例析四边形中的“错位中点”问题

<正>"错位中点"是指不共端点的两条相交线段的中点.由于它有别于我们熟悉的基本图形,所以常常令我们的思路受阻.解决它的关键是将这种非常规图形转化为我们熟悉的基本图形,从而建模求解.下面通过一道习题介绍解决这类问题的一般思路和方法.题目如图1,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点     

“顺次连结四边形各边中点所得四边形”问题的探讨

初中二年级几何教材中曾对“顺次连结四边形各边中点所得四边形”问题进行了探讨,该问题是借助于三角形中位线定理来解决的,其结果是平行四边形,但随之而来的问题是:如果顺次连结平行四边形(或矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形)这些特殊四边形各边中点,所得的四边形又是什么图形呢?如果我们能抓住此类问题的内在根源,就会得到规律性方法,而且判断起来快捷有效.其实,所得图形形状完全与原图形两条对角线的关系有     

怎样判断一个图形既轴对称,又中心对称

经常遇到需要判断一个几何图形既是轴对称的 ,又是中心对称的问题 ,比如 ,1996年北京市中考题中有一道是 :下列图形中 ,既是轴对称图形又是中心对称的图形是 (　　 )(A)等边三角形 .　 (B)等腰直角三角形 .(C)等腰梯形 . (D)菱形 .对于这样一个题目 ,除了用对称的定义来判断外     

轴对称图形的对称轴及其应用

成轴对称的图形和轴对称图形都对称地分布在对称轴两侧,对称轴联系着两侧的图形,由一侧图形的大小和形状可推知另一侧图形的大小和形状.对称轴是对称图形的核心元素,是解决对称问题的关键,抓住它问题就能迎刃而解.一、基本图形的对称轴(表1)表1图形对称轴线段线段的垂直平分线以及线段本身所在直线角角平分线所在直线等腰三角形顶角平分线所在直线等腰梯形底边的垂直平分线矩形对边中点的连线所在直线菱形对角线所在直线正n边形顶点与对边中点的连线(n为奇数)所在直线对顶点的连线以及对边中点的连线(n为偶数)所在直线圆通过圆心的任何一条…     

中点在解题中的作用

<正>在线段上,把线段分成两条相等线段的点,叫做该线段的中点.利用中点可计算线段长度,或平分线段作为题目的一个条件.与中点相关的,还有任意三角形中线和中位线的应用,等腰三角形三线合一性质,直角三角形斜边中线性质等,因此,应该将构造上述基本图形作为解决中点问题的途径.一、任意三角形的一边上有中点1.连结顶点,构造中线平分三角形的面积当我们遇到题目中有三角形中线条件,题目涉及问题又与面积有关时,可利用该三     

玩转等腰直角三角形

<正>等腰直角三角形是一种特殊的基本图形,它同时具备等腰三角形和直角三角形的性质,因此,很多命题者热衷于把等腰直角三角形作为背景来编制题目,尤其是出现两个等腰直角三角形时,把其中一个转起来,使得编制的题目思维含金量更高.但是,转起来的等腰直角三角形往往涉及的知识点众多,需要添加适当的辅助线才能解决问题.为此,笔者把相关问题适当归类,让学生通过分类训练,逐步感悟玩转等腰三角形的各种题型的解题方法,养成用动态思维观察问题的习惯,从而提高分析问题、解决问题的能力.     

由一道习题看“错位中点”问题的解法

所谓“错位中点”问题,是指题中出现不共端点的两条相交线段的中点．此时题目中的图形有别于我们熟悉的一些基本图形,所以常常令我们的解题思路受阻．下面通过一道习题介绍这类问题的一般解法．     

巧求面积

题目如图1,在等腰直角三角形ABC中,AB=1,∠A=90°,点E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且FE⊥BE.求△CEF的面积.(1998年全国初中数学联赛试题)     

由内接三角形引发的思考

1.问题的源头 如果一个三角形的三个顶点在一个封闭图形的边界上,那么我们把这个三角形叫做这个封闭图形的内接三角形.例如正方形有内接正三角形,直角梯形有内接等腰直角三角形.笔者对直角梯形中的内接等腰直角三角形（如图1）产生了兴趣，     

与中点弦有关的几个重要结论

高中数学解析几何中"直线和圆锥曲线的位置关系"是高考考查的重点和热点,在此类问题中常常会遇到直线和圆锥曲线相交弦的中点的有关题目,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.     

等拼图法解题

有些图形题，按题中所给的条件往往不能直接解答。我们可以采用等拼图法去解题，即把构造一个或多个与所求图形完全相同的图形组成一个整体，然后利用所求面积与这个整体之间的关系进行求解。题目一个等腰直角三角形，斜边长６厘米（图１）。这个三角形的面积是多少？分析与解：取三个与等腰直角三角形完全相同的图形，将这四个同样的等腰直角三角形拼成正方形ABDE（图２），正方形的边长就是等腰三角形的斜边。这样求出正方形的面积是６×６＝３６（平方厘米），则每个等腰三角形的面积是：３６÷４＝９（平方厘米）。又解：延长AC到D，…     

“双等腰直角三角形”模型在解题中的应用

<正>等腰直角三角形是几何中常见的基本图形,而以两个等腰直角三角形为背景的几何问题也屡见不鲜.解决此类问题时,如果我们能抓住这个模型及模型中的常见结论,则可实现问题的有效突破.一、"双等腰直角三角形"模型呈现如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,点E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,连结DE,DF,EF,则有如下结论:     

关于四等分等腰梯形的问题

对于一个等腰梯形,是否一定可以划分成四个全等图形呢？答案是否定的．而如果我们对等腰梯形再附加一些制约条件,则有通法将其划分成四个全等图形．本文探讨在什么条件下的等腰梯形可以进行四等分的问题．     

巧用旋转探究解题途径

通过中心对称图形的学习,我们看到了旋转的作用.在探究复杂图形中的数量关系时,我们如果能巧用旋转,就能沟通题目中看似无关的条件,使问题迎刃而解.举例说明如下.一、以某线段的中点为旋转中心例1如图1,AD为ABC的中线,试说明:A分B 析AC>2AD.显然将ADC绕BC中点D,顺时针方向旋转1     

巧用补形法

补形法是根据题目中所给的条件和要证明的结论将图形补成所需要的基本图形,从而使问题获得解决的一种方法。一般地,可将图形补成等腰三角形、有中位线的三角形、等边三角形、直角三角形、正方形、等腰梯形、平行四边形、圆等基本图形。     

过中点的辅助线作法举例

在解几何题时,常常需要添加辅助线,目的是把命题中的已知与求证的有关图形或分散或集中地联系起来,构建新的图形,创造由已知向未知转化的条件,它"辅"合题中条件的不足,"助"证明命题的顺利进行.当题目中有中点时,如何添加辅助线?     

构造图形解向量题

<正>图形是"数"的几何表现,可以使许多抽象概念和数量关系直观化、形象化、简单化.向量是既有大小又有方向的量,是沟通"数"与"形"的重要工具,是代数、几何之间的桥梁.所以,在解向量题时,从图形的角度考虑问题,有时可使题目中的各种关系直观明白,便于问题解决.那么如何构造图形呢?本文分类例说如下.一、构造点例1如图1,平行四边形ABCD中,E,F分别是BC、DC的中点,G为DE与BF的交点,     

一道“面积相等”问题的多种解法

本文从两个不全等的等腰直角三角形共直角顶点"婆罗摩笈多"模型出发,探究解决图形面积相等问题,以"一题多解"展开,探索基本图形的内涵与延伸.实行"一题一课"教学模式,以达到触类旁通的教学效果,让学科素养落地生根.     

怎样数才不会少——探讨一道分类计数题

题目如图1,在四个正方形拼接成的图形中,以这十个点中任意三点为顶点能组成——个等腰直角三角形．     

巧构正方形解题

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.因此,正方形与等腰直角三角形有着密切的联系.我们在解(证)与等腰直角三角形有关的题时,可考虑以斜边为对角线,或以直角顶点为中心将原图形