调和级数发散的几种证明方法

数学分析在数项级数部分有一个重要级数——凋和级数,它在研究数项级数敛散陛的过程中起到了重要作用。柯两收敛准则给出了级数收敛的充分必要条件,进而又得出级数收敛,则lim/n→∞un=0的推论,它是一个必要条件,而调和级数作为此推论有力的反面证明而倍受关注。下面就调和级数发散的证明作一归纳。     

调和级数的应用

调和级数是一种应用和理论都重要的发散级数。其表达形式简单,容易认为是收敛的,可是在本质上是发散的。文章研究了调和级数的一个应用,说明了调和级数是发散的。并且给出了一个调和级数在其他学科中的应用。     

调和级数在教学上的一个应用

调和级数是分析理论中的一个重要发散级数。因其简单的表达形式很容易被学生认为是收敛的。研究了调和级数的一个应用,从而说明了调和级数是发散的。并且给出了一个调和级数在物理学中的例子。更进一步的,本文给出了调和级数的数学证明和一个应用。     

调和级数案例教学

由一个数学问题引出了调和级数,并通过对调和级数的敛散性的研究,讲授了级数收敛的定义,子列收敛定理、正项级数收敛的判断准则、单调有界原理以及欧拉常数等高数知识,最后介绍了如何利用欧拉常数计算一些数列的极限值.     

与调和级数有关的几个数理问题赏析

调和级数是高等数学中一个非常重要的级数.首先揭示调和级数的发散特性,并进一步探究这种特性在解决有关问题中的作用,接着考虑特定条件下的调和级数的“反常收敛”,最后举例说明调和级数在物理问题及建筑力学中的应用.     

量化方法牛刀小试

上期问题解答:(1)在1到10十个自然数前面随意添上正号或负号,使得它们的代数和为零。这是做不到的。为什么呢?用“量化”的方法不难说明:在1到10十个自然数前面随意添上正号或负号,就产生出了正数与负数两大类,要使它们的代数和为零,必须所有正数的和的绝对值与所有负数的和的绝对值相等;但是,由于1+2+3+……+10=55,而55的一半是27.5,要分成两组相等的整数的和,不可能。(2)在1到11十一个自然数前面随意添上正号或负号,使得它们的代数和为零。这做得到。也可以用“量化”的方法加以解决:这十一个数添上正号或负号后,代数和为零,所有正数的和…     

调和级数仍是一个发散级数——与张慧同志商榷

与张慧同志商榷《既发散又收敛的无穷级数》中的两处论证错误,从而说明调和级数仍是一个发散级数。本文的讨论有助于加深对无穷级数有关概念的理解。     

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数

交错级数1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1)(n-1)/n=ln2=1/n+1+…+1/2n-1,这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的,它揭示了交错级数与调和级数的一种联系.这一数频理论的原理是等式或等价,有别于经典的近似理论.它是数学发展的未来趋势.     

“负数”的学习提示与解题指导

一、学习提示 1．掌握正数和负数的写法和读法。 写正数时,可以写出正号也可以省略正号不写。但读正数时,写出正号的,一定要读出“正”字;省略正号的,“正”字不读出来。写负数时,一定要写出负号,读时也一定要读出“负”字。     

关于莱布尼兹判别法条件的讨论

判断交错级数敛散性的莱布尼兹判别法在判断交错级数收敛时很奏效,但人们往往用它来判断级数的发散,即认为判别法的条件不满足时,交错级数就发散,这是错误的,通过两个例子给以说明,同时给出了判断交错级数发散的某些方法.     

关于莱布尼兹判别法条件的讨论

判断交错级数敛散性的莱布尼兹判别法在判断交错级数收敛时很奏效，但人们往往用它来判断级数的发散，即认为判别法的条件不满足时，交错级数就发散，这是错误的，通过两个例子给以说明，同时给出了判断交错级数发射的某些方法。     

交错级数的另一审敛法

对于交错级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n-1) an(an>=0)) 常见的审敛法是:莱布尼兹定理 如果交错级数满足条件:(Ⅰ)Un≥Un+1(n=1.2,3…);(Ⅱ) lim from x to ∞ Un=0则交错级数收敛。     

与调和级数相关的一类问题评析

级数1＋1/2＋1/3＋…1/n＋…称为调和级数,这个级数是发散的,因为它的部分和数列Sn=1＋1/2＋1/3＋…＋1/n是没有极限的．调和级数在无穷级数论中是运用比较原理判别级数发散的一个“标准级数”．近年来,在高考与数学竞赛中出现了不少与调和级数的部分和数列相关的问题,本文就此类问题的解题思路进行一些评价与分析．     

调和级数的数值分析

从发散的调和级数∑∞ｎ＝１１ｎ分母ｎ中去掉含有０到９的任意ｄ个（１≤ｄ≤９）数字的项后,剩余项组成的新级数收敛．从每个ｄ的众多新级数中求出最大级数,并提出寻找符合条件的自然数ｎ的方法,最后应用计算机计算出其和的上界     

调和级数的发散及其应用

级数是表示函数、进行数值计算的一个有力工具。调和级数作为级数的一个基本成员,结构简单。调和级数的发散及其应用给出了调和级数发散性的4种证明;并分别在比较审敛法和极限比较判别法中,举例说明调和级数在判断无穷级数的敛散性时的标尺作用。     

关于调和级数发散性的几种证明方法

调和级数是一个具体的、重要的数项级数,在级数理论中具有重要的地位.本文给出几种证明其发散性的不同方法,这对于熟悉调和级数,理解级数敛散性,掌握级数敛散性判定定理具有重要意义.     

谈高一物理中的正负号

高一物理中的正、负号,有时表示物理量的方向,有时表示物理量的大小,很容易混淆,解题时也不易把握.现归纳如下.1 正、负号可表示矢量的方向对于矢量,如果只研究一条直线上的情况,其方向只有2种可能,故可用正号表示一个方向,负号表示另一个相反的方向.加速度     

双项交错级数敛散性的判定

本文给出了双项交错级数的定义,总结了判定双项交错级数敛散性的定义判别法、比值判别法、根值判别法等一般判别方法,证明了双项交错级数敛散性的一种特有判别法(与莱布尼兹判别法类似),讨论了如何用奇数项、偶数项构成的交错级数的绝对收敛来判定双项交错级数的绝对收敛与条件收敛.     

调和级数∞n=1∑1n发散性的证明

级数是数与函数的一种重要表示形式,是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。在级数敛散性的讨论中,调和级数的应用很广泛,关于调和级数发散性的各种方法,对级数敛散性的学习和研究是有益的,特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理,其中有些采用了与原证不同的叙述,但比原证更加具体明了。     

调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明

级数是数与函数的一种重要表示形式,是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。在级数敛散性的讨论中,调和级数的应用很广泛,关于调和级数发散性的各种方法,对级数敛散性的学习和研究是有益的,特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理,其中有些采用了与原证不同的叙述,但比原证更加具体明了。