关于Gel’fond-Baker方法的一个不等式

设f（y）是n次实系数多项式,证明了：如果存在实数x0适合x0〉max（0,f（In x0）,f^（1）（In x0）,…,f^（n）（In x0））,其中f^（m）（y）（m=1,2,…,n）是f（y）的m阶导数,则不等式x-f（In x）〉0在x≥x0时成立.     

利用二分法求方程的近似解

知识点一:两个重要结论结论1:如果二次函数f（x）=ax²+bx+c在闭区间[m,n]上满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上有唯一解,即存在x₁∈（m,n）,使得f（x₁）=0,方程f（x）=0的另一解x₂∈（-∞,m）∪（n,+∞）。结论2:如果函数f（x）在区间[m,n]上的图像是连续不断的一条曲线,且满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上至少有一个解。注意点:结论1适用于二次函数,结论2适用于一般函数。     

例说函数中几个结论的应用

1①若a〉f（x）恒成立,则a〉f（x）max（如果函数f（x）没有最大值,其值域是（m,n）,则a≥n）;     

例析导数背景下如何证明与正整数有关的不等式问题

近年来＂函数、导数与正整数有关不等式的综合问题＂成为各地高三调研考试及高考中的命题热点,且一般以压轴题出现.其立意、思维都是精心设计,独具匠心,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高等特点,体现数学思想方法在综合问题中的运用,更要求考生具有一定的探究意识、创新意识和创新能力,体现其选拔功能.本文就此类问题归类分析,帮助学生理顺思路,走出茫然.类型1证明含二元正整数不等式例1已知函数f（x）=ax＋xln x,且图象在（1e,f（1e））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）.（1）求实数a的值;（2）设g（x）=f（x）-x x-1,求g（x）的单调区间;（3）当m〉n〉1（m,n∈Z）时,证明：m槡n n槡m〉n m.（1）a=1.（2）g（x）的单调增区间为（0,1）和（1,＋∞）.     

“拆项”求最值

求“f（x）＋m/f（x）（f（x）〉0,m〉0）”型函数的最值时，如果f（x）的最值存在，可用拆项法来处理，即当f（x）有最小值，     

构造向量求一类无理函数的值域

文[1]、[2]对型如y=m√g（x）＋n√f（x）,其中g（x）＋f（x）=c（正常数）,mn〉0的函数求最值．这两篇文章都有一个限制条件“mn〉0”,事实上这是不需要的,本文将这个条件去掉,用构造向量的方法来完成这一类无理函数值域的求解．     

对一个数学问题解答的修正与问题的另解

《数学通报）2005年7月号问题1561为如下题目： 已知函数y=f（x）ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0， （1）试证：方程f（x）=-a有实数解； （2）设方程f（x）=-a两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围．     

五组易混的函数题

1．形式相同,定义域不同例1（1）已知函数f（x）=x2-mx＋1,对于一切x∈R恒有,f（x）〉0,求实数m的取值范围;     

有可能考这些数学解答题

1．已知向量优=（1,COS wx＋√3sin wx）,n=（COS wx,-f（x））,其中a〉0,且m／／n,又函数f（x）的图像任意两相邻对称轴间的距离为3π/2．     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

“新概念”数学

1接近函数 定义 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f（x）与g（x）,若对任意x∈[m,n]均有｜f（x）-g（x）｜≤1,则称以f（x）与g（x）在[m,n]上是接近的,否则称f（x）与g（x）在[m,n]上是非接近的．     

一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有     

以“图”导思 顺畅解题

做下面这道题,先不看答案,看你能不能很快找到解题思路并且顺畅解题.例1(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0),若m0,f(n)>0,则对于任意的x∈(m,n)都有f(x)>0,试证明之;(2)试用上面的结论证明下面的命题:若a,b,c∈R且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则ab+bc+ca>-1.解析:做数学题的第一步是要正确的读懂数学语言,然后把题目中的数学语言提炼出来,再层层深入展开联想,而数学题的设置往往步步为营,险象环生,所以每个步骤都要脚     

巧用对称性

中学数学中出现了较多的对称性概念.如巧用对称思想解题,可以提高解题的速度和正确性.下面举几例说明对称思想在中学数学中的应用. 一、在代数中的应用函数f(k)对一切实数x,如果满足f(m x)=f(n-x),则 (1)当m=n时,函数f(x)有一对称轴x=m。 (2)当m≠n 时,函数f(x)有一对称细x=m n/2。例1 函数f(x)对一切实数x满足f(2 x)=f(2-x),若方程J(x)=0恰好有四个不同的实根,求这四个实根的和.     

用切线法新探一类条件不等式

文[1]在文[2]对不等式“若xi〉0,i=1,2,3,且∑i=1^3 xi=1,则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出的初等证明进行探究的基础上,得出如下结论：在xi〉0,i=1,2,3……且∑i=1^n xi=m的条件下,欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立。只需构造函数f（x）=g（x）=（ax＋b）且使f（m/n）=0.     

问题再研究 本质尽掌握

问题提出：关于二次函数f（x）=x2=（m-1）x＋1（1）若■x∈R.f（x）〉0恒成立,求实数的取值范围。（2）若方程f（x）=0在区间[0,2]有解,求实数m的取值范围。问题解决：对于（1）只需要从数形结合出发,要求抛物线     

解恒成立问题的几种主要方法

解函数综合题时,经常能遇到含参数不等式恒成立问题,处理这样的问题对解题能力的要求比较高,本文介绍几种处理恒成立问题的几种主要方法.一、特殊值法若函数f(x)>0(或f(x)<0)对x∈A恒成立,则对特定的x0∈A,有f(x0)>0(或f(x0)<0)【例1】已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的m,n∈R,恒有f(m n)=f(m) f(n),当x>0时f(x)<0恒成立,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性和单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的值域.解:(1)在f(m n)=f(m) f(n)中,令n=-m得f(0)=f(m) f(-m),在此式中令m=0得:f(0)=f(0) f(0)则f(0)=0∴f(m) f(-m)=0即f(-m)=-f(m),对一切m∈R恒成立.…     

巧用函数端界值解题欣赏

命题1 函数f（x）=ax＋b在[m，n]上的值恒为正的充要条件是{f（m＞0）,f（n）＞0。     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

一道高考压轴题证法的改进及应用

1问题提出 （2012年湖北省高考文科压轴题）设函数f（x）=ax＂（1-x）＋b（x〉0）,n为正整数,a、b为常数,曲线y=f（x）在（1,f（1））处的切线方程为x＋y=1．