母子三角形内旁切圆的性质

定理 设D为ΔABC的边BC上任一内点，且r、r1、r2分别为ΔABC、ΔABD、ΔACD内切圆的半径，r′、r1′、r2′分别为相应三角形ABC外旁切圆的半径，h为ΔABC的BC边上的高，则。     

涉及三角形的不等式

讨论了关于三角形,三角形旁切圆半径以及三角形５半径的不等式,给出命题并证明。     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有     

Jani(c)加强不等式的一个逆向不等式

本文约定△ABC各元素:三边长a、b、c,半周长p,面积S,高ha、hb、hc,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径ra、rb、rc.     

证明圆中线段相等的方法

1．利用角相等 例1如图1,I是△ABC的内心,AI交△ABC的外接圆于点D,交BC于点E．求证：DB=DI．     

H.Guggenheimer不等式的再加强

文 [1]得出H .Guggenheimer不等式rnahna+rnbhnb+rnchnc≥ 3 (n≥ 1) .①文 [2 ]将式①加强为rarbrchahbhc≥ 1.②本文将证明两个更强的结论 .命题 1　设△ABC的高和旁切圆 ,外接圆 ,内切圆半径分别为ha、hb、hc,ra、rb、rc,R ,r .在n≥ 1时 ,有rnahna+rnbhnb+rnchnc≥ 3 2R -r3rn.③引理[3 ] 　设p为△ABC的半周长 ,则有∑ara=2p( 2R -r) .④其中“∑”表示循环和 .命题的证明 :由三角形中的恒等式aha=2pr等和式④ ,以及不等式 an+bn+cn3 ≥a +b +c3n 知rnahna+rnbhnb+rnchnc=∑rnahna=∑(ara) n(aha) n=∑(ara) n( 2pr) n ≥ 3( 2pr)…     

利用截线段长度求解的问题

在二次函数中有一类问题,可以利用平行于Y轴的直线被二次函数与一次函数所截线段长度来求解的问题．在求线段最值,三角形,四边形的面积最值,线段与线段的数量关系等方面有着广泛的运用．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初329如图1,在△ABC中,／ACB=90°,记其外接圆⊙O、内切圆⊙l,的面积分别为S外、S内,⊙O1、⊙O2、     

用三角形面积巧解线段问题

根据三角形面积关系得出线段(底、高)关系，是一种较好的解题方法。     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

关于三角形的等圆点问题

设点P是△ABC内任一点，使△PAC，△PAB，△PBC内切圆半径均相等的点，称为△4BC的等圆点，有关杂志对这种“等圆点”问题作了研究，受此文启发，本文考虑使△PAC，△PAB，△PBC外接圆半径相等的点P的性质问题，得出以下结果：     

关于圆内比例线段问题的探究与思考

圆内的比例线段是平面几何的重点问题,该问题涉及线段关系提炼、代换等内容,问题解析时需要综合应用几何定理来构建解题思路,由于图形结构较为复杂,因此构建方式较为多样,文章将深入探究圆内比例线段问题的常用策略,并深入思考教学建议,与读者交流.     

焦点三角形内（旁）切圆的又一个性质

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目,它的面积是一个非常重要的几何量,值得我们深入探究.为此,文[1]介绍了焦点三角形内(旁)切圆的两个性质与应用,在它的启示下,笔者也对其作了点探究,又得到了一个性质,现论述如下,与读者共赏.     

关于求线段长度的计算问题

与线段长度有关的计算问题是初中几何中常见的川题,解这类问题的关键是选择合适的方法．笔者在教学过程中发现不少同学在求解“线段长度”的问题时,往往被题目中的条件所迷惑,而不能快速准确地找到问题的解决办法,下面给出解这类问题的五种常见方法,供同学们参考．     

由一个数学问题引发的探究

在本文中,a、b、c表示△ABC的边长,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,p=1/2（a＋b＋c）.     

涉及三角形中线的一个不等式

[1]中证明了：设△ABC的内角平分线是ωa、ωb、ωc,外接圆、内切圆半径分别是R、r，则有。     

对数学疑难之10的解答

问题给定两两外离的三个圆,求作以此三圆为旁切圆的三角形．问题何时有解？有解时有多少个解？若改为此三圆中的一个圆为内切圆,另两个为旁切圆呢？这是文[1]提出的数学疑难之10,对于上述问题,我们有如下结果：     

关于三角形中圆的几个等式与不等式

命题1 设P是△ABC的内切圆上的任意一点,a,b,C分别是∠A,∠B,∠C所对的边,     

线段长度的最值问题解析

最值问题一直是中考命题的热点．由于此类问题形式多样,灵活多变,所以许多同学感到为难,本文笔者结合2008、2009年中考试题,主要淡谈与线段长度有关的最值问题的解法．     

三角形边长之间的一个不等式

本文约定:△ABC的三边长、半周长、面积,外接圆半径、内切圆半径分别为a,b,c,P,S,R,r,∑表示循环和.经过探讨,笔者现已得到:定理:3(52RR--rr)≤∑∑aab2≤(2RR2 r)r22.证明:由熟知的恒等式知:∑a2=2(P2-4Rr-r2)∑ab=P2 4Rr r2所以∑a2∑ab=2(P P22 -44RRrr -rr22)=2-P42(4 R4r