秩1幂等元集上的等距满射

由于幂等元集结构较投影集更为复杂，且任意秩的幂等元集都是无界集，这对幂等元集合上Wigner定理的推广造成了很多障碍，可以证明：如果φ是秩1幂等元集上的等距映射且存在两个互相正交的秩1投影P、Q,使得φ(P)、φ(Q)也为互相正交的秩1投影，则φ将所有的秩1投影都映成秩1投影.根据经典的Wigner定理可以就φ在秩1投影集上的限制给出具体的刻画.     

向量的分圆弧定理及其应用

我们都知道向量形式的线段分点定理,即P₁,P,P₂三点共线,其中λ和μ都是实数,如果P分P₁P₂(向量)的两段比为μ:λ,则OP(向量)=λOP₁(向量)+μOP₂(向量),λ+μ=1.此定理在求解多边形问题中的应用及其广泛,并且起到十分重要的作用.但是在处理圆相关的问题时,就不太得心应手了,怎样能把这个定理进一步拓展,使其能解决一些圆或是弧的问题?通过线段分点定理猜想到可以给出共圆弧的类似定理,应用所学知识证明定理,实现应用定理.     

幂等算子核空间上的投影

记H为复可分无限维Hilbert空间,H上的有界线性算子F若满足F²=F,则称F为幂等算子,P₍N(F)),P_F分别为幂等算子F的核空间N(F),值域R(F)上正交投影.借助算子分块技巧,给出P_FP₍N(F))范数的表达式,进一步研究了P_QP₍N(Q))及P_Q-P₍N(Q))范数的最大值与最小值,其中Q是满足R(Q)=R(F)的H上的幂等算子.     

5元n立方体中指定三条点不交覆盖路

k元n立方体被视为将来候选网络结构之一,它有很多优良性质和参数,被用作度量路由选择,能直接影响网络通信的稳定性和传输时效.本文研究了5元n立方体中一对三条点不交覆盖路问题,运用数学归纳法可得,当n≥2时,在Q_n⁵中任意取四个顶点x,y₁,y₂,y₃,则在Q_n⁵中存在三条内部顶点不交的覆盖路P₁=(x,…,y₁),P₂=(x,…,y₂),P₃=(x,…,y₃).     

向量值奇异积分交换子在Morrey空间上的有界性

设11,f₂,...,f_i,...}为向量值函数,其中f_i(i=1,2,3,...)是具有紧支集的光滑函数.文章得到了由广义Calderón-Zygmund算子和Lipschitz函数生成的向量值奇异积分交换子[b,T]fs是从L^λ,p(Rⁿ)到L^μ,q(Rⁿ)上的有界算子.     

Dawson型多金属氧酸盐H6P2W16Mo2O62聚乙烯吡咯烷酮复合薄膜的可见光光致变色研究

将Dawson型多金属氧酸盐H₆P₂W₁₆Mo₂O₆₂与聚乙烯吡咯烷酮(PVP)形成复合溶液，以滴膜法制备了复合薄膜。该复合薄膜在可见光照射下发生光致变色现象。用红外光谱和XRD对P₂W₁₆Mo₂及P₂W₁₆Mo₂/PVP复合膜进行了表征，复合膜中仍然保留了多金属氧酸盐H₆P₂W₁₆Mo₂O₆₂的基本结构。采用紫外-可见吸收分光光度法分析了P₂W₁₆Mo₂/PVP复合膜的光致变色性能及机理。在P₂W₁₆Mo₂/PVP (50 wt%)的组分比例下，复合膜的光致变色性能最佳。同时，P₂W     

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

一道高中联赛题的推广

<正>题目 如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆Γ:■的左,右焦点分别为F₁,F₂.设P为第一象限内Γ上一点,PF₁,PF₂的延长线分别与Γ交于点Q₁,Q₂.设r₁,r₂分别为△PF₁Q₂,△PF₂Q₁的内切圆半径.求r₁-r₂的最大值.(2021年全国高中数学联合竞赛(A卷)第11题)该试题主要考查椭圆定义,点在曲线上,直线与曲线交点,韦达定理,三角形面积表达以及均值定理.笔者在此将该试题作进一步的推广.     

一个优美结论的深度推广

<正>一、结论的引出在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E:y²=2px(p> 0)和点H(3,4)．点Q在E上，且■.(1)求E的方程;(2)若过点H作两条直线l₁,l₂,l₁与E相交于A,B两点，l₂与E相交于C,D两点，线段AB,CD中点的连线的斜率为k，直线AB,CD,     

关于谱映射定理的一点讨论

<正> 对于给定的Banach空间上的有界线性算子A,以及多项式P(Z)=sum from k=0 to n(C_kZ~k)如果令P(A)=sum from k=0 to n(C_kA~k),则由熟知的谱映射定理, P(σ(A))=σ(P(A))。 在(1)中,这个问题有更一般的结果:P(Z)可以是某区域内的解析函数,但那里使用了Dunford积分这样一个工具。本文的结果是: 1.对于特殊的算子(酉算子、有界自伴算子)和较一般的函数(连续函数)有谱映射定理;     

2-局部序列自同构

证明了维数大于等于3的可分Hilbert空间H上的所有有界线性算子全体B(H)的效应代数E(H)上的满2-局部序列自同构的像都具有 (A)=UAU的形式,其中U是酉算子或反酉算子.     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

混合模空间和Bloch型空间之间广义Cesàro算子的本性范数（英文）

给定正规权函数φ和μ,以H(p,q,φ)和B_μ分别表示Cⁿ中单位B上的混合模空间和Bloch型空间，其中0g表示单位球B上以全纯函数g为符号的广义Cesàro算子，刻画了H(p,q,φ)和B_μ之间广义Cesàro算子T_g的本性范数，获得了相应的本性范数估计.     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

向量“回路”在数学解题中的几种妙用

向量"回路"是指在封闭的折线图形P₁P₂…P_n中,从P₁出发引入首尾相接的向量     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

<正>1经过抛物线上两点的直线方程及其证明经过抛物线y²=2px上两点G(x₁,y₁),H(x₂,y₂)的直线方程为2px-(y₁+y₂)y+y₁y₂=0.由此知，经过抛物线上两点的直线方程是用这两点的纵坐标的和与积来表示的，结构对称优美.下面给出两种证法.证法1：设点法当直线GH与x轴垂直时,     

2020年高考数学解答题解法荟萃(续1)

<正>全国卷Ⅲ理科第17题:设数列{a_n}满足a₁=3,a_n+=3a_n-4n。(Ⅰ)计算a₂,a₃,猜想{a_n}的通项公式并加以证明;(Ⅱ)求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n。解:(Ⅰ)解法1 a₂=5,a₃=7,猜想a_n=2n+1。证明:当n=1时,a₁=3,满足上式;假设当n=k(k∈N^*)时,a_k=2k+1成立。则当n=k+1时,由递推公式有a_k+1=3a_k-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1。综上所述,n∈N^*,a_n=2n+1。(四川省成都市田家炳中学谢玉平;四川省成都市教育科学研究院段小龙;山东省滕州市第一中学郭德龙;陕西省...     

一道解析几何竞赛训练题的解法创新与推广

浙江大学出版社出版的《高中数学竞赛专题讲座》中P₆₈有这样一道题:如图1所示,过抛物线y²=x上的一点A（1,1）作抛物线的切线,分-别交x轴于D,交y轴于B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足（AE）/（EC）=λ₁,点F在线段BC上,满足（BF）/（FC）=λ₂,且λ₁+λ₂=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.现摘录原文解答如下:解:过抛物线上点A的切线斜率为k=2x|_x=1=2,切线AB的方程为y=2x-1.所以B、D的坐标     

P6d=2与特殊图联图的交叉数

图的交叉数是图的一个重要参数,由于确定一般图类的交叉数已被证明是一个NP-完全问题,并且目前能够确定交叉数的图类甚少,因此关于图的交叉数问题仍值得研究。基于Kleitman关于完全二部图交叉数cr(K_{6, n})=Z(6,n)的基础上,文章运用数学归纳与反证的方法,研究并确定六阶图P₆^d=2与n个孤立点、路P_n和圈C_n联图的交叉数分别为cr(P₆^d=2+D_n)=Z(6,n)+n,cr(P₆^d=2+P_n)=Z(6,n)+n+1和cr(P₆^d=2+C_n)=Z(6,n)+n+3。     

禁用子图为P3∪mP2的图色数上界

Gyárfás在完美图概念的基础上,提出了色界函数的概念,并给出猜想：对于给定的森林F,存在整数函数f (F, x)使得每一个以F为禁用子图的图G都满足χ(G)≤f (F,ω(G)),其中χ(G)和ω(G)分别表示图G的色数和团数。通过分析禁用子图为P₃∪P₂的图结构,给出色界函数f (P₃∪P₂,ω(G))的一个上界;并且以此为基础,得到禁用子图为P₃∪mP₂的图色数上界。