涉及三角形的不等式

讨论了关于三角形,三角形旁切圆半径以及三角形５半径的不等式,给出命题并证明。     

三角形边长之间的一个不等式

本文约定:△ABC的三边长、半周长、面积,外接圆半径、内切圆半径分别为a,b,c,P,S,R,r,∑表示循环和.经过探讨,笔者现已得到:定理:3(52RR--rr)≤∑∑aab2≤(2RR2 r)r22.证明:由熟知的恒等式知:∑a2=2(P2-4Rr-r2)∑ab=P2 4Rr r2所以∑a2∑ab=2(P P22 -44RRrr -rr22)=2-P42(4 R4r     

垂足三角形的性质及应用

垂足三角形的问题常常出现在数学竞赛题中。本文给出关于它的面积、周长、内切圆半径、外接圆半径的有关性质及它们的应用。     

关于三角形垂心的几个不等式

《数学通报》2001年第1期给出的问题1293是“若三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，面积为S，求证：Rr≥2√3/9S″.     

涉及三角形高线的一个不等式

受文 [1]、[2 ]启发 ,笔者得到一个涉及三角形高线的不等式 .命题　设△ＡＢＣ对应边ａ、ｂ、ｃ上的三条高线是ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,外接圆、内切圆半径分别是Ｒ、ｒ ,则有ｒ( 5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ≤(Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .为了证明命题 ,先给出如下的引理 .引理　设ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长 ,Ｒ、ｒ、Ｓ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径、面积 ,则ｒ( 5Ｒ -ｒ)ＲＳ ≤ 1ａ 1ｂ 1ｃ ≤(Ｒ ｒ) 2ＲＳ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .证明　由熟知的恒等式　ａｂｃ=4ＲＳ ,…     

关于三角形边长与远切圆半径的几个平方型不等式

关于三角形及其相关量的研究,目前在初等数学界十分活跃,并且得到了很多好的结果,其中的文[1]给出了《关于三角形远切圆不等式》,文[2]给出了《关于三角形旁切圆半径的一组新的不等式》,受文[1]、[2]启发,笔者对三角     

一个有关旁切圆半径的不等式链

本文约定：在△ABC中，a，b，c表示三边长，ra、rb、rc表示旁切圆半径，R、r、s、△表示外接圆半径、内切圆半径、半周长以及面积，∑、П表示循环和与循环积.     

与垂足三角形内切圆有关的一个等式

定理设△ABC边为n，6，c，外接圆半径为尺，垂足△DEF的内切圆半径为r，则r=α^2＋b^2＋c^2-8R^2/4R.     

两个几何不等式

命题在△ABC中,ra、rb、rc、R、r、s分别为旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径及半周长,则有。     

一个三角形的半对称不等式链及应用

建立了三角形中一个半对称不等式链，应用其证明了4个猜想。     

一个关于三角形角平分线与旁切圆半径的不等式

约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外接圆半径与面积分别记为ｒ、Ｒ、Δ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ+ｃ) ,其相应边上的高线、角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,ｗａ、ｗｂ、ｗｃ,ｒａ、ｒｂ、ｒｃ。文 [1 ]介绍了在一个锐角三角形ＡＢＣ中 ,有不等式∑ｗａｗｂ≥∑ｈａｒａ ①其中∑是关于三边ａ、ｂ、ｃ的循环和。文 [2 ]研究了循环和∑ｈａｒａ,得到 :在任意三角形ＡＢＣ中 ,有∑ｒａｒｂ≥∑ｈａｒａ ②本文将循环和∑ｒａｒｂ 与∑ｗａｗｂ 作比较 ,得到下述定理及其推广。定理　对任意△ＡＢＣ ,有∑ｒａｒ…     

关于三角形不等式的一个基础性结论

近日,笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论:定理在△ABC中,a,b,c为其三边长,p为其半周长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有.     

垂足三角形的几个有趣不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.由于直角三角形的垂足三角形退缩为一条线段,所以只需要研究锐角三角形与钝角三角形两种情况.文[1]得到了垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式.本文将给出有关面积、周长、边长的三个等式,由此得到几个似曾相识的不等式.引     

涉及三角形中线的一个不等式

[1]中证明了：设△ABC的内角平分线是ωa、ωb、ωc,外接圆、内切圆半径分别是R、r，则有。     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

一个有趣的几何不等式

本将给出三角形及其垂足三角形外接圆半径与原三角形面积之间的一个有趣的几何不等式．     

Jani(c)加强不等式的一个逆向不等式

本文约定△ABC各元素:三边长a、b、c,半周长p,面积S,高ha、hb、hc,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径ra、rb、rc.     

涉及三角形旁切圆半径的几个立方型不等式

关于三角形旁切圆半径的不等式,文[1]、[2]给出了许多结果,受文[2]的启发,本文再给出涉及三角形边长和旁切圆半径的几个立方型不等式.     

周界中点三角形两个面积不等式的最佳形式——等式

设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了：     

关子三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式，这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1429题（2003年第5期）与1531题（2005年第2期）．