spq多项式在数学竞赛中的应用

<正>令s=x+y+z,p=xy+yz+xz,q=xyz,则三元轮换对称式f(x,y,z)都可以用s,p,q表示。本文举例说明spq代换在数学竞赛中的应用。1一组常见的spq恒等式(1)x²+y²+z²=s²-2p;(2)(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)·(x+y)=s²+p;(3)x³+y³+z³=s³-3sp+3q;(4)(x+y)(y+z)(z+x)=sp-q;(5)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=sp-3q;(6)x²(y+z)+y² (z+x)+z² (x+y)=sp-3q;(7)x²y²+y²z²+z²x²=p²-...     

对一道竞赛题答案的质疑与探究

<正>题目(2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题)(1)求证:对于任意实数x、y、z,都有x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x2≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥k(xy+yz+zx).试证明你的结论.问题(1)比较简单,在此略去.对于问题(2),网上传出标准答案,摘录如下:     

例谈双切线问题的解题策略

<正>切线问题是高中数学中的一个重要考点,主要涉及解析几何和函数与导数的相关知识.从近几年的高考、竞赛、自主招生等各类考试来看,涉及一条(或多条)曲线的两条切线的问题(简称双切线问题)已逐渐升温,成为不可忽视的热点和亮点而备受瞩目.本文结合几道经典考题,谈谈双切线问题的求解策略,供大家参考.一、利用圆锥曲线的切线方程现行的高中数学教材中,给出了经过圆x²+y2+y²=r2=r²上一点M(x_0,y_0)的切线方程为x_0x+     

优美对称的完美表达 相等不等的精彩演绎——两道全国联赛题的统解与猜想

<正>2017年和2018年全国初中联合竞赛填空压轴题均以二元三次方程为约束条件命制.试题形式简洁,结构神似,内涵丰富,颇有研究价值.一、赛题呈现和比较(1)(2017年)若实数x,y满足x³+y3+y³+3xy=1,则x3+3xy=1,则x²+y2+y²的最小值为___;(2)(2018年)若实数x,y满足x2的最小值为___;(2)(2018年)若实数x,y满足x³+y3+y³+(1/4)(x+y)=(15)/2,则x+y的最大值为___.赛题形式简洁优美,貌不同实神似.不同的轮换对称式巧妙地融入条件和求解的结论之中,增强了视觉效果和可操作性,预留了较     

竞赛中的数列

数列在中学数学中占有很重要的地位,是数学学习的一项基本内容,本文主要介绍了数列在竞赛中的应用.例1（2001年全国高中数学联合竞赛）设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列且b₁=a₁²,b₂=a₂²,b₃=a₃²（a₁2）,又（?）(b₁+b₂+     

利用数形结合拓宽解题思路

<正>高中数学有四大基本思想,数形结合是其中之一。其实数形结合就是抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,使抽象问题直观化。我国著名数学家华罗庚也说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。"例如,如果实数x,y满足(x-2)²+y2+y²=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)2=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)²+y2+y²=3这个圆的方程联立,转化成     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

错在哪里

<正>问题(2013年第9期问题征解147)设正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,求使x3=x-y,求使x²+λy2+λy²≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x2≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,所以x-x3=x-y,所以x-x³=y+y3=y+y³=y (1+y3=y (1+y²)≥2y2)≥2y².即得y2.即得y²x-x2x-x³≤,且x-x3≤,且x-x³>0,结合x>20,得00,结合x>20,得02+λy2+λy²≤1恒成立,分离     

不可忽视的隐含条件

<正>1.忽视变量的范围例1已知x,y∈R且3x²+2y2+2y²=6x,求x2=6x,求x²+y2+y²的最大值。错解:由3x2的最大值。错解:由3x²+2y2+2y²=6x→y2=6x→y²=6x-3x2=6x-3x²/2,所以x2/2,所以x²+y2+y²=x2=x²+6x-3x2+6x-3x²/2=-1/2x2/2=-1/2x²+3x=-1/2(x2+3x=-1/2(x²-6x+9)+9/2=-1/2(x-3)2-6x+9)+9/2=-1/2(x-3)²+9/2。所以(x2+9/2。所以(x²+y2+y²)_(max)=9/2。错因剖析:由(x2)_(max)=9/2。错因剖析:由(x²+y2+y²)_(max)=9/2知x=3,     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

“圆的切线方程”教学节录及反思

<正>一、教学节录1.在问题求解中培养思维能力。师:请大家证明下列例题:已知圆C的方程是x²+y2+y²=r2=r²,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r2,求证:经过圆C上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x+y_0y=r²。(苏教版高中数学必修2第117页习题第11题)(给学生思考的时间,先由学生独立思考,     

一道竞赛题的再推广

原题（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题第11题）作斜率为1/3直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3 2^1/2,2^1/2在直线l的左上方.（1）证明:ΔPAB的内切圆的圆心在一条直线上;（2）略.文[1]将（1）的结论推广到一般情形:     

聚焦联赛中不等式的解题方法

<正>不等式一直是数学竞赛和高考的热点,也是学生学习的重点.但由于其解题方法千变万化,对学生的化归、逻辑推理、发散能力均要求较高,所以学生不容易掌握.本文将从七个方面加以阐述,以便对求解不等式提供帮助.一、公式法例1(2015年山东省预赛题)已知x,y∈[0,+∞)且满足x³+y3+y³+3xy=1,则x3+3xy=1,则x²y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x2y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=(x+y+     

多角度解一道高校自主招生题

2008年同济大学自主招生有这样一道试题:在实数范围内求满足方程组（?）的实数x,y,z的值,对于学习过竞赛的同学来讲,利用柯西不等式解答会比较得心应手,其解答如下:由Cauchy不等式,39=-8x+6y-24z≤（-8）²+6²+（-24）²(1/（-8）²+6²+（-24）²·x²+y²+z²⁽1/x²+y²+z²=676^1/676     

2021年塞浦路斯奥赛不等式试题的推广

试题呈现设x,y,z>0且满足x²+y²+z²=3,求证xyz(x+y+z)+2021≥2024xyz①.式①形式简洁优美,四川成都西华中学的张云华老师给出了如下证明:由基本不等式得x²+y²+z²≥3³√x²y²z²,则3³√ x²y²z²≤3,04√xyz·1/xyz+2020xyz=2024xyz.     

解决曲线中的范围问题

<正>高中数学中的曲线范围问题是一个比较灵活的问题,复杂多变,但万变不离其宗,其总体上可以归结为——找一个不等关系,而不等关系可以从以下三个方面找寻。一、直接由已知给出一个不等关系这类题目的不等关系清晰明确,比较容易从题目中获取。例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A、B两点,若     

聚焦非线性目标函数的最值问题

<正>在高考试题中,线性规划是高频考点,这类问题有两个难点:一是目标函数非线性;二是求线性规划问题中参数的取值范围.本文就第一类问题目标函数非线性,其最值的求法进行分类解析.一、斜率型例1已知实数x,y满足不等式{2x-y≥0,x+y-4≥0,x≤3,则2x³+y3+y³/x3/x²y的取值范围是____.解2x2y的取值范围是____.解2x³+y3+y³/x3/x²y=2·x/y+(y/x)2y=2·x/y+(y/x)².令k=     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x²+y²+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t²=（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(10^1/10).     

一道易错题的多角度解答

<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x²-4xy+5y²+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是___.不少同学是这样解答的：W=(x²-4xy+4y²)+(x²+4x+4)+(y²-2y+1)-2=(x-2y)²+(x+2)²+(y-1)²-2.∵(x-2y)²≥0,(x+2)²≥0,(y-1)²≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时,