例题教学中的四点“反思”

例题是教材的核心内容。概念的形成、规律的揭示、技能的训练、智能的培养,往往要通过例题教学来完成,例题教学是课堂教学的重要环节。如何充分发挥例题的教学功能,美国著名数学教育家波利亚在总结出的解题的四个步骤中,第四步就是“回顾”。笔者认为:所谓“回顾”,就是在讲解例题后的“反思”。下面结合一道数学例题的教学,谈一点粗浅的看法。例,已知:如图1,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。证法(一):连结AC,∵AH=HD,CG=GD。∴HG∥AC,。同理EF∥AC,;∴EF∥GH,EF=GH…     

一个几何命题的证明及应用

[命题]如图,E、G、F、H是空间四边形ABCD边上的点,AE:EB=DF:FC=k_1。 AH:HD=BG:GC=k_2. 求证:EF与GH相交于一点O_1且HO:OG=k_1,EO:OF=k_2.     

值得一练的两道考查逻辑思维的几何证明题

一、试题1.试题1已知:如图1,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连接CE,求证:DE~2=AE·CE证明延长BA、CD相交于点F∵CB⊥BA,DA⊥BA(已知)∴DA//CB(同垂直于一条直线的二直线平行)在Rt△DAF与Rt△CBF中,∠CFB=∠DFA(公共角)∴ADAF~ACBF又∴DA=1/2CB(已知)∴CD=DF又∵ED⊥CF(已知)     

浅析初中数学的漏解问题

1 忽视等腰三角形或直角三角形顶点的变换性 例 1 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,P在直线AC上,△ABP是等腰三角形,求PC. 错解:∴△ABP是等腰三角形, ∴AP=AB=13 ∴PC=PA十AC=18 或PC=PA-AC=8. 评析:本题只考虑A为等腰三角形顶点,忽然了B、P也可以作为顶点.当B为顶点时,BP=BA,∴PC=CA=5;当P为顶点时,设PC=x,则PB=PA=PC CA=5 x, “∵PB2=PC2 CB2 ∴(x 5)2=x2 122     

联系教材中习题解题

几何第二册P·67第20题: 已知:如图1,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM. 简证:∵ DE∥BC, ∴ AN/AM=AD/AB=DE/BC =EO/BO=ON/OM. 受上题启发可以解某些竞赛题. 例1 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一对角线平行,证明另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段. (78年全国中学数学竞赛决赛试题) 如图1.已知四边形ADOE的两组对边延长后得     

张角公式帮你解竞赛题

本文现将张角公式及其在数学竞赛解题中的应用介绍如下: 一、张角公式如图,设直线ACB外一视点P,对于线段AC、CB的张角分别为α、β,且α β<180°,则sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:∵△PAB=△PAC △PCB,∴1/2PA·PB·sin(α β)-1/2PA·PC·sinα 1/2PC ·PBsinβ。∴两边同除以1/2PA·PB·PC,即得欲证式。二、应用举例例1 连结正△ABC的外接圆劣弧AB上一点P的线段CP交AB于D,求证:1/PA 1/PB=1/PD(1990年山西省初中数学     

三角形重心,垂心,形内点的共性(初二、初三)

读者都知道,三角形中三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的线段的长是对应中线长的1/3,即:如果G是△ABC三条中线AD、BE、CF的交点,那么DG/DA=EG/EB=FG/FC=1/3,     

三角形所在平面上一点的向量式

本文给出一个三角形所在平面上一点的向量式，并说明其应用．定理 在△ABC中，设点D，E，F分别在边BC，CA，AB所在的直线上（不与点A，日，C重合），λ,u,v ∈R（其中λ,u,v≠0,λ＋u＋v≠0）,且→BD→DC＝v/u,→CE→EA=λ/v,→AF→FB=u/λ,直线AD,BE,CF交于点P，则λ→PA＋u→PB＋v→PC=0.     

数学问题与解答——1993年第6期问题解答

316.H是△ABC内一点,AH、BH分别交BC、AC于D、E,已知BD·DC=AD·HD,AE·EC=BE·HE,求证:△ABC是锐角三角形,且CH∥⊥AB。 证:作△ABC的外接圆⊙O,分别处长AD、BE交⊙O于A′、B′,连BA′、A′B′、DE。 ∵BD·DC=AD·DA′, BD·DC=AD·HD, ∴HD=DA′。 同理可证,HE=EB′,∴DE∥A′B′, 于是∠HDE=∠HA′B′=∠ABH,A、B、D、E四点共圆。 ∵∠HBD=∠HAE=∠A′BD, 即BD是∠A′BH的平分线, ∴BH/BA′=HD/DA′=1,BH=BA′。 因此,BD是等腰△BHA′底边HA′上的高。     

比例线段的射影证法

平面几何里有关比例式的证明方法,不少资料作了专门介绍。这里我们别具一格,介绍一种特殊的辅助证法,它具有思路简捷,证题明快,格式规范等特点。本文拟从几例加以说明。例1 过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于F及E,求证:AE:ED=2AF:FB。证明:如图甲,过点C作直线CF的垂线l,把A、B、D射影于l,则AF:FB=A’C:CB’AE:ED=A’C:CD’∵CB’=2CD’∴AF:FB=A’C:2CD’=AE:2ED     

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。     

2008年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,给定凸四边形ABCD,图1∠B ∠D<180°,P是平面上的动点,令f(P)=PA.BC PD.CA PC.AB.(1)求证:当f(P)达到最小值时,P、A、B、C四点共圆;(2)设E是△ABC外接圆⊙O的AB上一点,满足AEAB=23,EBCC=3-1,∠ECB=12∠ECA,又DA、DC是⊙O的切线,AC=2,求f(P)的最小值.(1)证明:如图1,     

三角形界心、重心、和“切心”的共同性质

设G为△ABC的重心，AD，BE，CF为中线，则GA/DA＋GB/ED＋GC/FC=∑GA/CA=2．事实上，不仅重心有此性质，界心、“切心”（设△ABC内切圆⊙I切BC，CA，AB于点A＇，B＇，C’，则AA’，BB’，CC’交于Q，可叫做“切心”）也有此性质：     

一道平几习题的几种证法

初中教材《几何》第二册复习题四中有这样一道证明题(P194.6(1)): 题目 已知:四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证:四边形ABCD是等腰梯形. 《教师教学用书》给出一种证法.下面给出四种新的证明. 证法 1 ∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB.     

一个平面几何命题的应用探讨

如图,P为△ABC内任意一点,过P分别作DE∥BC,FG∥CA,HK∥AB,得△GDP,△PEK,△PHF,易知:△GDP∽△KPE∽△PHF∽△ABC,不仅如此,这四个三角形还有更密切的联系。定理设图中的△GDP、△KPE,△PHF与△ABC的相似比分别为k_1、k_2、k_3,则有k_1 k_2 k_3=1。证明∵k_1=GD/AB, k_2=KP/AB=AG/AB,k_3=PH/AB=BD/AB。∴ k_1 k_2 k_3=(GD AG DB)/AB=1。由上述定理,还可得到:     

“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

四面角中的蝴蝶定理和坎迪定理

文[1]给出了四边形中的坎迪定理: 过四边形对角线的交点O的任意三直线MN、Ef、GH分别与四边形的边或顶点交于M、N、E、F、G、H,直线GF、EH分别交MN于点I、J,且I、M在O点的同旁,则 1/IO-1/JO=1/MO-1/NO (1) 本文把以上定理推广到四面角中去,其     

圆内接四边形的一个性质

命题　圆内接四边形ABCD中,AD与BC交于点P,AC与BD交于点M,则PM2=PA·PD-AM·MC.证明:如图1,易知∠PMD>∠MBC=∠MAD.延长PM到H,联结AH,使∠PAH=∠DMP.则PDMPHA.于是,PDPH=PMPA,即　PA·PD=PM·PH.①又∠MPB=∠DMP-∠MBP=∠PAH-∠PAM=∠MAH,所以,A、H、C、P四点共圆,即有PM·     

梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明

<正>梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有AF/FB·BD/DC·CE/EA=1.直线l与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.