初中平面几何中的反证法教学

一、教学要求 反证法是数学上用于推理证明的一种方法。反证法在高中立体几何、代数中都用得较多。在初中三年级平面几何中初次讲授反证法时,鉴于教材内容少、难度大,只能要求学生掌握反证法的简单原理和证明步骤。 1.反证法的简单原理 反证法就是利用形式逻辑中排中律原理,否定两个对立的判断A和(?)(非A)中的一个判断而间接得出另一个判断必然成立的方法。 2.反证法的步骤 用反证法证明命题“若A则B”成立,其步骤为: 第一步:先假设B不成立(即(?)成立)。 第二步:从第一步的假设出发经过正确的推理而导致矛盾(即得出荒谬结论);找出这种矛盾的原因是第一步的假设不能成立。     

试谈反证法中的辩证思想

辩证唯物主义认为否定之否定是自然界、人类社会和思维发展的普遍规律。反证法就是人们自觉不自觉地运用这一规律来证明数学命题的一种基本方法。以往人们一般总认为反证法是以形式逻辑学中的矛盾律和排中律为基础的。譬如要证明命题“若 A 则 B”,根据排中律,只需证反命题“若 A 则非 B”是     

“反证法”与“证明逆否命题”是一回事吗?

高级中学《立体几何全一册 (必修 )教学参考书》第一章的附录中有这样一段论述 :“反证法实质上是证明命题的逆否命题成立 .即当命题由题设 结论不易着手时 ,而改证它的逆否命题 .否定的结论 否定的题设成立就行 .”该书为了说明“反证法”与“同一法”的区别 ,还进一步强调 :“前者 (指反证法 )证的是原命题的逆否命题 .”笔者以为 ,此两处论述颇为不妥 ,值得商榷 .鉴于该书在广大中学数学教师中的影响 ,有必要就此问题加以澄清 .首先 ,必须弄清“反证法”与“逆否证法”的实质各是什么 ?我们知道 ,一般设欲证命题为α(α可以是一个简单…     

反证法在2013年高考数列考题中的应用

在数学问题中,有相当数量的问题若直接证明难以人手,因此,常采用间接法证明。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。反证法的基本思想是：若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法不直接证明命题“若p则q”,而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。使用反证法时要注意：当遇到“否定性”、“唯一性”、“无限性”、“至多”、     

浅谈反证法在初中数学中的应用

在数学题目的求解中 ,当直接证明一个命题感到困难 ,甚至不能证明时 ,我们可以采用反证法。所谓反证法 ,就是从否定结论 (作出相反判断 )出发 ,把相反的判断作为已知条件 ,在正确逻辑的推理下 ,导致逻辑矛盾 ,根据 (逻辑学 )矛盾律 ,得知想法判断是错误的 ,再根据 (逻辑学上的 )排中律 ,而肯定原命题的判断本身是正确的 ,其逻辑上的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律———矛盾律和排中律。下面我们首先来谈谈反证法的证题步骤。反证法的步骤是 :1 )反设 :作出与求证的结论相反的假定。2 )归谬 :由反设出发 ,推出了与公理、定义、定理或题…     

论反证法

反证法是古典的证明方法之一。但从当今数学教学实践中反映出的问题上看,有关反证法一些实质性问题,仍有必要进一步澄清和探讨。例如,有人说,反证法就是证明命题的递否命题。按照这种说法,欲证命题“A→B”,应由B(B的否定)(?)A但在实际证明中,由B不一定推出A,而是只要推出一个矛盾即可,怎样解释呢?又如,有人认为:(?)×(|f(x)|>M)”表示M不是f(x)的界。显然是命题否定的错误。本文从逻辑角度,就反证法原理、正确否定结论和应用范围等问题,试谈几点看法。     

反证法例说

反证法是由数学命题结论的反面来进行论证的一种方法,其基本思想是根据排中律“否定反面,肯定正面”,具体步骤为: (1)反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去;     

反证法例谈

反证法是一种重要的间接证明方法。为熟练掌握,现就有关反证法的应用归纳如下: “通过证明论题的否定为假,从而断定论题为真,这种证法叫做反证法”。用反证法证明命题,在分清命题“若A则B”的条件和结论后,可按如下步骤进行:1.作出与命题结论B相矛盾的假定     

反证法教学初探

“反证法”是中学数学教学的重点之一,也是一大难点。如何教好“反证法”呢 ?循序渐进,逐步深入,才能收到好的教学效果。中学生好奇心强,对新鲜事物兴趣浓,抓住这一特点,从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”,再引导其抽象概括,就能收到很好的教学效果。具体做法是： 　　1.讲解反证法定义。 　　反证法就是先假设结论的反面成立,然后根据这个假设,推导出与题设、定义、公理、定理、假设及客观事实相矛盾 (相违 )的结果,对假设加以否定,从而肯定要证明的结论成立。 　　2.从定义分析出用反证法证明命题的三个步骤： 　　…     

一道反证法证明题误证的逻辑分析

如果我们缺乏反证法证明的理论基础和不能正确否定命题“若A则B”,就会在反证法证明时,陷入用特值法的困惑之中．     

反证法在立体几何证明中的应用

反证法是常用的数学方法,主要步骤有“否定结论(假设结论的反面成立),归谬(找矛盾),肯定结论”.它主要用于证明一些直接证明比较棘手的问题.立体几何是同学们普遍感到困难的一门学科,其中有些问题直接证明难以下手,但若改用反证法,则可以使问题迎刃而解.现列举反证法在立体几何证明中的一些常见应用,以供参考.1证明2条直线是异面直线证明2条直线是异面直线可以用“平面内的直线与过平面外一点及平面内不在该直线上的一点的直线是异面直线”这一结论,但常用的还是反证法.例1如右图所示,已知直线a、b、c不共面,它们相交于点P,A∈a,D∈a,B∈b…     

"简易逻辑"单元小结复习课的教学设计

教学目标(1)知识目标使学生理解和掌握简易逻辑的基本知识和基本技能;深入理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解四种命题及其相互关系,掌握充要条件的意义.(2 )能力目标通过比较、分析、综合,培养学生严谨的思维品质和推理能力;使学生对“正难则反”的思维策略及“等价转化”的数学思维有较深入地了解.(3)情感目标使学生能从整体上体验知识的发生与发展,构建起本节知识框架与思想方法体系.教学重点(1)由“或”、“且”、“非”联结的复合命题的构成形式及真假判断;(2 )四种命题及其相互关系,命题的否定与否命题的区别;(3)反证法…     

浅谈反证法

反证法是数学中一种重要的证明方法。现行课本中,只是在立体几何个别定理的证明中使用了反证法,其它章节很少涉及。本文的目的在于结合反证法教学中的作会,谈谈对反证法的认识,供参考。一、反证法的全过程及江根据法国数学家阿达玛对反证法有一个极好的概括：若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾,从而证明定理的正确。现在我们来分析阿达玛的话：若肯定定理的假设而否定其结论——即作出相反的判断——并运用此判断,在正确的逻辑推论下,导致逻辑矛盾,（据矛盾律）知该相反判断的错误性,（再据排中律）而知判断本身的正确性…     

巧用反证法解题例谈

反证法是一种间接的证明方法,它从求证结论的反面出发椎导出与已知相矛盾的结果。下面举例说明。 一、导出与求证相矛盾的结果 例1:已知2~(1/2)是无理数,试证3+2~(1/2)是无理数。 证明:假设3+2~(1/2)是有理数,那么3+2~(1/2)=n/m(n、m是互质的正整数)。     

反证法的逻辑根据及其应用

反证法作为一种重要的数学方法,一般的教材都会把这个方法的步骤叙述清楚．例如,苏教版教材选修2—2…“间接证明”一节中指出：反证法的证明过程可以概括为“否定一推理一否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程．教材接着给出了用反证法证明“若P则q”形式的命题为真的过程的框图和三个步骤．文[2]中给出了反证法的几种常见推理格式：     

例谈反证法在数学证明题中的应用

在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法.只要抓住要领,反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证.所谓反证法,就是要证明“若A则B”时,先将结论B予以否定,记作B,然后从A与B出发,经正确的逻辑推理而得到矛盾(可以     

一道值得深究的不等式习题

高中《代数》第二册(甲种本)有一道习题: 求证 ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)(c~2+d~2)~(1/2)。这道习题似乎平淡无奇,在教学中易被忽视。其实,它蕴含着丰富的潜能,值得深入挖掘。一、证明方法的挖掘本题证法较多,例如比较法、综合法、分析法、反证法等,学生做起来思路自然,游刃有余。如果就此而止,那是远远不够的。事实上,可有如下不同的视角。视角一:启导学生考察式子的整体特征,由外形“()≤()~(1/2)()~(1/2)”联想到判别式“b~2-4ac≤0”。证法一(构造函数法) a=b=0时,原不等式显然成立,a、b不全为零时,构造二次函数     

反证法的逻辑依据

<正>反证法的逻辑依据是什么?过去曾有人提出反证法的逻辑依据是排中律和矛盾律,也有人说反证法的逻辑依据是原命题与否命题的等价性,这些说法都不确切.高中数学新课标标准将推理与证明列入了基本教学内容,苏教版高中课本《数学(选修2-2)》将反证法的证明过程概括为"否定——推理——否定",并将用反证法证明命题"若p则q"的过程用如下的框图表示:     

反证法初探

数学中有些命题难于用直接证法来证,这时可用间接证法来证明,反证法就是间接证法的一种。一、怎样正确运用反证法运用反证法来证题,其具体过程可分如下四步: (1)从已知条件和原命题结论不成立的假设出发,即否定命题结论 A B C;     

对排中律的表述的点滴看法

什么是排中律?《普通逻辑》(上海人民出版社修订本)认为,它的基本内容是:“在同一个思维过程中,两个互相否定的思想必有一真”,并用数理逻辑的符号表示为:A∨(?)。对这一符号公式,《普通逻辑》给予了这样的解释:“或者A真,或者是非A真,二者必居其一,除此之外没有第三者。”这种解释,我认为是有缺陷的: 1、“或者A真,或者是非A真,二者必居其一,除此之外没有第三者”。这种表述实际上表示的是不相容析取不可同真,也不可同假的逻辑性质。而公式“A∨(?)”中的“∨”却是相容析取,它的逻辑性质是可以同真,但不可同假。