一个面积定理及其应用

1．定理证明 定理 如图1，若在△ABC的形外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，则S△ABC=S△AEG.     

关于锐角三角形内任一点的一个不等式

定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有     

一个有趣的几何不等式

《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的…     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

一个不等式的推广

《中学数学月刊》1997年第1期上,陈宽乎同志在《涉及四个三角形面积的一个不等式》一文中,证明了如下一个定理。 定理 设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为△、△_1、△_2、△_3、n≥2,n∈N,则     

一个不等式的加强

众所周知,在△ABC中,有不等式 文[1]将之改进得到从而有 今给出(3)的改进, 定理 在△ABC中,设R,S分别为△ABC的外接圆半径、半周长,则     

第五章 平面向量

5.9正弦定理、余弦定理教材细解1.正弦定理(1)正弦定理:在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,R为△ABC的外接圆的半径,则有asinA=sibnB=sincC=2R.(2)正弦定理的证明:①向量法:先选定与其中     

三角形内接三角形周长最小值及其应用

<正>本文探求三角形内接三角形周长的最小值,并利用其最小值得出两个有趣的定理．定理1如图1,△DEF的三个顶点分别在三角形△ABC的三边上,AH是△ABC的BC边上的高,■,则△DEF周长最小值为2AHsinθ.     

涉及四个三角形面积的一个不等式

定理 设D、E、F分别是△ABC的边BC,CA、AB上的内点,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的面积分别记为△,△_1,△_2,△_3,n≥2,n∈N,则     

任意三角形的方程

定理 设△ABC顶点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),如y_1≥y_2,y_3,则△ABC方程为 |2f_1-2△ |f_2|| |f_2|=2△。 (1)其中△表示△ABC的面积,而     

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

再探一个有趣的几何不等式

文[1]中给出了一个有趣的几何不等式: 定理1 若△DEF是△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,面积为S,△DEF的外接圆半径为R0,则有     

一个与三角形相关的向量等式的讨论(续)

如果定义T_(△HKG)=S_(△KHG),当△KHG 与△ABC 有公共内点,—S_(△KHG),当△KHG 与△ABG 无公共内点,则有如下定理:定理3 设点 O 与△ABC 共面,则T_(△BOC)+T(△AOC)+T_(△AOB)=0, (15)且 T_(△BOC)+T_(△AOC)+T_(△AOB)=S_(△ABC). (16)证明:按点 O 所在的位置讨论如下:(Ⅰ)当点 O 在△ABC 的内部或边界上时,△ABC 被分割为△BOC,△AOC 和△AOB(当 O 在边界上时,当中有的是退化三角形),所以有T_(△BOC)=S_(△BOC),T_(△AOC)=S_(△AOC),T_(△AOB)=S_(△AOB),且其和等于 S_(△ABC),即得(16)式,且根据定理2的结论1,得     

三角形内等斜角三角形及其性质

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有     

费马点与威森波克及匹多不等式

定理1 设△ABC内角不大于120°,则 a~2 b~2 c~2=4 3~(1/2)△ (x-y)~2 (y-z)~2 (x-z)~2,(1)其中a,b,c和△分别为△ABC的边和面积,x,y,z为△ABC的费马点到顶点A、B、C的距离。     

一个平面几何命题的应用探讨

如图,P为△ABC内任意一点,过P分别作DE∥BC,FG∥CA,HK∥AB,得△GDP,△PEK,△PHF,易知:△GDP∽△KPE∽△PHF∽△ABC,不仅如此,这四个三角形还有更密切的联系。定理设图中的△GDP、△KPE,△PHF与△ABC的相似比分别为k_1、k_2、k_3,则有k_1 k_2 k_3=1。证明∵k_1=GD/AB, k_2=KP/AB=AG/AB,k_3=PH/AB=BD/AB。∴ k_1 k_2 k_3=(GD AG DB)/AB=1。由上述定理,还可得到:     

三角形内一个不等式的证明

定义:设△ABC的三内角为A、B、C,△A_1B_1C_1的三内角为90°-A/2、90°-B/2、90°-C/2,则称△A_1B_1C_1为△ABC的切点三角形(因为△A_1B_1C_1的几何意义是连接△ABC的内切圆与三边的切点所得的三角形,故取此名)。 下面叙述并证明本文中的定理。     

一个有趣的平几公式

本文先证明笔者最近发现的一个平几公式,即: 定理1 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1、r_2,则△ABC的内切圆半径r满足 r=r_1 r_2-2r_1r_2/h_1 (1). 在证明定理1的时候需要用到一道已知的平几题,即 辅助命题 在△ABC中,内切圆⊙I与BC、CA、AB三边分别切于D、E、F,DIK为⊙I的直径,直线AK交BC边于C,则BG=CD.     

关于三角形的一个不等式及空间推广

定理1 设点P是△ABC内任一点，点P到△ABC的边上的点的最小距离与最大距离之比记为λ，则λ≤1/2。