题)已知0(|x|)=|log_ax|的实根个数是().A.2 B.3C.4D.与a的值有关文献[1]第49页给出的参考答案是:A.分别画出当0(|x|)与y=|log_ax|的图象如图1所示,由数形结合可知,它们的交点个数为2,所以方程a(|x|)与y=|log_ax|的图象如图1所示,由数形结合可知,它们的交点个数为2,所以方程a^(|x|)=|log_ax|的实根个数也是2.     

再论周期函数与函数方程

文[1]研究了满足一类特殊函数方程、以2入为周期的函数f的周期性问题,给出了四个定理.文[2]在文[1]的基础上研究了文[1]中前三个定理的内在联系,并对文[1]的函数方程作了推广.本文对上述两篇文章的结果作了更进一步的推广——在函数方程方面给出了更一般的函数方程;在周期性万面,考虑以kλ为周期情况.     

源于中垂线方程的两个复数命题

1　问题的提出文 [1]有命题 :设 z,w∈ C且 z± w≠ 0 ,则 z wz- w为纯虚数 | z| =| w| .文 [2 ]利用文[3]的方法将其推广为 :设 z,w1 ,w2 ∈ C,且 z≠ w1 ,w2 ,则 z- w1 z- w2 为纯虚数 z- w1 w22 =| w1 - w2 |2 ,这里提出的问题是 :文 [3]的方法中隐含着什么 ?2　结论及解释经研究 ,文 [3]用的是文 [4]的命题 ,即文[1]推论 4:z∈C,a∈R,且 az≠ 0 ,则| z a| =| z- a| z为纯虚数 .其实 ,该命题还可作如下深化 :定理 1　设 z,w∈C,w不为纯虚数且 z· w≠ 0 ,则 | z w| =| z- w| z为纯虚数 .证明　 | z w| =| z- w| | z w|…     

关于S_*中函数的开始多项式

<正> 则称f(z)为β级凸像函数,记其全体为k_β。特别地,k_0=k。 文[1]证明了:若f(z)∈S_*,σ_n(z)为f(z)的开始多项式,则i)当n≥2时,     

一类绝对值函数的最值问题——2015年重庆卷理科第16题解析

<正>对高考试题的研究与思考是一项极有价值的工作,也是提高专业水平的有效途径,2015年重庆市高考数学理科试题第16题考查了一次绝对值函数的最值问题,题目如下:1提出问题例若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的     

一道绝对值问题的多角度思考

绝对值是一个重要概念,细细思考,规律多多.①|a-b|的几何意义使得问题的处理简明快捷,②函数y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n|的图象让问题处理直观明了,③运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|求最值,易于理解.     

对第二个猜想不等式的再推广

文[1]末提出三个猜想不等式,其中第二个为:若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则a/（b+c）+文[2]通过"构造函数,化曲为直"的方法,对①式给予了证明之后,将它推广为:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=1的正数,则文[3]通过"构造函数,判断函数在区间上的凹凸性,再利用琴生不等式"的方法,先对①式给予了证明,然后把它推广到一般情形:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=A的正     

放缩法与绝对值不等式

放缩,是证明含绝对值不等式的重要手段,主要依据是:|a+b|≤|a|+|b|（或推广为|a₁+a₂+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…|a_n|）,具体应用此式时,要注意等号成立的条件.     

Euler不等式加强式的改进及逆向

176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理　 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明　 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + …