小构造 再求导 大智慧——浅谈函数问题中“二次求导”的应用

<正>在解答与导数相关的题目时,通常情况下我们借助"一次求导"就能解决问题,但更多的题型还是需要通过"二次求导"才能让整个推理过程更加完整,让解题思路也更加清晰。我在对函数问题的学习探究过程中,最深的体会就是"二次求导"是极佳的解题方法,这是一个全新的建模思路和解题思想。下面结合笔者的学习经验,对函数问题中"二次求导"的应用作出分析,以供参考。     

一类导数“高档”题的解题“瓶颈”与对策初探

本文通过对一类解、证不等式,方程根的分布,参数的取值范围等综合性强的导数问题解答分析,找到这类题的解题“瓶颈”：导数等于0这个方程解不了．对此．笔者提出两种有效解题对策：一是考虑用二次求导（有时甚至用三次求导）进行分析处理,二是用我们熟悉的数学思想——转化与化归思想,等价处理成另一个不等式、方程、函数．     

巧用导数 高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例

本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论,简述了二阶导数的数学意义,详细介绍了二阶导数在求函数单调性、极值、参数取值范围中的具体应用方法.     

解函数题的两种边缘化方法

边缘化是指这样的知识或方法:在考纲中、课标中没有或无明确提及,在常规题型中少见,在高考中又偶有涉及,又能用教材中的内容解释或与教材内容沾边.高考题几乎年年都有出乎预料的题型与解题方法,这些解题方法常常被冠以"超纲"之嫌,而其中的大多数准确地说,应该是相对于教材(或考纲)的边缘化解题方法.系统地研究高中数学教材的边缘化解题方法,是深化教学研究的途径,有利于吃透高考命题,有利于备战高考的高效复习.结合近几年的高考,解函数题有二种边缘化方法:(1)在解题过程中运用极限工具;(2)同一题中二次或多次求导.     

充分运用条件证题一例

充分运用条件是解题的必不可缺少的步骤,下面的一个比较复杂的例题的解答,完全体现了这一点。 [题目]:已知凸六边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6中,A_1A_2=A_2A_3,A_3A_4=A_4A_5,A_5A_6=A_6A_0。∠A_1+∠A_3+∠A_5=∠A_2+∠A_4+∠A_6。求证:(1)△A_2A_4A_6的面积等于六边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6面积的一半。     

运用数学思想方法解含参不等式

解不等式几乎是每年高考的必考题型、重点常是含参数的不等式,学生们感到很棘手,现举例介绍几种运用数学思想求解的方法.一、分域讨论思想把参数所取值的集合1分成若干个非空子集 A_1,A_2,……A_n(n≥2),使满足(1),A_i∩A_j=(?)(i,i∈N 且i≠j);(2)A_1 ∪A_1∪……A_n=I.分类标准视解题需要     

导函数零点难以求解的几种对策

<正>导数是高考的一大热点和难点,常规的解题思路和模式相对比较固定,但碰到跟常规解法不一样的问题时,学生往往思路就受阻.本文举例说明在遇到导函数零点难以求解、思路受阻时的几种对策.一、单调性问题在用导数分析函数单调性时,如果直接求导但导数等于0的精确解无法得到,解决的对策是多次求导,层层分析(求导一般不超过三次).例1(2007年安徽高考题)设常数a≥0,函数f(x)=x-ln2x+2aln x-1,x∈(0,     

巧用极端假设法解题

极端假设法解题就是将某些复杂的、难以分析清楚的化学问题,假设为极端的问题,使解题过程简洁明了,从而提高解题效率。 例1 在密闭容器中进行A_2(气)+4B(气)(?)2C_2(气)+3D_2(气)的反应,其中A_2、B_2、C_2、D_2的开始浓度分别为0.1mol/l、     

只用圆规作球的直观图

在中学里,有不少学生对作球的直观图感到很困难。这里。我借贵刊一角,向大家介绍一种作球体的直观图的方法.仅供参考。这种作法,方法简单,使用工具较少。其具体作法如下: 一、用圆规作一辅助圆O(设半径为r_o),并分成六等分。其等分点分别为A_1、A_2、A_3,A_4、A_5,A_6(如图甲)。二、分别以A_1、A_2、A_3、A_4、A_5、A_6为圆心,以辅助圆半径为半径,在⊙O的外侧分别画弧,弧的交点分别为B_1、B_2、B_3、B_4、B_5、B_6(如图乙)。     

解排列组合及其混合问题的八种策略

在数学教学中,教师应特别注意解题策略,本文就解排列组合及其混合问题的八种策略谈谈笔者的体会。 策略一,特殊元素优先安排。 对于带有特殊元素的排列、组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。例如:用0、2、3、4、5这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数有多少?分析:因为要求的是偶数,故个位数为偶数,又0不能排在首位,所以0为特殊元素,故应先排。按0排在末位和不排末位分为两类:①0在末位时,有A_4~2个。②0不在末位时,有A_2~1·A_3~1·A_3~1个。故共有A_4~2+A_2~1·A_3~1·A_3~1=30个偶数。     

用二次求导法优化不等式的求解

近年来全国卷及许多省市卷的压轴题是函数、不等式与导数的综合题.这道题综合性强、难度大,如何简化求解?本文就导数的作用进行深入探索,用二次求导法来优化解题.     

实数的分类及其应用

在中学数学里,有些问题的解决要涉及到实数的分类。所谓实数的分类,就是把实数集R按照某一法则分成若干个叫做类的子集A_1,A_2,…,A_n,使得R中的每一个元素属于且仅属于一个类,即A_1∩A_2∩…∩A_n=φ,A_1∪A_2∪…∪A_n=R,那末这些类的全体就叫做对实数集R的一个分类。其应用常见子含参数的讨论问题,解题时将参数的允许值范围A(A是实数集R或R的一个子集)按照问题的特性分成若干个类A_1,A_2,…,A_n,然后进行讨论。     

等差等比数列的推广

1.一个几何例子的启示设AA_1B_1B是梯形,其中AB=a,A_1B_1=a_1.连结二对角线中点的线段记为A_2B_2,则AA_2B_2B也是一个梯形。在这个梯形中,记连结二对角线中点的线段为A_3B_3,则AA_3B_3B也是一个梯形。如此下去,我们来求A_(n+1)B_(n+1)的长度。     

解题之后的反思

有些学生解完题便以为“大功告成”,这是一种不良的学习习惯。解题之后多反思是学好数学的一种有效方法。　　一、反思解题的理论依据解题之后应反思解题过程中所应用的数学知识、技能、方法及各种知识、技能、方法之间的纵横联系。如化简 61 0 =1 61 0 =35 =2 35 =315 1 5,回想解题过程 ,步骤 1应用了二次根式的除法法则 ,即 ab=ab;步骤 2应用了商的算术平方根的性质 ,即 ab=ab;步骤 3则利用分母有理化进行化简。其中步骤 1、2所用的公式是互逆关系。通过题后反思解题过程的知识根据 ,有助于学生进一步理解、掌握知识并熟练运用。　　二、…     

解函数题的两种边缘化方法

系统地研究高中数学教材的边缘化解题方法,是深化教学研究的途径,有利于教师吃透高考命题,有利于学生备战高考的高效复习.解函数题就有两种边缘化方法:在解题过程中运用极限工具;同一题中二次或多次求导.     

求导,求导,再求导

利用导数求解函数的极值、最值是导数的一种重要应用.根据问题解决过程中求导的次数,我们可以把导数的应用进行分类:(1)求导一次可以求解,这类问题较为常见,是高考的常客;(2)求导两次可以求解,这类问题相对较为新颖,在近年的模拟考中已崭露头角,这将是今后高考的新宠;(3)求导三次可以求解,     

物像虚实的简便判断

几何光学中的物和像,包括实物与虚物,实像与虚像。然而,教学实践证明,物像虚实的判断,对于一次成像的情况并不难,但对于二次或二次以上的成像情况确实使不少学生为难。如互成直角的两平面镜之间放一物点A,物点A在两平面镜中得到三个像,如图1所示。对平面镜M_1,A_2是实物还是虚物呢?A_3是实像还是虚像呢?再如图2所示的物体AB通过光的虚实,首先要弄     

利用射影法解异面直线题

利用射影法解异面直线问题,有时可使解法简捷,提高解题速度. 一、求异面直线所成的角设异面直线a,b所成的角为α∈(0°,90°),点A,B∈a,且A,B在b上的射影分别为A_1,B_1,过A_1作A_1B_2(?)AB,连结 A。B.B_2A,B_2B,则α=arccos A_1B_1/AB. 例1 如图,G是单位正方形ABCD的边AB的中点,把△AGD、△BGC沿着GD、GC折起,使A、B重合,求异面直线GD和AC所成的角.     

比较互斥事件与对立事件

一、互斥事件与对立事件的含义与区别互斥事件的含义:在一次试验中,不可能同时发生的若干个事件.互斥事件的概率加法公式:P(A_1∪A_2∪A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3).对立事件的含义:在一次试验中,不可能同时发生但必有一个发生的两个事件.事件A的对立事件一般都记作A.若事     

关于解析几何中一类题目的解法探讨——一种求到二平行直线距离相等的点的轨迹的简便方法

在中等师范学校《几何》第二册第四章第三单元“两条直线的位置关系”这部分教学内容中,涉及到这样一类问题:即求平面内到二已知直线距离相等的点的轨迹,其中有一种特殊情况,即:求到二已知平行直线距离相等的点的轨迹.例:求到二已知直线t_1:A_1x B_1y c_1=0,(A_1、B_1、不同时为零)、t_2:A_2x B_2y c_2=0(A_2、B_2不同时为零)距离相等的点的轨迹方程.我们知道,如果二已知直线相交,则我们所要求的点的轨迹是此二已知直线相交所构成的两组对顶角的角平分线,所以,一般地求解方法是直接由题意出发:①设所求点的轨迹上任意点的坐标(x,y)