赏析1~2+2~2+3~2+…+n~2=?的推理过程

<正>苏教版高中数学选修2-2推理案例赏析这一节中,安排了这样一道例题:我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1)/2(一次式和),那么1~2+2~2+3~2+…+n~2=?(二次式和)     

一个漂亮等式的简单证明——(a~2+b~2+c~2+d~2)(e~2+f~2+g~2+h~2)=x~2+y~2+z~2+u~2

正引子:高中学生在复数学习过程中,经常会遇到这样一个习题:试证(a2+b2)(c2+d2)可表示成x2+y2的形式.事实上,令z1=a+bi,z2=c+di,两数相乘,得(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.两边平方可得,|(a+bi)(c+di)|2=|a+bi|2|c+di|2=|(ac-bd)+(ad+bc)i|2,即(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+bc)2,令x=acbd,y=ad+bc,即得结论.     

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

不等式“a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca”的应用

人教版"不等式"里有一道习题:证明不等式"a2+b2+c2≥ab+bc+ca".证明过程如下:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即a2+b2+c2≥ab+bc+ca."a2+b2+c2≥ab+bc+ca"是一个很重要的不等式,有着广泛的应用.     

伦理学“2+2+2”动态教学模式探析

伦理学"2+2+2"动态教学模式是指"两条主线"、"两个教学环节"、"两种评价方式"."两条主线"即在伦理学课程教学中贯彻马克思主义基本原理和弘扬社会主义核心价值观的"两条主线","两个环节"是指通过理论与实践"两个教学环节"完成教学过程,"两种评价方式"即通过过程评价与结果评价两种方式生成学生的学科成绩;伦理学"2+2+2"动态教学模式主要通过公理教学法、情景教学法、问题教学法等方法达成教学目标;该教学模式的实施原则是情感原则、责任原则与生活原则.     

2+2=22?

<正>最近网传国外一个数学教师因坚持2+2=4而丢了工作的故事。故事说,丹尼上交的数学试卷出现了"2+2=22"的结果,女教师威尔斯耐心地给他讲解,指出正确答案是"2+2=4",但丹尼坚持认为"2+2=22"。后来孩子的父母竟然到校长那里投诉,说"把偏见硬塞进孩子的脑子里"。再后来,家长们开始在学校外集体游行示威,高喊着"让孩子做主!     

“NP_1+V_1+NP_1+的+N_1,NP_2+V_2+NP_2+的+N_2”格式初探

本文对汉语中"NP_1+V_1+NP_1+的+N_1,NP_2+V_2+NP_2+的+N_2"此类格式进行初步探索,从形式到意义进行分析和解释,利于人们更好地认识该类结构,同时对该格式中真伪定语的问题进行讨论。     

2~a+2~b+2~n为完全平方数的充要条件

问题:已知2ａ+2ｂ+2ｎ是完全平方数(ａ、ｂ是整数且0≤ａ<ｂ),求ｎ.这是一个有趣而又困难的问题.笔者经过研究,发现借助于二进制可以解决这道难题.下面就此作以介绍:我们知道,任何一个十进制数Ｆ都可按二进制表示为:Ｆ=ａ02ｎ+ａ12ｎ-1+…+ａｎ-121+ａｎ20=(ａ0ａ1…ａｎ...     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

用判别式法求函数y=(mx~2+nx+p)/(ax~2+bx+c)的值域

如果a≠0,函数可化为 y=m/a+(dx+e)/(ax~2+bc+c)。因而只考虑分式函数y=(dx+e)/(ax~2+bx+c)就行了。 1.b~2-4ac<0。此时对任何实数x,     

从“1+2+3+……+100”的速算谈起

据说著名的数学家高斯,9岁时就能用巧妙的方法速算1+2+3……+100。这种方法叫倒写相加法,现在我们用这种方法来计算1+2+3+……+n。令a=1+2+3+……+n=n+(n-1)+(n-2)+……+1两式相加,得2a=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+……+(n+1)=n(n+1)∴a=12n(n+1)你一定会为高斯这种妙算拍案叫绝!惊叹之余,你是否想过还能找出什么简便方法来计算1+2+3+……+n吗?方法一:a=1+2+3+……+n=[n-(n-1)]+[n-(n-2)]+[n-(n-3)]+……+(n-0)=n·n-[(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+0]=n2-(a-n)解方程a=n2-(a-n),得a=12n(n+1)方法二:注意到任一自然数k都能写成k=12[k(k+1)-(k-1)k]…     

关于不定方程x（x+d）（x+2d）（x+3d）=p2ky（y+d）（y+2d）（y+3d）

设p是素数,k为自然数,d>1为奇数。该文运用初等方法证明了不定方程x(x+d)(x+2d)(x+3d)=p2ky(y+d)(y+2d)(y+3d)没有正整数解。     

Cd2+、Zn2+、Cu2+、Pb2+复合对沼泽红假单胞菌若干特性影响

采用L16(44)正交法将Cd2+、Zn2+、Cu2+和Pb2+以不同浓度复合添加于培养基中,以研究其对光合细菌沼泽红假单细胞菌生长与净化PO43- -P和NH4+ -N能力的影响.对实验结果进行方差分析发现,四种重金属离子对该菌的延缓期、菌体增殖时间、最大O.D值(λ=680nm)、PO43- -P和NH4+ -N去除量均未达显著水平,其中Cu2+,Cd2+对延缓期影响与显著水平接近.从其F值及添加于培养基中的浓度看,其毒性大小为Cu2+＞Cd2+＞Zn2+、Pb2+,Zn2+和Pb2+毒性较接近.实验还发现,4种重金属离子复合污染时存在拮抗现象,使Cd2+,Cu2+毒性降低.     

“N_1+V_1+N_2+V_2”句式结构分析

在现代汉语学界,"N1+V1+N2+V2"句式从名称到内部结构到涵盖范围一直都存在争议,与"N1+V1+N2+V2"句式有关的歧义现象,并没有被人们当作一种专门的歧义现象来加以分析。试图在描写此句式的基础上,讨论"N1+V1+N2+V2"句式中的歧义现象,并且从其中存在的歧义现象入手,探寻造成这种歧义的原因。     

简析“VP1+不+VP2”“VP2+不+VP1”“不+VP1+VP2”“不+VP2+VP1”四种格式的语义差异

现代汉语语境中,存在着"VP1+不+VP2"和"VP2+不+VP1"的表意形式,如"开车不喝酒""喝酒不开车"一类。该格式中,由于"VP1、VP2、不"这三构成要素前后顺序的不同,会形成选择、预设条件等不同的表意模式。这应该和"不"的否定辖域及VP1、VP2的内部动宾关系有关。通过对比分析"VP1+不+VP2、VP2+不+VP1、不+VP1+VP2、不+VP2+VP1"四种格式,探讨其语义差异。     

多项式(a1+a2+a3+…+am)~n展开式的项数

<正> (a+b)n二项展开式有n+1项,(a+b+c)n三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出.[(a+b)+c]n=C_n~0(a+b)nc0+C_n~1(a+b)n-1c1+…+C_n~r(a+b)n-rcr+…+C_n~n(a+b)0cn,其展开式的项数为(n+1)+n+(n-1)+…+2+1=(n+1)(n+2)/2,(*)     

不等式a~2+b~2≥2ab的变形及应用

<正> 不等式a2+b2≥2ab有许多变形,利用这些变形可以简便而灵活地解答不同类型的问题. 证在不等式a2+b2≥2ab两边同时加a2+b2得     

Fe2+及Fe2+、Zn2+相互作用对蒜根尖生长和细胞分裂的影响

用不同浓度(100～400mg/L)的Fe2+和Fe2++Zn2+溶液处理蒜鳞茎发现随着浓度的增大和处理时间的延长,Fe2+使细胞有丝分裂指数下降,而核异常细胞比率提高,就蒜而言,Fe2+的毒害作用大于Zn2+;Fe2++Zn2+共同作用时,细胞分裂比率高于单Fe2+而低于单Zn2+,核异常细胞比率比单Fe2+单Zn2+都下降,说明二者既相互促进又相互抑制,具有双重作用.     

1r+2r+3r+…+nr的公式诱导

一、前言 1+2+3+…+n=1/2n(n+1),其公式的来由谁都明白,但对12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)和13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2,其公式的来由,可能就没几个人清楚了.     

不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)~2<1/2的六种不同证法

给出了不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)2<1/2的六种不同证法。