从一个基本图形的教学谈学生思维品质的培养

《立体几何》(必修)第117页第2题(以下简称原题)为: 如图1,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上的任意一点.求证△PAC所在平面垂直于△PBC所在的平面.     

智力转盘

(1)使每个圆周上任何两个相邻的数,必有一个是合数,另一个是质数; (2)使中间圆周上四个数字的和为圆中心的数; (3)使左、右两个圆周上四个数的和相等。     

殊途同归——一道竞赛题的另一种微元解法

第22届全国中学生物理竞赛预赛有这样一道题:如下图,水平放置的金属细圆环半径为a,竖直放置的金属细圆柱(其半径比a小得多一)平的面端内面,与圆金柱属的圆细环轴的通上过表圆面环在同的     

“等时弦”的应用三例

<正>在一竖直圆面内,从竖直直径上(下)端沿不同方向放置一些长短不同的光滑弦,下(上)端都在同一竖直圆周上,则物体从静止开始沿不同弦从上端滑到下端,所用时间相等,这是我们非常熟悉的一个结论,称为"等时弦"规律。简证如下:如图1所示,在竖直圆周上从下端b处放置一光滑斜槽ab,上端a恰好处在圆周上,     

“圆”有面积吗?

五年制小学数学课本第十册第7页的课题是:“圆的面积”。我认为此课题提法欠妥,应改为:“圆面的面积”。众所周知,“圆”的定义是:在平面内,一动点以一定点为中心,一定长为距离而运动一周的轨迹叫做圆周,简称圆。从集合角度又可定义为;在     

球截面性质的补充证明

“球心和截面圆心的连线垂直于截面”是球截面的一条性质,教科书上没有给出证明过程,如何证呢?下面给出四种证明方法.方法一:利用球面的第一定义(半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面)并结合圆的有关性质证明.如图1所示,已知圆 O 及圆 O 内任一条弦 AB,过点 D 作直径 EF 垂直于 AB 于 K.当半圆 EAF(半圆EBF)绕着它的直径 EF 旋转一周得到球面的同时,AK(或 KB)的轨迹为圆面,显然,OK 垂直这个圆面,其中D 是球心,K 是圆面的圆心,这个圆面是球 O 的截面,所以,球心和截面圆心的连线垂直于截面.     

对一道立几题的演化与思索

高中课本立体几何第117页,总复习第2题是: 如图1,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上的任一点,求证△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面,(以下简称原题)     

地球表面距离的计算及应用

20 0 3年北京春季高考地理试题 40题第 ( 1)题和2 0 0 3年全国高考新课程卷地理试题 15、16题 ,以及文综试题 2 8题中都出现了有关距离的估算。这类问题实际上就是地球表面距离的计算 ,只要我们掌握了球面距离的计算方法 ,问题就迎刃而解了。图 1一、一般球面距离的计算如图 1,A、B两点为球面上的任意两点 ,则A、B两点之间球面距离的最小值和最大值分别是A、B两点及球心三点所在的圆面与球面相交所形成圆的劣弧和优弧。如果我们知道了球体的半径R及OA、OB所夹的锐角∠AOB(以下用δ代替 ) ,那么 ,A、B两点的最小距离m =2πR×δ/3 60…     

归纳、反例、分析、论证——探索一道组合几何题

题目　考虑圆周上的ｎ个点 ,用弦两两连结起来 ,其中任何三条弦都不在圆内共点 ,求由此形成的互不重叠的不同区域的个数ａｎ(记ａ1=1 ) .1 直观归纳求解这道题最容易想到的办法是 ,作图进行特殊化探索 .如图 1～图 4 ,取ｎ =2、3、4、5、……由于ａ1=1 =2 0 ,ａ2 =2 1,ａ3=2 2 ,ａ4 =2 3,ａ5=2 4 ,于是产生一个猜想ａｎ=2 ｎ - 1.①这个猜想对不对呢 ?我们取ｎ =6来检验 ,如图 5在圆内接五边形的基础上 ,增加一个点Ａ6 ,有(1 )连结Ａ6 Ａ1,圆面增加 1块区域 ;(2 )连结Ａ6 Ａ2 ,与Ａ1Ａ3,Ａ1Ａ4 ,Ａ1Ａ5均有交点 ,把线段Ａ6 Ａ2 分成 4条互…     

关于初中平面几何用轨迹法解作图题的教材的研究

用轨迹法解作图题的例3的讨论,教材中只有简单的描述。我现在把这个题的详细讨论写出来。题目:作两个已知圆的割线,使割线被这两圆截的部分分别等于已知线段。(初中平面几何课本202页) 这题可以按照给定的线段(a、a’)和两个已知圆(⊙O、⊙O’)的直径的关系进行讨论,为了方便     

量圆的直径

这是一节九年级的数学课,使用的教材是湘教版教材九年级下册第80页A组第7、8两题的原型.为了拓展学生的解题思路,我是这么教学的——师:现有任意的一个圆,你能否用你手上的工具量出这个圆的直径(如图1)?请画出图形,并说出自己做的依据.生1:将直角三角板的直角顶点落在圆周上,两直角边交圆周于A、B两点,量出AB的长,即为这个圆的直径(如图2).师:为什么AB就是直径呢?生1:直径所对的圆周角为直角.生2:我先用圆规找出圆的圆心,然后过圆心任作一直径,就能量出直径的长.师:如何找圆心,请上黑板演示.学生上黑板演示找圆心的方法(如图3).生3:只要任作一条弦,再用圆规作弦的垂直平分线交圆周于A、B两点,量弦AB长就可以了(如图4).师:你的依据是什么?生3:弦的垂直平分线必过圆心.生4:我手上有根绳子,用绳子一端固定在圆周上,然后找到最长的弦,量出弦长即为直径(如图5).师:为什么?生4:最长的弦是直径.生5:把圆对折起来,量出折痕的长就是直径的长.因为直径所在的直线是圆的对称轴(如图6).生6:如果知道了圆的一条切线,过切点作切线的垂线于圆周有另一个交点,量出切点与交点的距离,就是圆的直径.师:同学们的方法都很好....     

称面积——我的新发现

能称出面积的大小吗?能。这可是我的发明创造。在复习平面图形的面积时,有这样一道题:如何测算一元硬币的一个圆面的面积。问题一提出来,同学们便议论纷纷,说这还不简单,只要量出硬币的圆面直径就行。我想还有其他方法吗?不由得脱口而出:“也可以用天平称出硬币的面积来。”话一出口立即引来哄堂大笑。我推了推眼镜,不慌不忙地说:“先把硬币沿边缘描在硬纸板上,然后沿线剪下,用天平称出它的质量。再剪同样纸板的一块一平方厘米的正方形,也称出它的质量。最后根据‘正方形的质量:正方形的面积=圆板纸的质量:圆板纸的面积’求得硬币的圆面面积…     

《圆的周长和面积》的教学打算

《圆的周长和面积》是高小算术课本第四册《求积》一章里的重点。这节教材包括四项内容:(一)关于圆的一些基本概念。(二)圆周率的概念,圆的周长的计算法则。(三)圆的面积的计算法则。(四)扇形的认识和扇形面积的计算。其中形成圆周率的概念、求圆面积的法则是教学上的难点。下面谈谈我教这节教材的打算。关于圆的一些基本概念的教学要求是:使学生认识圆,知道什么是圆周、圆心、半径、直径,会用工具画圆。教学的第一步,指出生活中经常接触到的圆形物体,例如,车轮、钟表面,硬币等,从这些大小不等、材料不同的圆形物体,抽出它们的共同特征,使学生初步树立圆的概念。第二步,给学生看从实际物体抽象成的图形,指导学生认识圆,以及圆心、圆周,半径和直径,使学生知道:圆是指圆周所包围的部分,是     

一道值得研究的课本习题

题与两圆x2 y2=1及x2 y2-8x 12=0都外切的圆的圆心在( ) (A) 一个椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 这是人民教育出版社编著,全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)复习参考题八A组第4题.     

从一道图形题得出的计算规律

从一道图形题得出的计算规律宁县政平乡圪　小学勾应林有这样一道题目：“有一半径为５厘米的圆，圆内和圆外各有一个正方形。图内正方形的四个角顶都在圆周上，圆外正方形的四条边与圆各有一个接触点，求大正方形面积比小正方形面积大多少？”如图（１）所示：这道题实际...     

环形周长指的是什么

一本小学六年级数学练习册上有这样一道题:环形外圆半径8厘米,内圆半径5厘米,计算它的面积和周长。小学生计算环形面积可以,但计算环形周长却百思不得其解一位学生便求教于老师:“环形周长指的是什么?”老师被将了军,就请教同事。该校教师们对这题的计算结果有分歧,各执己见,争论不休。一部分老师认为,周长应是一周之长、一圈之长、外围之长。外圆和内圆虽围成了环形,但它们的和并不是一周,不能称为周长,因此外圆周长就     

“过圆内一点的两相交弦”问题探究

1问题的提出下面是2012年南京市模拟考试的一道解析几何题,学生得分率很低.高考复习中,如何有效地利用这道题,我对这道题学生的错误解答做了分析和归类,并对这题进行了反思和拓展.例如下图,已知圆O:x2+y2=4,圆内一点M(1,槡2),过点M作圆的两条弦AC和BD.(1)求四边形ABCD的面积的最大值;(2)求AC+BD的最大值.2学生的困惑     

重新认识亚里士多德轮子悖论

教学“圆的周长”这部分内容时,许多教师都会设计这样一个活动来让学生动手操作:首先在一个圆形教具的圆周上任找一点,做下标记,然后以这个标记为起点,使该圆沿一条直线做无滑动的滚动,待该标记重新落在直线上时,圆刚好滚动了一周.此时量出起点与终点间的距离就恰好是该圆的周长.这是一种比较常用的动手测量圆周长的方法,为了找出圆周长的计算公式,教师往往安排学生重复以上操作,接着再算出圆周长与其直径的比值,并最终给出C=πd或C=2πr的圆周长计算公式.从该公式中很容易看出:一个圆周长的大小取决于它的直径(或半径)的长短.这是毋庸置疑…     

精心设计数学思想实验

1　直觉欺骗了我们问题 1 :设想用铁丝绕半径为 1cm的小球 (的大圆 )做成一个圆 ,再用一根比这圆周长长 1m的铁丝做成另一个圆 .两圆相套成同心圆 .试问 ,圆周间能放下一个巴掌吗 ?能放下一个拳头吗 ?——— (一般回答 )能 .———为什么觉得能 ?———可以做一个实验 .发现铁丝比小球大圆的周长长 1m ,套起来两圆间距离会很远的 .问题 2 :设想用铁丝绕地球赤道作一个圆 ,再在其外套一个比它周长长 1m的同心圆 .两圆周间能放一个巴掌吗 ?能放下一个拳头吗 ?——— (一般回答 )不能 .———为什么觉得不能 ?——— 1m长的铁丝和赤道比起来 ,…     

“圆的认识”教学中一个值得注意的问题

在“圆的认识”教学过程中,教师应该明确,圆指的是一条封闭曲线,而不是指由封闭曲线所围成的圆面。关于这个问题,有的教师虽然自己知道圆是什么,但在教学中是不大注意讲准确的,不自觉地将圆说成是圆面。因此,不少学生,在学习了圆的概念后,头脑中留下了“圆就是由封闭曲线所围成的圆面”这个错误的认识。以致进入中学学习平面几何时分不清圆内、圆外、圆上的区别;学习解析几何时弄不懂