一个组合数恒等式的三种证法

一个有关组合数的恒等式是 :C1 n+ 2C2 n+3C3n+… +nCnn =n· 2 n- 1 (n∈N ) .下面给出它的三种不同证法 ,其中第三种证法出人意料 ,简洁优美 ,有绝妙之处 .证法 1　倒序相加法 .设Sn =C1 n + 2C2 n + 3C3n +… + (n-1)Cn - 1 n +nCnn,则Sn =nC0 n+ (n -1)C1 n+ (n-2 )C2 n+… +Cn- 1 n ,两式相加 ,得2Sn =n(C0 n+C1 n+C2 n+… +Cn - 1 n +Cnn)=n· 2 n.∴Sn =n· 2 n- 1 .证法 2　逐项转化法 .mCmn =m· n !m !(n -m) !=n· (n -1) !(m-1) !(n -m) !=nCm - 1 n- 1 ,分别令m =1,2 ,3 ,… ,n并分别相加得 .C1 n+ 2C2 n + 3C3n+…     

巧用组合数的性质求和

正一、利用公式C0n+C1n+C2n+C3n+…+Cn n=2n求和1.直接利用公式例1求和C1n+C3n+C5n+…解由于奇数项之和与偶数项之和相等,因此奇数项之和等于所有项之和的一半.所以C1n+C3n+C5n+…=1/2×2n=2n-1.2.由公式Cr n=Cn-r n进行转化例2求和1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n.解设S=1+2C1n+3C2n+…+(n+1)Cn n,其倒序和为S=(n+1)Cn n+nCn-1n+…+2C1n+1.考虑到Cr n=Cn-r n(0≤r≤n),将以上两式相加得2S=(n+2)C0n+(n+2)C1n+…+(n+2)Cn n=(n+2)·2n,所以S=(n+2)·2n-1     

2005年浙江高考数学卷(理科)第20题别解二则

2005年浙江高考数学卷(理科)第20题:设点An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bx(n∈N),其中an=-2-4n-1/(2n-1),xn由以下方法得到:x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离…,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点An(xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程;     

与二项式系数有关的求和问题

一、赋值法例1证明下列等式:(1)C0n C1n C2n … Cnn=2n;(2)C0n C2n C4n …=C1n C3n C5n …=2n-1.证明:由二项展开式知(1 x)n=C0n C1n·x C2n·x2 … Cnn·xn.(1)令x=1,则(1 1)n=C0n C1n C2n … Cnn.即C0n Cn1 C2n … Cnn=2n.(2)令x=-1,则(1-1)n=C0n-C1n Cn2-Cn3 … (-1)n·Cnn.     

一个奇妙的无理方程(系)的解

~~(上接第39页) M兄＄Bg“e-------x------m二 3(x2-Zx+1)的实数根。 解:由上述结论(8):。。6,m=3 1+/二+丛X6 矿(川=——一一二一二土一上一二二二上=1 2X3 解Xz一ZX+1=1得 xl“0,xZ=2 例4、求方程 .I*r+11。…。111.、。、 V-6-;厂 j-+””’+。卜:十 2(1+tgx) vyb V62 一 1.。、。。__。。=5(1+toX)的买数解。 2“·——、---,、l- M:h七述结论(a):n一1,*一1, ————-—·—、-6”2’ 1+11+4Xt一?-) 4l_.yU_0M;4 1 十r*x=———————————=1 十二D一上三 ZXrt一“ 2 V3 rgx“三 ””””3 x。k刀十4(k。0.1.2,3…….) 6…     

数学奥林匹克高中训练题(4)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.如果一个n面体中m个面是直角三角形,就说这个n面体的直度为mn.如果一个n(n≥4)面体的直度为1,棱数为k,那么,n与k应满足().(A)k=3n(B)k=23n(C)k=34n(D)k=2n图12.如图1,P为△ABC内一点,且满足AP=25AB+51AC.则△PBC的面积与△ABC的面积之比为().(A)21(B)32(C)53(D)523.设函数f(x)=2sinx+π4+2x2+x2x2+cosx的最大值为M,最小值为m.则M与m满足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=4图24.如图2,过双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P.若线…     

探索 启示 改进 延伸——简析2005年数学高考浙江理科卷压轴题

2005年数学高考浙江理科卷压轴题(第(20)题)如下:设点A n(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-12n-1,xn由以下方法得到:x1=1,点P(2x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A(1x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点Pn+(1xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点A(nxn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程.(Ⅱ)证明｛xn｝是等差数列.此题主要考查多项式函数的导数、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.关注知识网络的交汇点,强调知…     

GNP和GDP的数学计算

国民生产总值(GNP)是指一国在一定时期(通常为一年)内所生产的最终产品和劳务的市场价值的总和.通常由国民经济各物质生产部门的净产值(国民收入)、固定资产折旧、非物质生产部门的纯收入这三部分组成.     

试试运用微积分,…(高三)

本文用微积分导出了几个数列的和,希望由此引起同学们对用微积分处理代数、平几、三角、立几、解几问题的关注. 先证明:1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1(x-1)+C3n+3(x-1)2+…Cn+1n+1(x-1)n,由二项式定理,有     

两类联图的边色数

两个不交图G与H的联G+H是指顶点集为V(G)∪V(H),边集为E(G)∪E(H)∪{xy|x∈V(G),y∈V(H)}的图.证明了当n=m+1时,联图Om+Cn是第二类图,否则,Om+Cn是第一类图;当|n-m|=1时,联图Cm+Cn是第二类图,否则,Cm+Cn是第一类图.     

酸碱中和滴定误差的分类例析

做酸(HmR)和碱[M(0H)n]的中和滴定实验,恰好反应时,有: nHmR+mM(OH)n=MmRn+m·nH2O 设酸的物质的量浓度为C酸,滴定时,读取的体积为V酸,碱的物质的量浓度为C碱,读取的体积为V碱,则有: mC酸·V酸=nC碱·V碱. 如用已知浓度的酸滴定未知浓度的碱,则     

知识交汇 考题设计

在知识网络的交汇点设计的高考解答题,运用知识之间的交叉、渗透和组合,是基础性与综合性的最佳表现形式·这个命题原则,在2005年高考试题中得到了充分体现和加强,下面两例就足以说明这一点·【例1】(2005年全国高考浙江省理科试题)设点An(xn,0)、Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-2n1-1,xn由以下方法得到:x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点An(xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离·(1)求x2及C1的方程…     

极限的八种求法

一、先化成商的形式,再求极限例1眼lg(2x4+3x3-1)-2lg(2x2-3)演=()A.1B.lg2C.14D.-lg2解∵lg(2x4+3x3-1)-2lg(2x2-3)=lg(2x4+3x3-1)-lg(2x2-3)2=lg2x4+3x3-1(2x2-3)2=lg2+3x-1x4(2-3x2)2.∴原式=lg2+3x-1x4(2-3x2)2=lg2+0-0(2-0)2=lg12=-lg2.选D.二、先求和,再求极限例2C22+C23+C24+…+C2nn(C12+C13+C14+…+C1n)=()A.3B.13C.16D.6解∵C22+C23+C24+…+C2n=C33+C23+C24+…+C2n=C34+C24+…+C2n=…=C3n+C2n=C3n+1=n(n-1)(n+1)6,n(C12+C13+C14+…+C1n)=n(2+3+4+…+n)=n(n-1)(n+2)2,∴C22+C23+C24+…+C2nn(C12+C13+C14+…+C1n)=…     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

数学奥林匹克高中训练题(82)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.在6个产品中有4个正品、2个次品.现每次取出1个作检查(查完后不再放回),直到2个次品都找到为止.则经过4次检查恰好将2个次品全部找到的概率是().(A)115(B)125(C)51(D)1452.已知a>0,b>0,c>0,α、β∈(0,π).记M=a2+b2-2abcosα+b2+c2-2bccosβ,N=a+c.则M、N的关系为().(A)M>N(B)M=N(C)M相似文献   

数学奥林匹克初中训练题(63)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .若a、b都是质数 ,且a2 +b =2 0 0 3,则a +b的值等于 (　　 ) .(A) 1 999　(B) 2 0 0 0　(C) 2 0 0 1　(D) 2 0 0 22 .设a >0 >b >c,a +b +c =1 ,M =b +ca ,N =a +cb ,P =a +bc .则M、N、P之间的大小关系是 (　　 ) .(A)M >N >P　　 (B)N >P >M(C)P >M >N　　 (D)M >P >N3.△ABC的三边长a、b、c满足b +c =8,bc =a2 - 1 2a + 52 .则△ABC的周长等于(　　 ) .(A) 1 0　 (B) 1 4　 (C) 1 6　 (D)不能确定4 .下面 4个命题 :①直角三角形的两边长为 3、4 ,则第三边长为 5;②x - 1x=-x …     

百分百生活

如果令英文字母A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S V W X Y Z分别等于百分之12345678910111213141516181920212223242526,那么什么能使得我们的生活变得100%的满呢?先看看我们通常认为非常重要并终日竭力追寻的那些因素吧1.Fortune(财富)/M oney(金钱)F+O+R+T+U+N+E=6+15+18+20+21+14+5=99%M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%2.K now ledge(知识)/D octor(博士)K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%D+O+C+T+O+R=4+15+3+20+15+18=75%3.Love(爱情)/Lover(情人)L+O+V+E=12+15+22+5=54%L+O+V+E+R=12+15+22+5…     

2006年全国高中数学联赛辽宁省初赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.设集合M={u|u=12m 8n 4l,m、n、l∈Z},N={u|u=20p 16q 12r,p、q、r∈Z}.则M与N的关系为().(A)M=N(B)M N(C)N M(D)M N,N M2.设一个四面体的体积为V1,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体积为V2.则VV21为().(A)21(B)32(C)43(D)不确定3.在     

山东省二○○三年中等学校招生考试数学试题

第Ⅰ卷 (选择题　共 3 6分 )一、选择题 (单项选择 ,共 3′× 12 =36分 )1 下列运算正确的是(A)x3 +x3 =2x6　 (B)x6÷x2 =x3(C) ( - 3x3 ) 2 =3x6　 (D)x2 ·x-3 =x-12 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上 ,分别标有质量为 ( 2 5± 0 .1)kg、( 2 5± 0 .2 )kg、( 2 5± 0 .3)kg的字样 ,从中任意拿出两袋 ,它们的质量最多相差(A) 0 .8kg　 (B) 0 .6kg　 (C) 0 .5kg　 (D) 0 .4kg3.小亮从一列火车的第m节车厢数起 ,一直数到第n节车厢 (n >m ) ,他数过的车厢节数是(A)m +n　　 (B)n -m(C)n -m - 1　　 (D)n -m +1第 4题图4 如图 ,四边形A…     

2005年河南省数学竞赛(高二)

一、选择题(每小题5分,共30分)1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中,与BM相等的向量是().(A)-12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)-12a-12b+c(D)12a-12b+c2.等差数列{an}中,Sn是前n项和,且S3=S8,S7=Sk.则k为().(A)2(B)11(C)4(D)123.已知点P在直线y=x+2上运动,点A(2,2)、B(6,6)满足∠APB取得最大值.则点P的坐标是().(A)(0,2)(B)(1,3)(C)(2,4)(D)(3,5)4.已知1+2×3+3×32+…+n×3n-1=3n(na-b)+c,对一切n∈N+都成立.那么,a、b、c的值为().(A)a=0,b=c=14(B)a=b=c=14(C)a=12,b=c=14(D)不…