一题四法

本文对1987年江苏省青少年数学夏令营试题:求值COS~273° COS~247° COS~247°cos~273°,给出四种解法。解法一;常见解法原式=(1 cos146°)/2 (1 cos146°)/2 cos47°cos73° =1 COS120°cos26° (1/2)(COS120° cos26°)=1-(1/4)=3/4解法二:和差代换令cos73°=α b,cos47°=α-b,则α=(cos73° cos47°)/2=cos26°/2 b=(cos73°-cos47°)/2=(-3)~(1/2)sin26°/2∴原式=(α b)~2 (α-b)~2 (α     

一组三角不等式及其证明

大家知道,若A、B、C是△ABC的三个内角,则下列等式成立。(证明从略) 1°cos~2A cos~2B cos~2C=1-2cosAcosBcosC 2°sin2A sin2B sin2C=4sinAsinBsinC 3°cos2A cos2B cos2C=-1-4cosAcosBcosC 4°ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1 5°tgA tgB tgC=tgAtgBtgC 6°ctg(A/2) ctg(B/2) ctg(C/2)=ctg(A/2)ctgB/2ctgC/2 7°sinA sinB sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)     

课本变式题库

一、高中部分 我们对高中代数上册P.193例4“求sin~210°±cos~240° sin10°cos40°的值”进行演变。 变式1:cos~280° cos~240° cos80°cos40°=3/4。 变式2:cos~2A cos~2B cosA·cosB=3/4的充要条件是A B=2kπ±(2/3)π或A-B=2kπ±(2/3)π,(k∈Z)。 证明:先对原式进行恒等变形: cos~2A cos~2B cosAcosB =1 1/2(cos2A cos2B) cosA·cosB     

一道国家集训队选拔考试题的简证及推广

题目设∠XOY=90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP=30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N.求OM ON-MN的最大值.(2004,IMO中国国家集训队选拔考试)图1解:如图1,设∠PMO=θ(0°<θ<90°),则OM ON-MN=32 12cotθ 12 32tanθ-12sinθ-32cosθ.令tanθ2=t∈(0,1),则OM     

通过构造辅助方程求某些三角函数式的值

构造法是数学中常用的也是重要的方法之一.本文将通过构造辅助方程求某些三角函数式的值,而这些三角函数的值都是不易直接求解的。例1 求sin18°的值. 解:设α=18°,那么3α=90°-2α,从而sin3α=cos2α,即 3sinα-4sin~3α=1-2sin~2α, 4sin~3α-2sin~2α-3sinα 1=O.这说明sin18°是方程4x~3-2x~2-3x 1=0的一个根. ∵ 4x~3-2x~2-3x 1=(x-1)(4x~2 2x -1). ∴原方程的根为1,(-1±5~(1/5))/4,于是sin18°=(-1 5~(1/5))/4. 例2 求 cosπ/7-cos2π/7 co3π/7的值。解:设α=π/7,并设原式为y,那么y=cosα cos3α cos5α,从而     

利用三角恒等式解三角函数求值问题

本文举例介绍利用一些熟知的涉及三角形三内角的三角恒等式去解决一类三角函数式求值的问题。例1．求cos~220° cos~240°-cos20°cos40°之值。解在恒等式cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC=1中,令A=20°,B=40°,C=120°,有cos~220° cos~240° (1/4)-cos20°cos40°=1,于是cos~220° cos~240°-cos20°cos40°=(3/4)。例2．求sin~220° sin~240°=sin20°sin40°之值。     

利用cos2θ公式的变形解题几例

2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75°     

三角函数降幂公式应用几例

三角中的降幂公式:sin~2α=(1-cos2α)/2,cos~2α=(1 cos2α)/2由倍角公式变形而得,其应用十分广泛.例1.化简cos~2(120° A) cos~2(240° A) cos~2A.解:原式=(1/2)[1 cos(240° 2A)] (1/2)[1 cos(480° 2A)] (1/2)[1 cos2A]=3/2例2.求sin~4 22.5° sin~4 67.5° sin~4 112.5° sin~4 157.5°的值.解:原式=(sin~2 45°/2)~2 (sin~2 135°/2) (sin~2 225°/2)~2 (sin~2 315°/2)~2     

一类三角求値题的探讨

题目 1.求cos~210° cos~250°-sin40°·sin80°的值。(1991全国高中联赛) 2.求sin~220° cos~280° 3~(1/2)sin20°·cos80°的值。(1992全国高考题) 3.求sin~220° cos~250° sin20°·cos50°的值。(1995全国高考题) 4.求sin~222° sin~223° 2~(1/2)sin22°·sin23°的值。(自拟题)     

解开学生心中的疑团——一道三角题的解题分析

在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

数学例题 考题命题

高中《代数》上册P193有这样一道例题: 求sin~210° cos~240° sin10°cos40°的值。 无独有偶,近几年来,与这道例题类似的考题有 (1)求cos~215° cos~275° cos15°cos75°的值。(’90全国高考题) (2)求值:cos~210° cos~250°-sin~240°sin~280°。(’91全国高中联赛题) (3)求sin~220° sin~280° 2~(1/3)sin~220°cos80°的值。(’92全国高考题) (4)求cos~210° sin~240°-cos10°sin40°的值。(’93湖南高中会考题) (5)求sin~220° cos~250° sin20°cos50°的值。(’95全国高考题) 从例题、考题所显示的信息情景,我们易于获得下述命题:     

椭圆与共轭直径 有关的一个性质

定理如图,给定椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1.PP′、QQ′是椭圆一对共轭直径.弦 BB′//QQ′,直线 l//PP′,M 是椭圆上异于 B、B′的任一点.直线QQ′、B′M、BM 分别交 l 于点O′、N、K.记 m=|QQ′|=r|OQ|,P(acos,bsin),B(acos α,bsin α),M(acos β,bsin β),则O′N·O′K=(a~2cos~2+b~2sin~2)/(cos(α-)+cos(β-){r~2[cos(α--cos(β-)]-2rcos(α-)cos(β-)+[cos(α-)+cos(β-)]}.(*)     

函数式sin~2α cos~2α的几何意义

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点     

倍角正、余弦展开式的一个性质

考察下列恒等式: cos2θ=2cos~2θ-1; cos2θ=-(2sin~2θ-1) cos3θ=4 cos~3θ-3cosθ; sin3θ=-(4sin~3θ-3sinθ) cos4θ=8 cos~4θ-8cos~2θ+1; cos4θ=8sin~4θ-8sin~2θ+1 cos5θ=16cos~5θ-20cos~3θ+5cosθ;sin5θ=16sin~5θ-20sin~3θ+5sinθ, ………………………………我们或许会猜测;是否存在某个定理,可以揭示上列展开式之间的微妙关系呢? 回答是肯定的。本文将提出并证明这个定理。定理若已知casnθ=F(cosθ))     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

一类三角求值题的制作

如图:ABCD是由两个斜边是1的直角三角形组成,且∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=α,υ∠BDC=β,(0°<α,β<90°)则 AC=sin(α+β),AD=cosα,CD=cosβ。在△ACD中, AC~2=AD~2+CD~2-2AD·CDcos(α+β),即 cos~2α+cos~2β-2cosαcosβcos(α+β) =sin~2(α+β)。这时我们只要令α+β为     

杨乐不等式的又一证法

设 A>0, B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则有: cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ≥sin~2λπ。（1） 此不等式是我国著名数学家杨乐教授建立的,证法较多。现给出这个不等式的一个浅显易懂的证法: 证明 构造不等式: x~2-2xcosλB·cosλπ cos~2λB-sin~2λπ≥0,（2） 与之对应的方程为: x~2-2xcosλBcosλπ cos~2λB-sin~2λπ=0,（3） ∴△=4cos~2λBcos~2λπ-4cos~2λB 4sin~2λπ     

初一数学期中测试题及解答

几何部分 一、填空题 1.在直线、射线、线段中,没有端点的是____,有确定长度的是____。 2.30°=____周角;1/4平角=____°。 3.53°48′ 28°31′=____;34.39°=____°____′____″。 4.若∠1=29°42′,则∠1的余角=____,2∠1的补角=____。 5.如图1,可用顶点一个字母表示的     

我也能做

1．2006年高考(江苏卷)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____．2．cot 20°cos 10° 3~(1/2)sin 10°tan 70°- 2cos40°=____．参考答案:1．4(6~(1/2)) 2．2