杨辉恒等式的推广与三类组合恒等式

杨辉恒等式即现行高中数学教材中所述组合数的第二个基本性质:C_(n-1)~(i-1) C_(n-1)~i=C_n~i(1≤i≤n-1)(1) 我们可以结合等差数列将其推广为定理设a_0,a_1,…,a_n是一个等差数列,则当0≤i≤n时,恒有 a_iC_n~i=a_nC_(n-1)~(i-1) a_0C_(n-1)~i(2) 证明:当i=0或n时,按规定有C_(n-1)~n=0,C_(n-1)~(-1)=0,此时,(2)式显然成立。当1≤i≤n-1时,设等差数列a_0,a_1,…,a_n的公差为d,则a_i=a_0 id (0≤i≤n),于是     

二项式系数和b_n(r,i)=sum (n k)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n的同余性质

利用同余理论及初等方法探讨二项式系数和bn(r,i)=sum (k n)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n在模p下的同余性质.     

A class of not max-stable extreme value distributions

The sequences {Zi,n, l≤i≤n}, n≥l have multi-nomial distribution among i.i.d. random variables {X1,i, i≥1}, {X2,i,u≥l }, …, {Xm,i, i≥1 }. The extreme value distribution Gz(x) of this particular triangular array of i.i.d, random variables Z1,n, Z2Zn,n is discussed in this paper. We found a new type of not max-stable extreme value distributions, i) Gz(x) = r-1∏i=1ФAiαi(x) × Фαr (x);ii) Gz (x) = r-1∏i=1ψAiαi (x) × ψαr (x); iii) Gz (x) = r-1∏i=1 ∧Ai (λix) × A(x), r≥2, 0＜α1≤α2≤…≤αr and λi∈ (0,1] for i, l≤i≤r-1 which occur if Fj, …, Fm belong to the same MDA.     

一道组合题的推广与拓宽

在组合数学中，有这样一道常见题：有编号自1至n的n张卡片，从中取r张（2r－1≤n），不许重复，求这r个号码没有邻号的组合数。本题的解法有多种。今借助一典型的解法－“减去数列法”，把有约束条件的组合问题转化为无约束条件的组合问题。进而考虑一般情形时结果。解：设取出的r张卡片的号码从小到大的排列是l1＜l2＜l3＜…＜lr（其中1≤l1，lr≤n）因为没有邻号，故l(i＋l)－li≥2（i＝1，2…，r－1）。命Pi＝li－(i－1)，（i＝1，2，…，r，即将数列l1、l2、…、lr与数列0、1、2、…、r－1依次对应相威，此所谓“减去数列法”），得到P…     

(ax by)~n的展开式系数绝对值的单峰性

我们知道,二项展开式(x y)~n=sum from i=0 to n(C_n~ix~(n-i)y~i)的各项系数C_n~0,C_n~1,…,C_n~n的大小规律具有单峰性,即 当n为偶数时,C_n~0C_n~(n/2 1>)…>C_n~n; 当n为奇数时,C_n~0C_n~((n 1)/2) 1>…>C_n~n。 实际上,(ax by)~n=(sum from i=0 to n(C_n~ia~(n-i)b~ix~(n-i)y~i)(a,b∈R,ab≠0,n∈N_ ) ①的各项系数的绝对值 g_(i 1)=C_n~i|a|~(n-i)|b|~i(i=0,1,…,n) ②的大小规律也具有单峰性,本文给出这方面的结论。     

欢乐的小水滴

1:c署(童声二重咀)欢快、活泼地洋鲢{韭I弩鲢箜I 443 4~i墨毛地l笔纽氅毡l弩丝丛l塑盏{也)ff地5 3。遒0 34 I出逦034 I;i、s I(咝:i 5)I地遒l 4—2 0—6 111.我们在蓝天上聚 集, 多么地欢乐多 lt2.我们在大地上相 会,走过了海角走 Il “i “I,、 I I n 0 U一3 1 0—1 2 l 3 1 o 1 2 I 3 53 1 0 0 l驾哗I一2 7 0—4Il 5 2 I业(443)I鼬迥I她型I虹迦l i 8.II么 地 萧洒, 太阳她 照耀我们威为灿烂的朝霞,II过 了 天涯, 大海她托起我们威为绚丽的浪花,U 3 7.1红0 I～S l o r2 f蛆咝l|盟迦l璺4·‘: t——.『f虹虹l缈咝I幽绁h It I选i…     

错在哪里?

1.’:了a一b二侧一(西一a)对任何a、b均成立, :.侧了二丢一二侧(三i)一叹西一a)二i了b一a(1) 同理丫万丁舀~一训(一1)(a一b)~i了a一乙(2)将(1)、(2)两式两边分别相乘得 训a一b一侧万二云一艺2·侧一万一二及·侧云二万 :.护一1又’:2“一(挤二r)“~一1,…1-一1. 2.’.’(一1)“~1,两边取对数得 2 19(一1)~1 92,’,’191一D…219(一1)一0,即19(一1)~0由此得出10。~一1,又‘.’功“~1…1-一1. 3.设x为不等于1的正数,a满足xa-一1,则(厂)2一(一1)“,护‘一1 、今1,.’.2(l一0由此得a一0,.’.尸一xo一l,’.1一一t.错在哪里?@陈小鹤~~…     

琴生不等式的加强

本文采用Lagrange乘数法获得了琴生不等式的加强形式:设a_i>0(i=1,…,n),如果r>1,那么(sum from a_i)~r≥sum from a_i~r-+(n~r-n)[1/n(sum from a~(-1)]~(-r)、如果o相似文献   

一个不等式命题及证明

命羽 设“、b>O,且口 b=l,r∈Q.(I)”j l}<,‘<1时,(“i 11}^^)“≤(口r下 l 6串)r.{2)当,一<0或r>l时,(∽‘i 1,"’r-,≥(n型r十6掣)r. '”…他“j“:b=去时①、②中的等号成立.啪明:…;ⅢIt要用到下面的不等式…:i“j I,,i)I c?: 6;)…(口: 6:)③的左边 ≥(口1n2…口。 bI b2…b。)“, (*)其中ar、bl>0.等号当且仅当寄。薏～一券时成 ,立. (1)因0相似文献   

一个不等式的加强及最佳结果

.若,:)2,则13,1 .1_l,3石1又二万万十二二一石十”’十石二又几-.‘任n十l“州卜“r.,(1)’二+、渝J这是许多书刊上选用的一个不等式,它是不等式:.若n)2,则(月+l)(,:十2)甲、.产、.声 门J.在︸口自.卜/.、i,1_1 ..1,.下又二二二~二十二了下十’‘’十石二-又1。‘一“一l”十“I.十…+(Zn一])·2,:的加强。 本文指出,不等式(l)还可加强为: 若n》2,则 4_11__1,J了 公(二二;二+二下+…+‘二花厂(一-二~。 7、”+1’陀+2”Zn、2’并且有最佳结果: 7_1_1-一1,一 鑫,落支竺-今一兰+…丰份斗了In2 12、n+1’”+2‘’2”、一一沙眼一洁)十(汤一…     

一个整除性问题

设p是奇素数,r=p(-1)/2.又设ai(i=1,2,…,n)是与p互素的整数,b=(a1r-a2r)a(2r-a3r)…(anr-ar1).证明了:当n是奇数时,必有b≡0(mod p);当n是偶数时,存在ai(i=1,2,…,n)可使b≠0(mod p).     

关于一般微分单项式的值分布(英文)

讨论了一般微分单项式的值分布 ,得到定理 :设 f 是平面上的超越亚纯函数 .F=fn0 (f( i) ) ni… (f( k) ) nk-c,ni≥ 1,c≠ 0是常数 ,那么 (n0 -2 ) T(r,f )≤ N(r,1F ) S(r,f )　 n0 >2T(r,f )≤ 7(i 1)i (Ni) (r,1f ) N(r,1F) ) S(r,f )　 n0 =1T(r,f )≤ 7(N (r,1f ) N(r,1F) ) S(r,f )　 n0 =0 .     

构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

一个普通组合公式的发掘和应用

本文论述的是原高中课本的一个普通组合公式 晓 心 , 浇 : … 叱十一1~心粼的发掘和应用. 这个公式可以用排列数表示为: 摆十尸: , 尸二 ,十… 尸二十一,~丁毕兴灭尸沈L敌十l夕 上面公式可以写成 l·2·3…m 2·3·4…(m十l) 3 .4·5…(m 2)十… n(n十l)(超 2)…(n rn一l)=-卫-,(, l)(二 2)…(。 m)刀正十1 可以发现公式左边是以a,~n(n 1)(n 2)…(n十m一l)(m个连续自然数的积)为通项公式的数列的前n项和5.,右边是这个数列的通项公式有,(。 1)(。 :)…(, m一:)与赎考的积 子刀-广l 于是得出如下定理: 定理:以n(n 1)(n 2)…(,: m一l)这m个连…     

变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的求法

求一般变系数的线性齐次微分方程的特解往往只是凭观察,而没有一个有效的方法,本文根据线性无关函数组u_1,u_2,…,u_m的线性组合sum from n=l to m(i=l)k_ju_l≡0的充要条件是系数k_1,k_2,….k_m.全为零的性质,给出变系数线性齐次微分方程内e~(rx)型特解的一种求法.(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y~(n)+(sum from n=l to m(i=l)a_(n-1)_lu_l)y~(n-1)+…+(sum from n=l to m(i=l)a_(ol)u_l)y≡0     

1993中国数学奥林匹克(CMO)

一、设n是奇数.试证:存在2n个整数al,由,””久办,瓦,…,b.,使得对任意一个整数k,o相似文献   

短文填空专练(英文)

A S c h o o l F r i e n d o f E n g l i s h (A) Most Americans don1t like to get advice __1__ members of their family. They get advice from “__2__ (strange)”. When they need advice, they don1t usually go to people they know. __3__ many of them write let…     

“分油”问题

有容器A_p、A_m和A_n(下标表示容量,m>n,q≥m n),其中A_p装油m n斤,若只用这三个容器,能否将这些油平分?下面进行粗浅讨论。命题一若n m(m>n),m=m’d,n=n’b,(m’,n’)=1, 且 m r_(i-1)=k_in r_i 0≤r_i相似文献   

日本高考模拟题选译(数列)解答

1.解:1.当公比为1时,设首项为a,r“一工扮O,…r“+2=0)r’1二一2则由S。二IC,得na=1饰这时3凡a=3几了两足厉3,=谷。,:.52。=艺几a=2·功=20。…S:,:_a(1一r“”) l一r1.当公比不为1时,设公比为儿s。=10-有些‘等井三=‘。·3。,有丝上竺竺王=30.则由 ①_a(1一rn)(1+r”)1一r=切,(一1)二一训。2.解:(1)an=4(1+1。+土赴“「二,1一r②+1。“一‘)=二门J”一l)。E产旦丝二望勺(;+,n十,2 n).1一护⑥(2)Sn=沙l;少(1+r“十r““)=3G。粤(,屯‘一‘’俨名n+尹n一2=0,(r’飞一i)(rn+助二、)、生〔卫(1(一])一,,〕日LU1986年第三期49.=丝(10” 81…     

有向循环图与有向圈的乘积的研究

本文讨论了有向循环图与有向圈的乘积 ,得到了以下结果 :( 1)有向循环图D(n ;s1,s2 ,… ,si- 1,nl ,si+1,… ,sr)是连通的充要条件。( 2 )设有向循环图D(n ;s1,s2 ,… ,si- 1,s,si+1,… ,sr)连通 ,且n =ls,gcd(n ,s1,s2 ,si- 1,si+1,… ,sr) =l(l>2 ) ,则D(n ;s1,s2 ,si- 1,s,si+1,… ,sr) D(s ;s1l,s2l ,… ,si- 1l ,si+1l ,… ,srl)× μl。( 3)设D(n0 ;s1,s2 ,… ,sr)是连通 ,则D(n0 ;s1,s2 ,… ,sr)×μn1× μn2 ×… μns为有向循环图 gcd(ni,nt) =1(i,t =0 ,1,2 ,… ,s ;i≠t)。gcd(n ,s1,s2 ,… ,sr)表示n ,s1,s2 ,… ,sr 的最大公约数 ,μl 表示具有l个顶点的有向圈