’99国内外数学竞赛试题选析(续二)

四、组合部分 1.考察由{1,2,3,4,5,6}组成的一个排列a_1a_2a_3a_4a_5a_6,经过不超过4次调换其中的两个数字而得到123456。试求满足条件的排列的个数。 (第12届韩国数学奥林匹克) 解:对任一个排列a_1a_2a_3a_4a_5a_6,取a_1,若a_1不在a_1号上,取在a_1号上的数a_1′;若a_1′不在a_1′号上,取在a_1′号上的数a_1″,直到取到a_1~…号上的数     

一道整数题的解法

有一个六位数N=a_6a_5a_4a_3a_2a_1,当用2,3,4,5,6分别乘它时,得到的五个数是:a_5a_4a_3a_2a_1a_6、a_4a_3a_2a_1a_6a_5、a_3a_2a_1a_6a_5a_4、a_2a_1a_6a_5a_4a_3、a_1a_6a_5a_4a_3a_2(当然,这五个数中不知哪一个正好是2N、3N、4N、5N或6N),试求这个六位数N.由于很多知识我都没学过,我只能按照自己的方法来求这个六位数N.现来构造一个循环小数:0.a_6a_5a_4a_3a_2a_1,很明显这个数一定可以写成一个分数a/b,由题目     

2004年（宇振杯）上海市初中数学竞赛

一、填空题(第1~5题各6分,第6~10题各8分,共70分)1.若关于x的一元二次方程x2 (3a-1)x a 8=0有两个不相等的实根x1、x2,且x1<1,x2>1,则实数a的取值范围是.2.方程5-1x 4-2x 3-3x=-3的解是.3.一个二位数的两个数字之积是这个二位数两个数字之和的2倍;又这个二位数加上9后,得到的和     

巧赋特殊值 解决大问题

一九八五年全国高等学校招生统一考试数学(理工农医类)第二(4)题是这样一道题:设(3x-1)~6=a_6x~6 a_5x~5 a_x~4 a_3x~3 a_2x~2 a_1x a_0,求a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0的值。在阅卷中发现不少考生在草稿上是通过二项展开公式去求的。这样即便解对,亦非良法。事实上,我们只要对试题稍作分析便知,若在题设中令x=1,则其右边便是所要求值的代数式,而左边为常数2~6,即为所求。这种思想方法其实也正是教材所要求掌握的。高中代数第三册p75例1、例2在证明恒等式C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n及C_n~0 C_n~2 C_n~4 …=C_n~1 C_n~3 C_n~5 …=2~(n-1)时,就是由对二项展开式中的a、b巧赋特殊值得到的。类似地,     

等差数列和等比数列的两个性质

本刊88年第一、二期(80页)有如下一道选择题:“一等比数列前三项之和为21,第四项到第六项之和为168,那么第七项到第九项之和等于:A.336,B.504,C.672,D.1344。”在这道题中,D是正确的。此题恰有:(a_4 a_5 a_6)~2=(a_1 a_2 a_3)(a_7 a_8 a_9).即a_1 a_2 a_3,a_4 a_5 a_6,a_7 a_8 a_9也成等比数列。这是偶然的吗?回答是必然的。为方便叙述起见,先建立如下定义。定义1 a_(l0) a_(l0 1) a_(l0 2) … a_(l(?) k0-1)(k_0、l_0∈N)叫做数列{a_n}的片断     

再谈一类数字问题的解决方法

《中小学数学》1993年第4期《归纳、猜想──一类数字问题的解决方法》一文研究了乘积aa……a×aa……a(a=1、4、5、6、9）的各位数字之和的问题，《数学教学通讯》1992年第4期《解答数学题的一些辩证方法》一文也有这类问题.本文将给出这类问题的一般结论.b_1b_2……b_s(a_s≠0,b_s≠0,s≤k）的各位数字之和为O×k＋(a_l＋a_2＋……＋a_N)-(b_1 b_2十……b_s).b_1b_2……b_3 1(a_n~′=a_n-1)A的各位数字之和为：＋（9一b_1）＋（9-b_z）＋……＋(9-b_s) 1＝a_l十a_2 ……十a_(n-1) (a_7n~′ 1)＋…… b_s)=9×k (a_1 a_2＋……＋a_n)-（b…     

关于N_r~n的末几位数

对于任何一个正整数N_r,都可以表示为N_r=a_r·10~(r-1)+a_(r-1)·10~(r-2)+…+a_i·10~((?)-1)+…+a_2·10+a_1,其中r代表N_r的位数,a_i代表N_r的第i位上的数字。对N_r~(?)(n为正整数)末几位数的变化进行归纳,可以发现,N_r~(?)与N_r的末几位数相同时的一些规律。     

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否     

第二届美国数学邀请赛试题及参考解答

1.如果a_1,a_2,a_3,…是等差数列,公差是1,a_1+a_2+a_3+…+a_(98)=137。求a_2+a_4+a_6,+…+a_(98)之值。解注意:a_2=a_1+1,a_4=a_3+1,…,a_(98)=a_(97)+1。由a_1+a_2+a_3…+a_(98)=137,两边同加49得 (a_1+1)+a_2+(a_3+1)+a_4+…+(a_(97)+1)+a_(98)=186, 即 2(a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=186。∴ a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=93。 2.n是具有下述性质的最小整数:它是15的倍数,而且每一位数字都是0或8。求n/15。     

对一道数学高考题的剖析与思考

2007年浙江省高考数学卷理科第21题:已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求 a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))/(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)).求证:1/6≤T_n≤5/(24)(n∈N~*).本题叙述简洁明了,不拖泥带水.题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的,显得平和而贴切.试题一共设置了3个小题,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格.本题所包含的主要数学知识有:一元二次方程、数列的通项与前 n 项和、函数的周期性、不等式等;所涉及的数学思想有:分类讨论、归纳与猜想等,考查的主要数学技能有:数学运算、逻辑     

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

轮环整除数

首先,看一个有趣的现象,如果我们将538461依次写在圆周上(图1),那么无论我们从哪个数字开始作为首位数,以顺时针方向依次将各数字排列起来,就可得到一个六位数,它们都可被76923整除。例如,将3作为首位数,可得384615,将4作为首位数,可得461538,它们均能被76923除尽,其商分别为5和6。本文将对这样的数字关系作一些探讨。设A=a_1a_2…a_n是一个n位自然数。我们称n个自然数A_1=a_1a_2…a_n,A_2=a_2a_3…a_na_1,     

在解题教学中重视对目标意识的培养

目标意识是指人们在解题过程中对欲证(解)目标重要性的认识。数学教学中,强化目标意识,有助于培养学生及时、有效地对思维活动进行调控,避免思维的盲目性和低效性;有助于学生思维的敏捷性、灵活性、创造性等品质的发展。一、引导学生重视目标的导向性对问题的全面了解是解决问题的重要保证,而问题的目标所提供的信息,往往指引我们迅速找到解题的突破口。例1 设(3x-1)~6=a_6x~ a_5x~5 a_4x~4 a_(?)x~3 a_2x~2 a_1x a_0,求a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_0 a_0的值(1985年数学高考试题)。当x=1时,已知等式的右边即为目标表达式a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0,显然其值为(3×1-1)~6=64。     

对2003年全国理科试题22题的联想

22.(I)设{a_n}是集合{2~t+2~s|0≤s相似文献   

两道数学联赛题的另解

题1:(2007年高中数学联赛江西省预赛第12题)将各位数码不大于3的全体正整数n按自小到大的顺序排成一个数列{a_n},则a_(2007)=解:简称这种数为"好数",则一位好数有3个;两位好数有3×4=12个;三位好数有3×4~2=48个;…,k位好数有3×4~(k-1)个,k=1,2,….记S_n=3∑_(k=1)~n 4~(k-1),因S_5<2007相似文献   

一题多解 提高能力

题目在数列{a_n}中,a_1=1/6,a_n=1/2a_(n-1) 1/2·1/(3~n)(n∈N~*且n≥2),求数列{a_n}的通项公式.解法1:观察法.∵a_1=1/6=1/2-3/1,a_2=1/(2a_1) 1/2·(3~2)/1=5/(36)=5/(4×9)=1/4-1/9,a_3= 1/2a_2 1/2·1/(3~3)=(19)/(216)=(19)/(8×27)=1/8-1/(27),     

试谈求自然数a的正整数幂a~n的末k位数的规律

诸暨县教研室在绍兴日报上刊登了一个数学题征解,题目如下: 设a_1=3~3,a_2=3~(a_1),…,a_n=3~(a_(n-1)…,试求: ⅰ)集合{a_1,a_2,a_3,…,a_n,…}中各个数字的末二位数字所组成的集合; ⅱ)集合{a_2,a_3,…,a_n,…}中各个数字的末三位数字所组成的集合。为了说明我们的问题,我们先介绍一种解法如下：     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

计算机数学基础(2)典型题例1

例1 设X~*=π=3.141 592 6…,求X~*的近似值及有效数字。 解 若取X~*的近似值X=314=0.314×10~1,即m=1,它的绝对误差是-0.001 592 6…,有|X-X~*|=0.001 592 6…≤0.5×10~（1-3）,即L=3,故X=3.14有3位有效数字。X=3.14准确到小数点后第2位。 若取近似值X=3.1416,绝对误差是0.000 007 4…,有: |X-X~*|=0.000 007 4…≤0.5×10~（1-5）即 m=1,l=5 故近似值X=3.141 6有5位有效数字,或X=3.141 6的绝对误差限0.000 05,它是X~*的小数后第4位的半个单位,故近似值X=3.141 6准确到小数点后第4位。 若取近似值X=3.141 5,绝对误差是0.000 092 6…,有: |X-X~*|=0.000 092 6…≤0.5×10~（1-4）即 m=1,l=4,故近似值 x=3.141 5只有4位有效数字,或x=3.141 5的绝对误差限0.000 05,它是x~*的小数后第3位的半个单位,故近似值X=3.141 5准确到小数点后第3位。     

巧用实系数二次方程判别式

一巧设元解题就是根据问题的需要.设元得一元二次方程,又根据方程有实根的条件,使原问题得解.例1 若实数 a_1,a_2,a_3都不为零,且满足(a_1~2 a_2~2)a_4~2-2a_2(a_1 a_3)a_4 a_2~2 a_3~2=0 (1)求证:a_1、a_2、a_3为等比数列且公比为 a_4.分析:在(1)式中,设 x=a_4,则 a_4是(1)的根.由判别式得出 a_1,a_2,a_3的关系式,又由求根