从“半圆周长等于圆周长的一半”谈起

请见《教师之友》(1996年5期28页)洪国镛先生撰写的《几何初步知识概念辩析》每题18: 半圆周长等于圆周长的一半。辩析:半圆周长应是圆周长的一半,加上其直径的长度。笔者评议:原命题正确、辩析错了。     

谈谈平面几何中的最大(小)值问题

八二年天津市初中升学考试数学试题第八题是:“已知半圆O中内接梯形ABCD,下底AB=2R,求梯形ABCD周长的最大值。”该题实质上是求二次函数的最大值问题。解这种题目,初中学生往往是感到比较困难的。究其原因,所在多有,主要的有二;一是平时学习中往往不大注意平面几何中的“最值”问题;二是不会将平面几何的问题转化为代数问题进行求解。因而,在初中平面几何教学中,重视“最值”问题的教学,并引导学生学会解决这类问题的方法无疑是必要的。其实,平面几何中有不少公理、定理都涉及到“最值”。例如,在连接两点的线中,线段最短;连接直线外一点和直线上各点所得到的线段中,以和直线垂直的线段为最短;直径是圆内最大的弦;等     

例说竞赛中平面几何的最值问题

某平面几何的元素在给定条件下变动时,求几何量(如线段的长度、图形的周长与面积、角的度数等)的最大值或最小值问题,以及由最值条件来确定其他结论,称为平面几何最值问题.此类问题既要用到几何的有关知识,又要用到代数(不等式、配方法、函数等)的有关知识,解题方法灵活,技巧性强,对初中学生来说具有一定难度.本文以近年来的竞赛试题为例,归纳总结出解决此类最值问题的几种常用方法,供参考.     

半圆周长与半圆弧长不能混淆

在小学现行教材里,没涉及"弧长"概念,所以教学中出现求半圆弧长时,为避开这一名词,不少教师改用"半圆周长"来叙述.殊不知这样一改,就把两个不同的概念弄混了,出现了知识性错误.事实上,"半圆周长"是指半圆弧长与圆的直径长度之和,而"半圆弧长"即圆周长的一半.两者的区别在于前者含圆的直径,而后者不包括圆的直径.在教学中遇到这一问题时,教师不应该讲"半圆弧长"的术语,更不能用"半圆周长"来替代,怎么     

立体几何问题中的降维转化策略

立体几何是建立在平面几何基础之上的,立体几何知识是平面几何知识的拓展, 因此利用它们之间的这种关系是解决立体几何问题的一个关键,下面结合例题谈谈 立体几何问题中的降维转化策略. 1.类比法 类比平面几何某一问题的解法(证法)得到 立体几何中类似问题的解法(证法). 例1 如图1,在棱长为3的正方体AC1中,     

几何变换在初中几何教学中的应用

初中平面几何是学生第一次系统地学习平面几何知识,对学生的认知有一定的要求,是初中数学教学的难点之一.如何做好初中平面几何的教学是每一个初中数学教师都应该深思的问题.本文将从几个方面谈谈几何变换在初中几何教学中的应用,来提高初中平面几何的教学质量.     

谈谈初中数学竞赛中的整数几何问题

数学学科中2门最古老的分支为平面几何与整数问题，这2门分支的有机结合指平面几何中的某些基本量（边长、角度、周长、面积等）为整数的几何问题，或几何问题中的计数问题等．这些问题历来是初中数学竞赛的热点问题之一．     

半圆没有周长和面积

半径为 R 的圆的面积是πR~2,周长是2πR,不能说半径为 R 的半圆的面积是(1/2)·πR~2,周长是πR 2R,因为半圆没有周长和面积.我国初级中学各类《几何》课本对半圆的定义基本相同.譬如:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条孤,每一条弧都叫做半圆(人教版初中《几何》第三册第65页);如果弧的两个端点恰好是直径的两个端点,那么这     

钻研初中平面几何(暂用本)第一册的体会

初中平面几何(暂用本)第一册(人民教育出版社编辑出版。1961年第一版)是吸收了初中平面几何(暂用本),(1960年第一版)的精华,并作了必要的补充,因而比较完善。     

运用平面几何中圆的相关性质求解直线与圆习题

<正>由于圆的对称性,以及初中平面几何中学习过的圆的相关性质,对于圆的问题常常可以用平面几何的方法,亦可以采取解析几何的解析法。而对于初学解析几何的同学,更容易想到平面几何的方法,若构造得当,可以免去复杂的计算。一、圆幂定理(割线定理、切割线定理、切线长定理、相交弦定理)例1过点P(-3,-2)且斜率为k的直线l交圆C:(x-1)²+(y-1)2+(y-1)²=9于A,     

“半圆周长等于圆周长的一半”之我见

《教师之友》1996年第10期第33页刊发了劳庆元先生撰写的《从“半圆周长等于圆周长的一半”谈起》,文中认为“半圆周长”就是半条圆周的长度,     

平面几何最值问题的常用解法

<正>平面几何最值问题一直是各省市历年中考必考的热点与难点,本文以中考试题及模拟题为例,就平面几何最值问题的解法进行归类探究,供参考.一、利用圆中最长的弦是直径例1(2015年陕西)如图1,AB是⊙O的弦,AB=6,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是___.     

初中竞赛中的整数几何问题

这里所谓整数几何问题,是指几何图形中的某些基本量(边长、周长、角度、面积等)为整数的几何问题.把古老的平面几何与整数的有关知识综合起来命题,是近年来初中数学竞赛试题中的一种常见题型.本文举例说明常见的四类整数几何问题的解法,供读者参考.一计数问题几何计数是整数几何问题中的主要题型,解     

平面几何起始课教学的几点做法

一、设计生动有趣的内容,激发学习兴趣。 平面几何起始课教学中,我首先以讲故事的形式,导入引言教学,向学生介绍劳动人民是如何在生产和生活实践中创造了灿烂的文化。如:他们为了解决熟食问题,发明了钻木取火。在数学上,农民的经验是:九步腰高十三担(谷堆有腰高,周长有九步,谷重约十三担);一尺圆周三寸三(一尺长的圆周,直径约三寸三)等。当学生听得津津有味时,我把话题一转,接着介绍:平面几何学也是劳动人民在生产劳动中创造出来的,譬如:数学家商高发现的商高定理,即我们将要学习的勾股定理,以及祖冲之算л值的故事等等。     

平面几何中的定值问题

统编初中数学课本中,编入了一些平面几何的定值问题。学生对这些问题常感困难。主要原因是:对几何定值问题的意义没有领会清楚,对于解这类问题目的思路也缺乏引导。下面就此问题,谈谈一些看法。在一些几何题的题设条件中,一部分几何元素(线段、角、弧等)固定,而另一部分几何元素虽然是任意作的、不固定,但与之有关联的某些线段(或角、孤、面积)或其和、差、积、比等的值却是一定的。根据已知条件求出这些定值(具体的数值或用已知几何元素的值来表示的值),这就是所谓“定值问题”。     

中位线定理在几何证明中的应用

<正>三角形(梯形)中位线定理在初中平面几何中是一个很重要的定理,运用定理结论中的位置关系和数量关系,往往能证明许多有关问题.现举例谈谈它在几何证明中的应用.一、证明线段相等或倍分关系例1求证:直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知:如图1,梯形ABCD中,AB∥DC,BC     

你若探究 花自盛开——一道河南模考解析几何题的探究

<正>解析几何问题往往延续初中平面几何中点、线段、直线以及平面几何图形等的关系,结合平面几何的方法或坐标法来处理一些相应的问题,特别是一些相应的最值问题等,越来越成为命题者青睐的考点之一.特别,此类问题往往是创新的重要场所之一,通过巧妙设置来综合应用.1问题呈现【问题】(河南省中原名校2019届高三第一次教学指导卷·15)已知线段|AB|=24,直线l     

例谈代数方法解决平面几何问题

<正>初中平面几何有一个特点是公理、定理多.一般平面几何问题都需要从几何公理、定理出发进行推理与论证.实际上,函数是研究数与量的关系,通过点、线变化建立函数模型,对于一类比较复杂的平面几何问题,可以考虑把平面几何图形放在平面直角坐标系中用代数方法(解析法)来解决.本文例举用代数法解几何题.例1(2017年重庆中考中考题)如图1,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上     

由一道高中数学联赛题得到的一个关系式

题目(1982年全国第二届高中数学联赛):已知:(1)半圆的直径AB长为2r;(2)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为点T,|AT|=2a(2a相似文献   

谈谈平面几何入门教学

谈谈平面几何入门教学北京市教育局教研部王占元平面几何第一章线段、角及第一章相交线、平行线，在九年义务教育教材中安排在初中一年级第二学期讲授，由于学生年龄小，入门教学难度大，应采取必要的措施，搞好入门教学，下面仅就如何搞好平面几何入门教学谈点个人看法，...