自然数的各位数字之和的几个有趣性质

性质1若自然数a的个位数字不是0,十位数字不是9,则a+9与a的各位数字之和相等.证明a+9=a+10-1,即a的十位数字加上1,个位数字减去1,因为a的个位数字不是0,十位数字不是9,因此,没有进位与借位,所以,a+9与a的各位数字之和相等.     

不定方程的解题技巧

未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程叫做不定方程。例1.求方程2x 4y=9的整数解。【分析】因为方程的左边含有约数2,是一个偶数,而方程的右边是一个奇数,方程中x与y不论取什么样的整数都不能使方程成立,所以这个方程没有整数解。解:因为方程的左边含有约数2,是一个偶数,而方程的右边是一个奇数,方程中x与y不论取什么样的整数都不能使方程成立,所以这个方程没有整数解。练习:1.求方程6x 8y=141的整数解。2.求方程14x-21y=48的整数解。例2.求方程3x 5y=62的整数解。【分析】比较x与y的系数,发现x的系数是3,而y的系数是5。如果把5y放在等…     

妙算《中学生数理化》邮政编码

《中学生数理化》编辑部所在地的邮政编码可表示为χyzzzχ，其中，χ、y、z分别代表三个不同的阿拉伯数字．这个六位数各数位上数字之和是13，且满足z＜χ＜y，其中y为奇数，χ、z为偶数．请算一算《中学生数理化》编辑部所在地的邮政编码是多少?     

一道竞赛题的简捷解法

问题:已知f(x,y)=f(x+y),x、y∈R,且f(7)=7,求f(1986)。分析:给出的x、y∈R,从题设和题求看,只需x、y∈N就够了。这是因为f(xy)=f[(xy)·1]=f(xy+1),故有解:设xy=a(a∈N),∵f(xy)=f(x+y),∴f(a)=f(a·1)=f(a+1)。这就是说,对于任意自然数a,相邻两个自然数的函数值相等,亦即所有自然数的函数值相等.∵f(7)=7,∴f(1986)=7。     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

关于“48”的若干趣题

本刊共有48页（去封面）．这里，我们编拟有关48的若干趣题．供读者玩味．1．某数学刊物共有xy页，若每天读（x y）页，则x天恰好读完，问该刊物共有多少页？2．已知一个两位数恰好等于它的个位数字与十位数字的平方差，求这个两位数．3．一个为偶数的两位数，它的个位数字与十位数字的和、差、积的和恰好等于原两位数，求这个偶数．4．若一个两位数的十位数字x（x≠1）和个位数字y满足：求这个两位数．5．一个为偶数的两位数，它的十位数字不是1，且此数的3倍是一个平方数，问这个两位数是多少？6．若个位数字互不相同的四个整数的4n（n为…     

量化方法牛刀小试

上期问题解答:(1)在1到10十个自然数前面随意添上正号或负号,使得它们的代数和为零。这是做不到的。为什么呢?用“量化”的方法不难说明:在1到10十个自然数前面随意添上正号或负号,就产生出了正数与负数两大类,要使它们的代数和为零,必须所有正数的和的绝对值与所有负数的和的绝对值相等;但是,由于1+2+3+……+10=55,而55的一半是27.5,要分成两组相等的整数的和,不可能。(2)在1到11十一个自然数前面随意添上正号或负号,使得它们的代数和为零。这做得到。也可以用“量化”的方法加以解决:这十一个数添上正号或负号后,代数和为零,所有正数的和…     

有趣的电话号码

小林家的电话号码是个八位数,它是一个有趣的八位数。如果把这个电话号码分成左、右两边各四个数字,那么左边的四个数字都相同;右边的四个数字是连续的自然数,且这个电话号码八个数字的和恰好等于末尾的两位数。如果把这个电话号码分成左边三个数字,右边五个数字,那么左边的三个数字相同,右边的五个数字也是连续的自然数。你能猜出小林家的电话号码吗?     

平方差公式的应用(二)

师:今天讨论两个与平方差有关的问题.第一个问题是:1.如果a是正整数,证明有两个整数x,y,使得x2-y2=a3.生:我还是进行分解:(x+y)(x-y)=a3,所以x+y=a2,x-y=a .解得x=a2+a2,y=a2-a2 .师:你得到的x,y是不是整数?生:如果a是偶数,a2±a是偶数.如果a是奇数,a2与a同是奇数,a2±a是个偶数.所以上面得到的x,y都是整数,而且a2+a2 2-a2-a2 2=a2+a+a2-a2·a2+a-(a2-a)2=a3,所以a3是平方差.师:能否利用上次得到的结论来证?(1～2合期《平方差公式的应用(一)》中的结论为:每个奇数都可以写成平方差,是4的倍数的偶数也能写成平方差.)生:如果a是奇数,那…     

巧解连续数的问题

典型例题：四个连续的正整数之和是58,这四个自然数分别是多少？ 解答思路： 1．用方程解。 解：设最小的正整数是x。     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

初二代数期末测试题

一、填空题1.多项式 x3 - x分解因式的结果是。2 .分解因式 :x2 - xy+ xz- yz=。3.分解因式 :a2 - 4 a+ 4 - b2 =。4 .分解因式 :x2 - xy- 2 y2 - x- y=。5 .观察下列各式 :12 + 1=1× 2 ,2 2 + 2 =2× 3,33 + 3=3× 4 ,请你把猜想到的规律用自然数 n(n≥ 1)表示出来。6 .当 x 时 ,分式 x+ 1x- 1无意义。7.已知 x =y+ 1y- 1,用含 x的代数式表示 y为。8.已知 Mx2 - y2 =2 xy- y2x2 - y2 + x- yx+ y,则 M=。9.分式 1x2 - 3x与 1x2 - 9的最简公分母是。10 .当 m=时 ,方程 2 xx- 3- 1=mx- 3有增根。二、选择题1.下列由左边到右边的变形 ,属于因…     

数的巧算三例

例1计算3819+2246一1576一3219+1 573一2 843. 分析式中正的三个数与负的三个数的个位数字都是3、6、9,十位数字都是1、4、7,百位数字都是2、5、8,千位数字都是1、2、3,它们的代数和当然为。,即原式一0. 例2一个六位数,左边开始的数字为1,若把l从最左边移到最右边,则新数是厚数的3倍,求原数· 分析设l右边的五位数为x,依题意,得 IOx+1=3(105+x).解之,得x=42 857. 故所求的原数为142 857. 例3若1 512乘以正整数a,得到一个平方数,求最小的a和这个平方数. 分析由1512=23火3,又7知,当a=2x3x7=42时,有1 512 Xa=24 X 34 X 72二(22 X 32 x7)2=25…     

稀世珍宝——六角幻方

幻方是将从1到n~2这n~2个正整数排列成一个n行n列的正方形方阵,使它各行、各列及对角线上各数字之和相等.既然有正四边形的幻方,那么,你有没有想过能否排列出一个正六边形的幻方呢?大约从1910年起,一个名叫阿当斯的青年开始研究这种“六角幻方”.显然,一层的六角幻方不存在(如图1).因为如果x+y=y+z,那么x=z,这是不可能的.于是,阿当斯开始专心研究两层的六角幻方.当时,阿当斯在一个铁路公司的阅览室当职员,他白天工作,晚上研究.为了排列起来方便,他特制了19块小板,分别写上从1到19这19个数字.只要有时间,他就把这些小木板拿出来比划.可是排来…     

第11届美国数学邀请赛(AIME)解答

1.728. 首先数一下符合要求且以4或6为千位数字的数.这时千位数字有2种选法,则个位数字有4种选法(从。,2,4,6,8中),对百位数字有8种选法,对十位数字有7种选法.所以共有2x4x8x7~448个这样的整数. 同理,若千位数字为5,有lx5x8x7二280个偶数符合要求. 所以,共有448+280一728个. 2.580. 以候选人出发点为原点建立笛卡尔坐标系,正实轴x指向东,正y轴指向北,第40天晚上候选人在点 留盆岁- ...(二,y)一(1,,3)或(二,y)~(3,31). 第一种情形 (a,b,c,d)~(a,a+1。a+93,a+94),a“1,2,一,405. 第二种情形 (a,b,c,d)=(‘,o十3,。+31,a十34),a~l,2,一,465. 这…     

贺新春 解趣题

1. 2001年元旦恰好是星期一,再过1+2一3+4+5一6+7+8一9+…+1 999+2000一2001天之后的那一天是星期几?2.若自然数n的各位数字之和为2 001,求n的最小值. 3.已知S~19+199+1999+…+199.二9,求S的末四 2 001个9位数字的和. 4·(2,,+1)(250+1)(22“o,+l)的末位数字是几? 5.求证H…122…2是两个连续自然数的积. 2 001个1 2001个2 6.设M=123…89101112…199920002001(即前2001个自然数的顺次排列),问:M有多少位数,且M中从左向右数到第2001位数上的数字是几?(答案在本期找)《贺新春解趣题》参考答案 1.原式一(l+2一3)十(4十5一6)+(7+8一9)十…十(1…     

缩小“密码”包围圈

[例题]有一个六位数的密码,前面的三个数字相同,后面的三个数字是三个连续自然数,六个数字之和恰好是这个密码的最后两位数,这个密码是多少?[分析和解答]符合前面两个条件的六位数有很多,我们不可能一一列举,不妨缩小包围圈,层层逼近,先去掉一部分六位数,再从剩下的几个六位数中确定这个密码。假设这个六位数是999987(最大),那么各位数字的和也只有51,所以这个六位数的末三位只能是543、432、321、210。如果是543,那么前三位的和是43-(5+4+3)=31,31不是3的倍数,543不可能符合;如果是432,32-(4+3+2)=23,也明显不符合;321怎么样呢?21-(3+2+1)=…     

W.Janous猜测的幂指推广

《中学数学》(苏州大学)1993年第1期与第5期集锦栏对著名的W.Janous猜测: “设x、y、z都是正数,则有y~2-x~2/z+x+z~2-y~2/x+y+x~2-z~2/y+z≥0”给出了两个简证。现可子以推广,得到: 命题设x、y、z都是正教,m、n均为自然数,则有(y~m-x~m)/(z~n+x~n)+(z~m-y~m)/(x~n+y~n)+(x~m-z~m)/(y~n+z~n)≥0. 下面利用对称思想给出一个巧妙的证法。证明:因为命题中不等式左边是一个关于x、y、z的轮换对称式.所以可设x≥y≥z,于是, 左式=((y~m-x~m)/(z~n+x~n)-(y~m-x~m)/(y~n+z~n))+((z~m-y~m)/(x~n+y~n)-(z~m-y~m)/(y~n+z~n))=(y~m-x~m)·(y~n-x~n)/((z~n+x~n)(y~n+z~n)) +(z~m-y~m)·(z~n-x~n)/((x~n+y~n)(y~n+z~n)) 又对任何自然数p,有a~p-b~p=(a-b)(a~(p-1)+a~(p-2)b+…+b~(p-1))。从而,左式     

奇妙的数字三角形

13=1213+23=(1+2)213+23+33=(1+2+3)213+23+33+43=(1+2+3+4)213+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)213+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)213+23+33+43+53+63+73=(1+2+3+4+5+6+7)213+23+33+43+53+63+73+83=(1+2+3+4+5+6+7+8)213+23+33+43+53+63+73+83+93=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2上面的数字三角形,等号左边与等号右边的自然数一样,除第一横排外,都是从1开始的连续自然数,而且自然数的个数也相同。在排列上富于对称性。但是奇妙的是等号左边是每个连续自然数的立方和,而等号右边是连续自然数的和的平方。而这几个连续自然数的各数立方的和与这几个连续自然数…     

30分钟“智力自测”

1.二元一次方程3x+Zy一15在自然数范围内的解的个数是 ().(A)1个(B)2个如果二元一次方程组!二(C)s个(D)无数个+y一sk,,,_,__、,、一 的解也是二二夕〔一仄万程y一gk、24Zx+3y-(A)k一一6的解,那么k的值应为( _、,3L】5少龙一一丁 4(C)k一 _、,4又IJ少左一—二 j3.已知二元一次方程Zx+3y一4一0.当x、y的值互为相反数时,x-4.有一个两位数,它的个位上数字与十位上数字的和为5.这样的两位数有().(A)4个(B)5个5,当m为时,方程组 (C)6个Zx十my一4,x+4y一8(D)无数个的解是正整数.6.已知4x一5y+2‘一O,且x+4y一3之一O,xyz若0.则x,y:z等于 (). …