直觉·猜想·证明(1)

凭直觉获取猜想,然后再证明(或推翻)它,这是一项十分有意义的训练,因为这比要求你证明现成的结论需要更多的知识、经验、技能与机智,也比证明现成的结论更富有吸引力,因为大家都习惯于相信自己的猜想是正确的.下面一组问题可以证实上面的看法.问一两个三角形具有相等的面积,这两个三角形一定全等吗?大家都知道这两个三角形不一定全等,但在回答(或证明)“为什么不一定全等”时,常常表现出不同的水平.问二两个三角形具有相等的面积且具有相等的周长,这两个三角形一定全等吗?为什么?条件增加了,猜想就可能不一样———部分同学认为这两个三角形…     

用勾股数构造等积等周的两个非全等三角形

对于面积和周长都相等的两个三角形是否全等这一问题,常不约而同地举出了下图所示的两个等腰三角形反例。它们的面积都是420,周长都是98,但它们并不全等。显然,图中所示的两个等积等周的非全等三角形是利用勾股数构造出来的,那么,用另外的勾股数能否构造出两个不全等的三角形,使它们的面积和周长都相等呢?本文试图回答这个问题。     

有相同面积和相同周长的三角形是否全等?

若两个三角形有相同的面积和周长,这两个三角形全等吗?我们从直角三角形开始研究.引理设 ABC 和 RST 是直角三角形,若三角形 ABC 的面积等于三角形 RST 的面积且三角形 ABC 的斜边长等于三角形 RST 的斜边长,则三角形 ABC 全等于三角形 RST.证明由假设三角形 ABC 和 RST 是直角三角形,则在三角形 ABC 中,a~2 b~2=c~2.在     

一道探究性的好题

最近看到一份初二期末数学试卷,发现其中有一道探究性的好题. 题目把三边长为3cm、4cm、5cm的三角形与一个边长待定的直角三角形拼在一起,如果这两个三角形拼成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的周长. 分析这两个三角形都是直角三角形,我们利用分类思想分为这两个三角形全等或不全等两类情况来思考.当两个三角形全等时,直角边所在的直线应是等腰三角形的对称轴.这又有两种可能,如图1     

周长和面积相等的两个三角形全等吗?

我们知道,全等三角形的周长和面积相等.反过来,如果两个三角形的周长和面积相等,那么这两个三角形全等吗?回答是否定的,如边长分别为6,8,10的三角形与边长分别为9,15+√17/2,15-√17/2的三角形,它们的周长都是24,面积也都是24,显然这两个三角形不全等. 如果满足条件的三角形是特殊的三角形,情况又会怎样呢?对于等边三角形和等腰直角三角形,容易证明它们全等.对于一般的等腰三角形,仍然不一定全等,如边长分别为4,11,11的三角形与边长分别为7,7,12的三角形,它们的周长都是26,面积都是6√13,显然这两个三角形也不全等.     

探索·分类·讨论

一个等腰三角形的一边等于3,一边等于6,这个三角形的周长等于多少?Z老师以这个简单的问题开始了今天的讲座.W同学说:如果腰长为3,那么周长为3 3 6=12;如果腰长为6,那么周长为6 6 3=15.     

周长相等且面积相等的三角形是否全等?——一节数学活动课的课堂实录

<正>在北师大版七年级数学下册《图形的全等》一节课本里,我们有这样一个结论:全等三角形的周长相等且面积相等.这个结论是学生非常容易理解的.但是这句话反过来说对不对?周长相等且面积相等的两个三角形全等吗?以下通过一堂数学活动课的简介,让我们从中看到数学活动课的重要作用.一、回顾知识,提出问题教师引导学生回顾已有知识,"全等三角形的周长相等且面积相等",那么这句话反过来说对不对呢?即周长相等且面积相等的两     

与等腰三角形相关的几个极值问题

用几何方法证明了 :当固定三角形的一边时 ,若面积一定 ,则以该边为底的等腰三角形周长最小 ;若周长一定 ,则以该边为底的等腰三角形面积最大 .在此基础上形成命题 :三角形面积一定时 ,以等边三角形周长最小 ;三角形周长一定时 ,以等边三角形面积最大 .对命题提出了证明的思路 .     

一组有趣的剪纸题

问题1把图1中的格点多边形剪成四部分.要求:(1)沿格点剪裁;(2)四部分全部全等.问题2如图2,由五个相同的正方形组成的“+”字形纸板,请将它剪两刀,然后重新拼成一个正方形.问题3将正方形ABCD按图3(a)比例裁剪后拼成另一个矩形如图3(b),试求(x+y)∶y的值是多少?问题4有直角边分别等于2和3姨的直角三角形纸块(如图4),请将这个三角形剪裁成3块,再拼成一个正三角形(通过画图表示).问题5设M是△ABC(非等腰三角形)边BC的中点(如图5),求最小值n,使得可以把△ABM剪成n个小三角形,这n个小三角形能够重新拼合成一个全等于△ACM的三角形.问题6请…     

一道探索题

问题等腰三角形一腰上的高与底边的夹角和顶角之间有何关系?并证明你的结论.(请读者自己先思考)猜想以上的问题是对任意等腰三角形而言的,所以,也适用于等边三角形,可用等边三角形进行探索.如图1,△ABC 是等边三角形,BD 是 AC 上的高,显然∠1=30°,∠A=60°,故∠1=(1/2)∠A.于是可猜想:等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.     

例析等腰三角形中的多解问题

等腰三角形是重要的特殊三角形,它的边有底边和腰之分,角有顶角和底角之别,在具体的有关等腰三角形的问题中,如果边和角未指明或没有确定,那么问题的答案往往就不是惟一的,要运用分类讨论的思想,注意多解情况,以免漏解、误解.一、与边有关的多解情况例1等腰三角形一边等于7,一边等于6,求它的周长.分析:因为题目中没有指明那一条边是腰,那一条边是底,所以可能腰长是7,底边长是6;也可能底边长是7,腰长是6.故周长是20或19.例2已知!等腰三角形的周长是16,其中两边之差是2,那么这个三角形三边的长各是多少?分析:因为题目没有确定底与腰谁长,所以…     

等截线与等截面

众所周知 ,等腰三角形底边上的高所在的直线 ,同时把三角形的周长和面积截成了相等的两部分 ,而一个一般三角形的高所在的直线就不一定具有这样的特点 .那么 ,对于一个一般三角形 ,是否存在能同时把它的周长和面积截成相等两部分的直线 ?类比到空间 ,对于一个一般的四面体 ,是否存在能同时把它的表面积和体积截成相等两部分的平面 ?下面就这两个问题进行讨论 .1.1　定义　若一条直线把一个三角形的周长和面积同时截成相等的两部分 ,则称这条直线为这个三角形的等截线 .1.2　定理　每一个三角形都有等截线 ,并且它经过三角形的内心 .图 1证明…     

你会分割三角形吗

等腰三角形是特殊的三角形,它有两条边相等.那么,能将一个一般的三角形分割成若干个等腰三角形吗?如果能将一个三角形分割成若干个等腰三角形,那么这个三角形是否要具备某些条件?同学们,你们能回答上面的问题吗?如果不能的话,看了下面的两个例题后,就会明白了.     

似是而非的几何问题

数学的基本特点之一是严谨性,它除了要求数学结论必须精炼准确外,更要求对结论的推理论证既严格又周密,几何教学的任务之一是培养学生的逻辑思维能力,为此,在几何教学中尤其要注意其严谨性,不能凭直觉和想象推理,本文例举几个似是而非的几何问题加以说明。 问题1:面积相等的两个三角形不一定全等,周长相等的两个三角形也不一定全等,但周长和面积分别相等的两个三角形一定全等吗?     

三角形面积比定理的应用

我们知道,若一个三角形的一个角与另一个个三角形的一个角相等,则这两个三角形面积的比等于夹此角的两边乘积的比(特例:相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方)。应用这一定理,可使关于三角形面积的一类问题获得简捷证明,兹举例如下: 例1 如图1,S是等腰三角形ABC的腰AB上的任一点,R为腰AC延长线上任一点,M为RS的中点。过M作BC的平行线分别交AB、AC的延线于P、Q,若PM·MQ     

周长与面积的值相等的整边三角形问题

三边长分别为6、8、10的三角形,其面积和周长的值都是24,象这样的三角形有多少个呢?本文要证明,一个三边全为整数的三角形,满足周长的值和面积的值相等,这样的三角形有且只有五个.     

该选哪个答案

今天数学课讲的内容是三角形,老师出了一道补充题。题目是这样的:一个等腰三角形的两条边分别长4厘米和10厘米,那么这个等腰三角形的周长是多少厘米?从下面四个选项中选择一个答案。     

关于“边边角”成立条件的三次讨论

命题:两边及其中_边的对角对应相等的两个三角形全等.类似于“SAS”,我们把这个命题叫做“SSA”.这个命题是假命题,我们通常利用等腰三角形来构造反例,有两种方式.方式1如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D     

(三)全等三角形测试卷(A)

一、填空题（每空5分，共25分）：1．若三角形三条边长分别是3、5、x，则。的取值范围是_____．2若等腰三角形一边长是Zcm，另一边长是5cm．则它的周长是_____cm．3．若三角形两个内角分别是50°和70°，则第三个内用是_____4如图1．B，C、D在同一直线上，3∠ACB=∠ACD，∠B=40°，则∠ACB=．∠A=．二、判断题（正确的在话号内画””，不正确的在话告内画“X”．每小题4分，共20分）；1．若等腰三角形一边的长是5，另一边的长是8，则这个三角形的周长等于18（）2．三角形的外角大于任一内角．（）3．两用一边对应相等的两个三角形全…     

借思想之力 求“等腰”之角

与等腰三角形有关的求角问题在学习中屡见不鲜.解答它们,除了利用“等腰三角形的两个底角相等”“三角形的内角和等于180°”“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”等性质外,有时还要注意结合利用一定的数学思想.现以中考题为例介绍如下: