与圆有关的“双解”问题探究

《圆》这一章概念较多，图形之间位置关系比较复杂．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正是由于这种特殊性，圆的问题中常出现两个解的情况，这里把它称为“双解”问题．现就本章中出现的这类双解问题，分类归纳如下。     

关联图形的数列问题

所谓“关联图形”是指具有一定内在联系的一些图形．近年来，关联图形的数列问题，频频出现在各级各类考试试卷上，成为一颗璀璨的“明珠”，代表着新时代的气息．这类问题极富趣味性、思考性、挑战性及较强的规律性，所以，倍受命题专家的青睐．而学生做起来常常感到困难，弃之又可惜!下面进行分类探究，旨在发现解决此类问题的一般方法，希望对大家有所启发．     

挖掘图形潜在价值 培养学生创新精神

图形作为一种几何语言，是信息的重要载体．在解几何题时，如果只是一味地教给学生就题论题，学生就不会把图形看“活”，至于图形中更为有用的信息就得不到挖掘，更谈不上得到其中深刻的规律了；反之，如果注意图形的引申、变化，那么往往可以得到一些令人满意的结论，这对训练学生的思维大有裨益．事实上，教材中的一些例题、习题往往都隐藏着一些潜在的功能，教师要善于引导学生挖掘问题的各个方面，充分发挥它的功能和作用．     

静中寻动,活学会用——点击"点在特殊多边形内"一类问题的思考策略

平移、旋转、翻折是图形全等变换的三种基本变换，因为一种图形经过其中的一种变换后，虽然位置发生了变化，但具有形状、大小不变的重要特征，所以图形变换的问题常与正方形、正三角形、等腰直角三角形等特殊的多边形综合命题，考查学生用运动变换的思想解决有关几何问题，以此培养学生的综合分析能力及思维（逻辑、逆向、发散）能力．关于“点在特殊多边形内”一类问题，往往需要将原来静止的图形，经过某种变换，构成新的图形，寻求解题途经．但学生在运用时，往往束手无策，不知如何变换图形．下面笔就谈谈在教学中对此类问题的一些思考，以发散学生思维．[第一段]     

分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用

“质点运动”中图形重叠面积问题对学生来说是难点．解决这类问题的关键是,根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,分类讨论解决问题．下面举例说明分类讨论思想在解决此类问题中的运用．     

线性规划思想下的点集问题解析

点集,对应着直角坐标平面上相应的图形（或区域）,集合间的关系及其运算,也就反映为相应图形（或区域）的位置关系．线性规划思想是处理图形、区域问题的有效方法,那么线性规划视角下的平面点集问题,则融合了集合、不等式、图形（区域）,线性规划等诸多知识内容和方法,成为知识、方法交汇的载体．本文对这类问题作一分类解析,使学生从中感受数学问的内在联系,培养集合语言、图形语言的互译能力,提高分析问题、解决问题的能力．     

运动变化中的折叠问题

由于动点的运动,导致动直线的位移,使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化,在这一变化过程中需要对不同情况进行分类讨论．解决这类折叠中的重叠部分面积的问题,关键是找出折痕及全等图形,抓住运动中的不变量,然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解,问题自然就能迎刃而解．下面举例说明．     

运动变化中的折叠问题

由于动点的运动,导致动直线的位移,使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化,在这一变化过程中需要对不同情况进行分类讨论．解决这类折叠中的重叠部分面积的问题,关键是找出折痕及全等图形,抓住运动中的不变量,然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解,问题自然就能迎刃而解．下面举例说明．     

变换图形 探索结论

传统的几何证明题是由已知证明给定的结论，而在近几年的几何考题中往往增加探索性的问题，即变换原有图形之间的位置关系，探索原来的结论是否成立，这就使问题更具开放性和探索性，学生在解答时需有一定的类比能力、绘图能力和创新精神．本文以近两年的中考试题为例分类探讨一下这类问题的解法．     

分类思想与解题

分类讨论是一种重要的数学思想．当数学问题的条件、结论不明确，或有多种情况，或题意中含有不确定参数或图形时，往往需要分类讨论．在数学解题中，若恰当地运用分类讨论思想，则可避免漏解或错解．有利于培养学生思维的缜密性和广阔性．下面举几例说明．     

一个含逻辑关系问题的求麓与反思

分析1一次函数与二次函数是学生比较熟悉的，但由于题目中涉及逻辑关系“存在”、“且”，因此感到困难．事实上，从几何的角度，直接利用图形特征分类讨论就可得出结果．     

椭圆最值问题分类解析

椭圆的最值问题是个重点、难点问题，这类问题涉及面广，综合性强，处理方法灵活多变，对学生的能力要求较高，有较好的区分度，已成为高考命题的热点．笔者根据多年的教学经验，从椭圆方程的特点及椭圆的性质出发，分析其图形结构，分类探析椭圆最值问题解题思路．     

中考新题型——“动态”问题

运动变化型问题是近几年中考的一种新题型．这类问题主要通过学生在基本图形上对动点运动过程中数量关系、图形不同的位置关系等进行观察、操作、归纳、推理、探索,考查学生用分类讨论、数形结合、特殊到一般等思想分析问题和解决问题的能力．达到训练学生的发散思维和创造性思维,培养学生自主探索和创     

有关图形的分类讨论探究

在数学学习与研究中,当被研究的对象没有给出图形,或者给出的图形不完整,使我们不能对它"一概而论"时,就必须全面分析,画出不同情况下的图形,进行分类讨论.有关图形分类讨论是近几年来中考命题的热点之一,常出现在填空和解答压轴题中,学生碰到此类问题一是不知道要进行分类,往往会出现漏解,二是对于分类讨论无从入手,无法确定分类的情况和依据,从而造成解答紊乱.本文从抓住分类讨论的动因与讨论方法入手,对有关图形的分类讨论进行探究.1单个图形的分类1.1等腰三角形我们知道"有两边相等的三角形叫做等腰三角形",由此再把边分为腰和底边,角分为顶角和底角.问题中如果等腰三角形的底角和顶角,或者腰和底边不确定,就需要对它进行合理的分类讨论.     

例谈一次函数图象的应用

函数不仅是初中数学的教学重点，而且也是中考的知识重点．函数的应用体现了新教材的思想，通过分析图形以解决实际问题，涉及多方面的知识，需要学生有较好的理解能力．一次函数与二元一次方程有着密切的关系，如果学生在理解概念、性质的基础上，分析图形中一些量所表示的意义．以文字对照图形，解决问题就简单多了．因此，教师应该要求学生养成画图解题的习惯，一是为了直观理解题目，二是为了方便分析解答，三是为了使解题过程清楚完整．下面就举例说明．     

关于未定图形的分类讨论

我们在解题时，如果题目没有给出图形，或者给出的图形不完整，并且题意又包含不确定的因素，那么，我们就必须全面分析，画出不同情形下的图形，进行分类讨论．     

用“对称”诠释圆中的分类讨论

<正>在解决圆的相关问题时,特别是在无附图的情况下,学生往往就考虑不周,经常出现漏解的情况,其主要原因是图形只画出一种情况,忽略了分类讨论思想.因此教学中,把学生常见的一类错误进行分类汇总,并总结出解决此类问题的规律,即利用"对称性"来理解图形的多种可能性,这样就便于学生掌握解决此类问题的本质,以不变应万变,从而减少学生的学习负担.现将与圆的轴对称性相关的分类讨论的典型问题整理如下.     

用分类思想 解无图问题

数学题中常出现一类没有给出图形的几何问题．因此,学生解答时很容易漏解．防止出现差错的方法是：充分地利用分类的思想方法,正确地画出各种可能图形,逐一地进行详细解答。     

美丽的图案有趣的问题——点击中考中的图形变换

我们知道，中考对“图形的变换”考查的热点是轴对称、中心对称的定义和性质、相关的作法，以及折叠图形中的对称知识的运用技巧．这类问题既能给人一种美感，又往往具有一定趣味性．下面分类举例加以说明．     

立几中的翻折问题综述

平面图形与空间图形有密切的关系，平面图形是空间图形的基础．把平面图形翻折起来后就成为了一个空间图形．本文就对这类翻折问题进行归类解析，供同学们参考．