柯西不等式的向量形式(高二、高三)

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2)     

用向量证明柯西不等式(高一、高二、高三)

柯西不等式的证明方法很多,本文从余弦定理入手,引入向量,构造向量的内积,得到新的证明方法: 设a、b、c,分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边的长,由余弦定理知 C2=a2+b2-2abcosC ①在①中,分别以向量CB、CA、AB的模代替     

三角形与不等式(高二、高三)

看完贵刊2004年第4期中的《用重心公式解三角二例》一文后,我感受颇深.三角形与不等式之间的确有很多相通点,想到自己原来做题时也有所发现,就将它们作一简要总结与大家共享.     

柯西不等式与“希望杯”赛题(高一、高二、高三)

柯西不等式:对于任意实数ai,bi(i=1,2,…,n)有 (a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当ai=kbi(k为常数)时成立. 柯西不等式揭示了任意两组实数积之和的平方与平方和之积间的大小关系,应用十分广泛.下面以近十年来的“希望杯”试题为例,供同学们参考.     

足球与不等式(高二、高三)

1.足球产品销售与不等式题1 甲级足球赛期间,甲、乙两名中学生参加社会实践活动,帮助一个玩具足球商推销产品,每次在同一比赛场地外同价卖出玩具足球(随着足球赛的进程,玩具足球的价格可能不同).他们在小组赛、复赛和决赛期间,各推销了三次,中学生甲每次卖出玩具足球1000只,中学生乙每次卖出玩具足球所得款为1000元.现在规定谁平均每只足球卖     

用向量证柯西不等式,很简捷!(高一、高二、高三)

设Ⅱ1,a2,…,a。;bl,bz,…,b。为两组实数,则有不等式(ni+n;+…+n;)(6}+b;+…+b;) ≥(。1b1+a2b2+…n。b。)。,其中等号当且仅当等一万a2一·一ian时取得.这就是很有用的著名的柯西不等式,现在我用向量证明: 若ai(i一1,2,…,”)全为零时,不等式显然成立. 若b:全为零时,不等式也显然成立. 若a。和bi都不全为零时,构造向量 X={a1,a2,…,a。},Y一{bl,bz,…,b。}并设向量的夹角为臼,则 (“1 b1+a2bz+…+a.b。)。 一(xy)。一J z l。J Y J。COS。0≤J X卜J Y J 一(a}+ai+…+ai)(b}+b;+…+b;), 当且仅当cosO一0,即x∥Y时等号成立, 当x∥y D~…     

参数法证不等式(高二、高三)

用参数法证明不等式,思路新颖自然,操作简捷,应用广泛.基本思路是引入参数,建立与结论形式相似的不等式(多采用平均值不等式),然后赋值(多为平均值不等式成立条件),消去参数,实现所建不等式特殊化,从而得证.     

可用向量证明不等式(高二、高三)

例1 设a、b、c、d∈R.求证: 证明令a1=ai+bj,a2=di+cj,其中i⊥j且|i|=|j|=1(以下各题同,略),a1、a2的夹角为θ(0≤θ≤π),则a1、a2的坐标分别为(a,b),(d,c),由向量数量积定义,得     

函数与不等式(高一、高二、高三)

不等式与函数的关系很密切,当不等式中问题用常规方法不易解决时,不妨考虑用函数观点进行分析,可能比较容易求解,为此,本文介绍函数观点在不等式的证明、求最值及确定参数范围等方面的应用. 例1 设a,6∈R,求证     

用换元法证明不等式(高二、高三)

在不等式的证明过程中,按照所证不等式的结构特点,将不等式中的变量作适当的代换,可使不等式的结构明朗,从而使不等式变得容易证明,这种方法称为换元法.     

构造向量 证明不等式(高一、高二、高三)

向量本身就是“数”与“形”的一种结合.因而,为解题带来了新的生长点,本文说明它在不等式证明中的应用.     

解不等式中的建模(高一、高二、高三)

解不等式可分为解显性式不等式和隐性式不等式.显性式不等式形式单一、解法固定.隐性式不等式在形式上通常没有给定,但需要计算取值范围,它的求解包含建立不等式、解不等式两步.建立不等式就是建立数学模型.由于形式多变、解法灵活,因而更能体现思维的宽窄与深浅,是高考命题的一个重点与热点.本文着重分析如何建模.     

不等式中的构造法(高一、高二、高三)

1.联想构造联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程,这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.由联想而引发的构造称之为联想构造.     

均值不等式的凑项技巧(高二、高三)

用均值不等式证明不等式时往往要凑项,这些项是怎么想到的呢?关键在于取等,从等号成立的条件逆推,找出要补的项.下面举例说明.     

数列型不等式放缩技巧(高一、高二、高三)

数列型不等式,综合了数列和不等式的内容,因而内涵丰富,故成为高考、竞赛命题的一个源头,本文以往届高考试题为例说明放缩技巧在这类问题中的应用．     

巧用均值不等式证明分式不等式的策略(高二、高三)

涉及到分式不等式的证明问题,大多构思新颖、别致,结构匀称美观,能很好地考查学生的观察能力、运算能力、创新思维能力,但学生常常对此类问题“一筹莫展”,本文利用中学生熟知的均值不等式给出解决这类问题的常见策略．     

虚功原理(高二、高三)

功能关系是常用到的解题依据．有些问题中没有给出明显的做功过程或能量转化过程,但也可以虚设这样的过程,应用功能关系求解,这称为虚功原理．     

几个不等式的统一证明(高二、高三)

现行全日制普通高级中学数学课本(试验修订本·必修)第二册(上)不等式一章中有几道习题,如用柯西不等式去证明,显得比常规方法简捷,兹列举如下: 题1 如果a、b都是正数,且a≠b,求证: (P16题3) 证明因为a,b都是正数,且a≠b,所以     

均值不等式,巧解高考题(高二、高三)

均值不等式是一个用途宽广的重要不等式,因而高考中作为重点常考常新.本文以高考试题为例介绍它在证明不等式、求最大(小)值、大小比较、求取值范围以及求值等方面的应用. 例1 已知i,m,n是正整数,且1(1+n)m. (2001年高考) 证明由n元均值不等式,得     

由电阻串并联引出的不等式(高二、高三)

四个阻值不同的电阻,按照图1、图2两种不同的方式连接后,哪一种的电阻较大呢? 设图1、图2的电阻分别为R1、R2,则R1=((a b)(c d))/(a b c d), R2=ac/(a c) bd/(b d). 取特殊值检验: