构造相似三角形证题

利用相似三角形的性质来证明比例线段,有时会遇到在所给定的图形中没有相似三角形的情况,这时需要根据已知条件及图形特征,添加适当的辅助线来构造相似三角形,从而打通证明思路,使问题迅速获证．请看下列各例．例1如图1,在等边AlABC中,P是BCL任一点,线段AP的垂直平分线分别交AB、。IC于M、N．求证：BP·PC＝jlllCN．分析要证Bp·pC＝BM·CN、只须证生二——”———————““一’”””””一（;一万二二．横向看比例式：线段BP与BAI含有三个w””””“”“—”“—“””’—“”“““’“”““‘“一’字母B…     

运用相似三角形证明圆中线段比例式或等积式

证明圆中线段比例式（或多积式）是初中平面几何的重点知识．运用相似三角形去证明是最常见的方法,也是近几年来各省市中考命题的重点和热点．下面介绍运用相似三角报证明圆中线段比例式或等积式的基本思路,供参阅．一、直接定相似三角形去证例1已知：如图亚,四边形ABCD内接于①O,过点D的切线DP／／AB,DP与AC的延长线相交于点P．求证,CD。＝CB·CP．分析要证CDZ＝ce·or。g＝g。。。。,。。。。。。段分别在凸DBC和凸PDC中,故只须征西DBC。凸PDC＜＝／l＝LZ,／P＝Z3．由条件可知,／l＝ZZ…·DP／AB,…／P＝／…     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

运用圆幂定理证明比例线段(等积式)

圆幂定理揭示了圆内的弦、割线及切线之间的关系，是证明比例线段（等积式）常用的重要定理．一、直接运用圆幂定理作等积代换证题例1　如图1，设AB为圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于E，AD⊥EC，交圆O于F，垂足为D，CG⊥AB，垂足为G．求证。（1）△ACG≌△ACD（2）BG·GA＝DF·DA．（1994年吉林中题）分析由△ACG≌△ACD有CG＝CD，而BG·GA＝CG2．因此要证BG·GA＝DF·DA，只需证CG2＝DF·DA．即证CD2＝DF·DA，这正是切割线定理．证明（1）连结CB，△ACG≌△ACDCG＝CD（证略…     

证明圆中线段相等的思路分析

证明圆中线段相等,是中考试卷中的常见题型。现按所用知识分类介绍其证明思路．一、用等弧对等弦来证例1已知：如图1,AB是O1的直径,C是O1上的点,以AC为直径作O2,交AB于D,过C作O1的切线,交O2于E．求证：CE＝CD．（1997年镇江市中考题）分析。·AC是直径,…CD上AB;·．－AB是直径,’．AC上BC．于是／2＝／B．又上1＝ZB,’．／l＝／2．．－．AE＝AI）．要证“＝CD,～～～～只须证CE＝CD…·AC是直径,…AEC＝ADC．·”·CE＝CD．获证．二、用垂径定理来证例2如图2,AF是OO的直径,以OA为直径的①C与OO的…     

巧用相似三角形证线段倍半关系

证明线段倍半关系是常见的几何证明．常用的方法是；作一线段等于短线段（或长线段）的2倍（或一半），然后证明这条线段等于长线段（或短线）．这样的一类问题如果利用相似三角形去解，可使证明方法更简便．例1在凸ABC中，AB—ZAL？，AD平分，————‘＿，＿＿。＿、＿＿＿l＿＿／BAC，P是AD的中点．求证：PC一青BD．———““—”“——““—”“’‘””””“”“”—－2——一分析若用全等三角形来证，可以将线段折半．取BD的中点E（见图1）证凸PEDgy凸ACP来完成．或过P作PE斤BD交AB于E（见图2），通过证凸APE公凸…     

证明共线线段等积式的若干方法

证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２…     

用三角法证几何题举例

运用三角知识证明几何题，在多数情况下，不需要添作辅助线，而且证题思路清晰、简明．用三角知识证几何问题的一般步骤是：（1）设辅助角；（2）用辅助角的三角函数及有关线段表示结论中各元素；（3）用三角公式计算得证．下面列举数例，供同学们参考．例1已知。、b是Rt凸ABC的两直用边，＿L，、．＿。，，＿。L、＿111h是斜边AB上的高，求证：士十台一台．例2在矩形ABCD中，AP上BD于P，PE入BC于E，PF入DC于F．求证：PA‘一BH·PE·PF．证明设／ADP—a，则ZBAP一LPBE一ZHPF一。‘BD一BP＋PD，BD＝PA·tga＋PA·ct…     

证明线段倍半关系的思想方法

证明线段倍半关系的思想方法,常用的有下列六种。一、加培法就是作一线段等于短线段的二倍,证所作线段等于长线段．例l如图地以rtABC的AB＼AC为边作正方形ABDE和ACFC,BC的中点为M．求证：EC。ZAM．思路分析延长AM到N,使MN＝AM,连结BN．于是只领证EC＝AN即可．为此领证rtEth。rtANB．由已知条件得AE＝AB,AC＝AC＝BN,故只须证ZEAG＝ZABN．可知ZEAC和ZABN都是／AsC的补角,于是获证．二、折半法就是作一线段等于长线段的一半,证所作线段等于短线段．例2如图2,A、E、B、D在同一直线上,朋一侧一Ac,M＝m…     

2013年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,AB是圆,的一条弦,P为弧A召内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB．联结PE、PF并延长,与圆Г分别交于点C、D．证明：     

怎样证明圆中线段相等

求证圆中线段相等，是初三几何的重点内容之一．这类题涉及面广，证法灵活多样．本文以近单部分省市的中考题为例，谈谈证明这类问题的常用方法．一、利用全等三角形例1如图1圆01和圆O2相交于点A、B．在AB一侧作直线AEC，点E、C分别在圆O2和圆O1上；在AB另一例再作直线AFD，点F、H分别在圆O1和圆O2上．已知EC＝FD．求证：EB＝DB．（1992年杭州市中考题）分析　欲证EB＝DB，连结CB、FB，只须征△ECB≌△DFB因为A、E、B、D四点在四O2上，A、C、B、F四点在圆O1上，所以分别有∠CEB＝∠FDB，∠ECB＝∠DFB.而已知CE＝…     

证明圆中两角相等的思路分析

在圆中证明两角相等,是中考题中的常见题型．这里结合1998年的中考题介绍如下．一、用等弧所对的圆周角来证例1如图1,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆O的内接四边形ABCD的边AB切小圆O于P,对角钱AC、BD交于Q,小圆半径等于CD长的一半,AK是大圆O的直径．求证：／BAK＝／CAD．（1998,四｝11省）分析只须证BK＝CD,进而要证BK＝CD．连结BK、PO,·．‘AK是大圆的直径,P为切点．易知PO／／BK,’．PO一步BK．又知PO＝“‘’“’””””“一’‘—““’””“一2—““””—”””—～士CD,…BK＝CD．获证．？…     

证明线段比例式的思路分析

在《相似形》这一章中,证明线段比例式（或等积式）是必须掌握的基本技能之一．那么,证明线段比例式（或等积式）有哪些基本思路呢？一、利用相似三角形证明利用相似三角形的对应边成比例是证明线段比例式的基本思路之一．例且如图l,在凸Me中力是跟上一点,且AC’。＿。＿＿、＿ABBC。AB·AD．求证：s二失．－‘一‘——”－”’——”AC－CD“分析由相似三角形的定义可知,相似三角形的＿＿＿＿,。＿＿,,。。、＿用肥＿＿、＿＾．＿＿对应边成比例,因此,欲证兰一9．只须证凸ABC一’”————————”“’——一’—“一…     

与圆有关的综合题选讲

一、圆的综合题1．与圆有关的计算题：这类题与解直角三角形．相似形中的比例线段和圆幂定理等知识有关．有时还需用到面积计算和三角计算．例1如图1，圆已经过圆01的圆心．与圆01相交于A、B两点，直线0102交圆02于C，HOI的延长钱交圆01于H．设圆01和圆02的半径长分别为l厘米、，；厘米（nl＜I；〕．并且，II’＝212．（1）求证：DB／／O（；（2）求线段DB的长；门）连结oA、oB，如果已A上oD．求n的值．分析（1）连AB，要证DB“OIC？，只须证HB上AB，0；C上AB．（2）要求线段HB，可解Rt凸ADB．AD一2】l·只须求线段AB．即…     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

证明线段比例式(或等积式)的思路分析

证明线段比例式（或等积式），特别是证明圆中的线段比例式（或等积式）是全国各省市中考命题的重点和热点．因此，同学们学习因这一意时，要系统掌握这类命题的证题思路．证明这类命题的基本思路是：1．利用相似三角形．2．利月圆幕定理（相支弦定理、切割线定理和割线定理统称国幕定理）．3利用平行线分线段成比例定理或其推论．其中用得最多的是相似三角形．下面举例说明，供参考．例1已知：如图1，四边形ABCH内接于00，过点D的切线HP／／AB，DP与AC的延长线相交于点P．求证：CD‘一CB·CP．（1996年河北省中考题）分析欲证CD’…     

线段乘积式证明题的几种变化形式

线段乘积式的证明是平面几何中的常见题型，也是中考的重要考点．其实，我们通常遇到的是一些线段乘积式的变化形式的证明问题，它们常常可转化为线段的乘积式问题．本文讨论线段乘积式的几种常见变化形式及其解决办法，供同学们参阅．变化形式之一：ab＝cd±mn证明形如ab＝cd＋mn（a、b、c、d、m、n为线段）的变化形式，通常的方法是将它向四条线段的乘积式转化．例１过平行四边形ABCD的顶点A的圆交AB、AC、AD于E、F、G．求证：AE·AB＋AG·AD＝AF·AC．简析：运用割线定理，过E、F、B三点作圆，则AE·AB＝AF·AH，则求证等…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…     

一道IMO选拔赛题的推广与应用

命题设锐角△ABC的外心是M，过A，B，M的圆交直线BC于P，交直线AC于Q，证明直线CM垂直于直线PQ（图1）．这是第34届IMO土耳其国家最后选拔赛试题的第二题[1]．事实上，该命题条件过强，若将题设中的“锐角△ABC”改为“任意凸ABC”；“过点A，B，M的圆”改为“过A，B任作一圆”．命题的结论仍然成立．推广设任意凸ABC的外心为M，过点A，B作任一圆交直线BC于点P，交直线AC于点Q，则CM上PQ（图2）．证过C作QM的切线CT．．”．ZAer2上ABC．”．’／ABC一ZCQP，．”．ZACT一LCQP，．“．Po／／er，又”．“CM上C…     

理解“动点”正确解题

研究“点”移动组成变化的线段、图形,是同学们学习中的一个难点,也是中考的一个考点,现通过以下例题的讲解,帮助同学们正确解答有关“动点”方面的问题。一、“动点”求定值例1在直角三角形ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,且AD=BD,P是AB上一动点,PE⊥BC,PF⊥AD,垂足为E、F。求证:PE PF为定值。分析:P点在AB上移动,因此PE、PF是变化的线段,而固定不变的线段有AB、AC、BC、CD、AD。只能用固定不变的线段表示PE PF的值,PE PF会等于以上哪一条线段呢?下面我们用“割补法”证明PE PF=AC为定值。证明:过P点作PH⊥AC,垂足…