缺“前提”成大错

缺“前提”成大错江苏徐学华人民教育出版社出版的新编职高《数学》教材第１５１页有这样一条结论：＂同一平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面上的射影相等或它们与平面所成的角相等。＂严格地讲，结论是错误的，因为教材忽视了这条结论成立的前提条件──从...     

关于三角形的等外接圆点

设Ｐ是△ＡＢＣ内的点,使得△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的内切圆半径相等,则称Ｐ为△ＡＢＣ的“等圆点”。《中等数学》１９９７年第３期（三角形的“等圆点”问题）对这种等四点作了研究。受此文启发,本文考虑使△ＰＡＢ,△ＰＡＣ,△ＰＢＣ外接圆半径均相等的点Ｐ的性质问题,得出以下结果。定理设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上的一点,那么Ｐ使△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的外接回半径均相等的充要条件是Ｐ是否△ＢＣ的垂心或Ｐ在西△ＡＢＣ的外接回上。证明设△ＡＢＣ、△否则明、△ＡＯＣ、△ＢＰＣ的外接四分别为Ｏ、Ｏ１、Ｏ２、Ｏ…     

复数相等的充要条件的一个应用

两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,特别地,一个复数等于零的充要条件是它的实部和虚部都等于零.应用这个条件,我们就可以在复平面上求得复变量 z 所对应的点的轨迹.通常可采取三个步骤:     

利用"商为纯虚数"的条件解题

设复数ｚ1和ｚ2 在复平面上所对应的点分别为Ｚ1和Ｚ2 ,则商 ｚ1ｚ2或 ＯＺ1ＯＺ2为纯虚数的充要条件是直线ＯＺ1⊥ＯＺ2 ,其中Ｏ为原点。恰当地利用这个充要条件并注意到向量的可平移性 ,可使许多问题的解决更为简明而有趣味。例 1　设ｚ为虚数 ,求证 :ｚ -1ｚ 1 为纯虚数的充要条件是 |ｚ| =1。证　设 -1、1、ｚ在复平面上分别对应点Ａ、Ｂ和Ｐ ,由条件Ｐ不与Ａ、Ｂ重合 ,|ｚ| =1 ,当且仅当Ｐ在以ＡＢ为直径的圆上 ,当且仅当ＡＰ⊥ＢＰ ,当且仅当向量之比 ＢＰＡＰ为纯虚数 ,即复数 ｚ-1ｚ 1 为纯虚数。注　本题是一道经典题。上述证明…     

线段垂直的一个充要条件的推广及应用

文[1]给出了平面内两条线段互相垂直的一个充要条件（本文称为定理1）．定理三线段AB与CD垂直的充要条件是对于任意平面四边形，定理1即为“平面四边形的两条对角线互相垂直的充要条件是其两组对边的平方和相等”．若将平面四边形沿其对角钱折成一个空间四边形，其两条对角线与两组对边之间也有此结论．由于空间四边形总对应于一个四面体，因此将定理1推广到四面体中，可得到四面体的如下性质．定理2四面体的一组对棱互相垂直的充要条件是另两组对棱的平方和相等．也就是：在四面体D－ABC中，AB上CD的充要条件是AC’＋BD’一AD’＋B…     

平面图形旋转变换研究及应用

所谓旋转变换指的是： 如果图形Ｆ与图形Ｆ’的点之间建立了一一对应关系,并且： １、图形Ｆ上任一点Ａ与图形Ｆ’上的对应点Ａ’与某定点Ｏ的距离相等,即 ＯＡ＝ ＯＡ’ ２、定点Ｏ对图形Ｆ与Ｆ’上每双对应点连线ＡＡ’、ＢＢ’所张的视角相等,即 ＡＯＡ’＝ ＢＯＢ’＝ ,且有相同的转向（同为顺时针或为边时针）,则从图形Ｆ到图形 Ｆ’的变换叫做统定点 Ｏ的旋转变换,定点 Ｏ叫做旋转中心,它对图形Ｆ与Ｆ’的任一双对应点连线ＡＡ’所张的视角 叫做旋转角。也就是平面图形Ｆ以一个固定点Ｏ为中心,沿着一个方向（顺时针或逆时针）…     

两个平面垂直的一个充要条件及其应用

两个平面垂直的一个充要条件及其应用陕西省南郑县江南压铸总厂子校郝世富定理由一点Ｓ引不共面的三条射线ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ，设∠ＡＳＢ＝θ１，∠ＢＳＣ＝θ２，∠ＡＳＣ＝θ，其中θ１、θ２、θ均为锐角，则平面ＡＳＢ⊥平面ＢＳＣ的充要条件是ｃｏｓθ１·ｃｏｓθ２...     

你会用“射影角分线定理”吗？

“射影角分线定理”见全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（下A）第31页例3： 求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．     

一个简单的立体几何结论及其应用

众所周知 ,在平面几何中 ,如果线段ＡＢ的中点在直线ｌ上 ,那么Ａ、Ｂ两点到直线ｌ的距离相等 .在立体几何中有同样类似的结论 :如果Ａ、Ｂ两点在平面α的异侧 ,且线段ＡＢ的中点在平面α上 ,那么Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .证明　如图 1 ,过Ａ、Ｂ两点分别作平面α的垂线ＡＡ1 、ＢＢ1 垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 ,则ＡＡ1 ∥ＢＢ1 ,ＡＡ1与ＢＢ1 确定一个平面 β,α∩ β=Ａ1 Ｂ1 ,ＡＢ∩Ａ1 Ｂ1 =Ｏ .易知Ｒｔ ＡＡ1 Ｏ≌Ｒｔ ＢＢ1 Ｏ ,从而ＡＡ1 =ＢＢ1 ,即Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .例 1　如图 2 ,四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,底面ＡＢＣ…     

对一道课本例题的质疑

全日制普通高级中学教科书(试验修订本必修)(《数学第二册(下B))(新教材第23页例题4：“如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。”笔者认为此例的结论与论述有问题，值得进一步探讨。     

“具有天然重心的四边形”的探索

三角形的重心是三条中线的交点，与三条边构成面积相等的三个三角形，我们称之为三角形的“天然重心”．同样，我们也可以定义四边形的“天然重心”：若平面四边形内存在一点与四条边构成的四个三角形面积相等，那么这个点就称为四边形的“天然重心”．显然，平行四边形具有天然重心一对角线的交点．那么，是不是每个四边形都有天然重心呢？如果答案是否定的，那么有天然重心的四边形在形式上有什么特征？也就是说，什么样的四边形内存在一点，它与四条边构成的四个三角形面积相等？     

共面向量定理的一个推论及应用

人教版高中数学新教材第二册 (下Ｂ)综合运用几何推理和向量运算的方法研究立体几何问题 .用向量方法处理立体几何问题在某些方面较几何推理方便、简洁 .下面就举例谈谈用共面向量定理在处理关于共面问题上的优越性 .为方便起见 ,我们先介绍一下共面向量定理及其一个推论 .共面向量定理 :如果两个向量ａ、ｂ不共线 ,则向量ｐ与向量ａ、ｂ共面的充要条件是存在实数对ｘ、ｙ ,使ｐ =ｘａ+ ｙｂ .由上述定理易证它的一个推论 :对空间任一点Ｏ和不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ ,若有ＯＰ=ｘＯＡ + ｙＯＢ +ｚＯＣ ,则Ｐ在平面ＡＢＣ内的充要条件为ｘ+ｙ…     

圆的切线长相等的逆命题——严格闭凸曲线是圆的一个充要条件及其初等证明

在同一平面上,过圆外任一点引已知圆的切线,共有两条,且切线长相等．这个命题的逆命题该怎样表述？是否成立呢？显然我们应该从平面上一个闭曲线出发,而且要求过曲线外任意一点都可以引曲线的两条切线,我们将这样的曲线称为严格闭凸曲线．这样,“圆的切线长相等”的逆命题就变成“对于平面上的给定一严格闭凸曲线,若过曲线外任一点作曲线的两条切线,有切线长相等,那么该严格闭凸曲线是圆”．这是一个看似无从下手的问题,但这个问题完全可以用初等方法加以证明．本文就研究这个命题的初等证法．     

二面角的一个性质及其应用

在高中《立体几何》课本(甲种本)第47页有这么一道习题;“自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成角与二面角的平面角互补”.类似地还可得出:“自二面角外一点分别向两个面所在平面引垂线,它们所成角与二面角的平面角相等”(证明略).     

活用“共线”、“共面”的充要条件

由向量基本定理可以得到 :设ＯＡ、ＯＢ是平面内两个不共线向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数ｘ ,ｙ ,使得ＯＣ =ｘＯＡ+ｙＯＢ且ｘ+ｙ =1.设ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ是空间不共面的向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面的充要条件是存在唯一的一组实数ｘ、ｙ、ｚ ,使得ＯＤ =ｘＯＡ +ｙＯＢ +ｚＯＣ且ｘ +ｙ+ｚ =1.用好这两个充要条件 ,在证明有关问题时可省去很多证明过程 .例 1　已知ＯＡ =ａ ,ＯＢ =ｂ,ＯＣ =ｃ ,ＯＤ=ｄ ,ＯＥ=ｅ.又Ｏ、Ａ、Ｂ不共线 ,如果ａ=3ｃ,ｂ =2ｄ ,ｅ=ｔ(ａ+ｂ) .试问 :ｔ为何值时 ,Ｃ、Ｄ、Ｅ三…     

复数问题求解大观

一、利用复数相等的充要条件复数相等的充要条件是它们的实部、虚部都对应相等.利用复数相等的充要条件是我们处理很多复数问题的关键所在.通过一分为二,使复数问题化归为实数问题得以解决。     

关于圆锥曲线几个问题的探讨

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象。如果把圆锥曲线定义中的关键词“和（或差）”换为“平方和（或平方差）”，那么动点的轨迹或者仍然是圆锥曲线，或者是直线；一条直线，只要不与抛物线的对称轴及双曲线的渐近线平行，那么它与圆锥曲线相切的充要条件是它们只有一个公共点。这是圆锥曲线有别于其它二次曲线的一个重要特征；圆锥曲线也有类似于平面几何中切割线定理的表达式，这些表达式揭示了圆锥曲线上任意一点与共对称轴上特殊点之间的一种特殊关系。了解上述三个结论，对于进一步研究圆锥曲线的性质是十分有益的。     

高中立体几何能力训练

一、选择题:(有且只有一个正确答案) 1.给出下列四个命题 ①若平面an平面夕一l,则“点尸在l上”是“点p是a、召的公共点”的充要条件. ②“a、b是异面直线”指的是:a仁平面a,b二平面口,且an召~件 ③分别与两条异面直线a、b都相交的两条直线必然是异面的. ④一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补. 其中正确命题的个数为 (A)0(B)1(C)2(D)3 2.给出四个命题 ①若点P是异面直线a、b外的一点,则过P必可作一个平面与a、b都平行. ②两个二面角的两个面分别垂直,则这两个二面角的大小必然相等或互补. ③若直线l贫平面a且l与…     

向量在几何解题中的应用

向量在几何解题中的应用民勤县三中詹生椿，蒋永录一、证明等量关系利用向量证明等量关系较为简明，其基本思路是证明向量的模或模的平方相等。例１．如图（１），从圆外一点Ｐ作割线ＰＢＡ，设⊙Ｏ的半径为Ｒ，证明圆幂定理：证明：过点Ａ作⊙Ｏ的直径ＡＡ＇，连接Ａ＇Ｂ...     

最终的反射光线与入射光线重合的研究

许多复习资料中都有类似如下的题目： ［例１］如图１所示，有两个相交２５°角的平面镜，一束光线ＡＯ射到其中一个平面镜ＭＢ上．要使最后反射回去的光线与光线ＡＯ重合，且方向相反，则光线ＡＯ与平面镜ＭＢ的夹角必须等于_______角． 资料上提供的答案是６５°，这个答案是不全面的．下面我们首先来研究两平面镜间最终反射光与人射光重合的规律． 若入射光线 ＡＯ经两平面镜的 ｎ次反射，光线跟其中一块平面镜垂直，则光线将沿原路返回．设两平面镜的夹角为α，第１，２，…ｎ次反射的入射光与平面镜的夹角分别为产β１，２β…，βｎ（…