利用根的代换解题

一、利用根的代换求作一元二次方程例1 已知方程x~2—3x—2=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的各根的2倍. 解设已知方程的根为x,所要求作的方程的根为y. ∵y=2x,∴x=1/2y.     

求作新方程的三种方法

求作一个新的一元二次方程 ,使新方程的根是原方程各根的平方 (或 k倍 )等 ,可以有以下的三种方法 ,现以初三《代数》P35B组第 2题为例 ,试说明如下。题目 :已知方程 x2 - 2 x - 1=0 ,利用根与系数的关系求作一个一元二次方程 ,使它的根是原方程各根的平方。方法 1:韦达定理法解 :设原方程的两根为 x1、x2 ,新方程的两根为y1、y2 ,则y1 y2 =x12 x2 2 =( x1 x2 ) 2 - 2 x1x2 =6,y1· y2 =x12· x2 2 =( x1x2 ) 2 =1。∴所求新方程为 :y2 - 6y 1=0。方法 2 :变换代入法解 :设新方程的根为 y,则 y=x2 。∴ x=± y ,代入 x2 - 2 x- 1=0 ,得(±…     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

利用根的代换解题

一、利用根的代换求作一元二次方程例1已知方程x~2-3x+2=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的各根的倒数.     

两方程之间根与系数的特殊关系

依据根与系数之间的关系,利用两个数可以作出以它们为根的一元二次方程,还可以利用这两个数的倒数、相反数、平方、k(k＞0)倍为根,同样作出一个新的方程,这样,原方程与新方程在系数之间就存在一些特殊关系.本文通过例题介绍这些关系及其在解题中的应用.     

一元二次方程有整数根问题的求解策略

已知一元二次方程有整数根 ,求方程中参数的值 ,这类问题类型较多 ,解法不一 .本文介绍几种常见方法供参考 .1　求根法当一元二次方程的判别式Δ是完全平方式或完全平方数时 ,可利用因式分解法 ,先求出方程两根 ,再求参数 .例 1　已知关于 x的一元二次方程 a2 x2 - (3a2- 8a) x +2 a2 - 1 3a +1 5 =0有整数根 ,求整数 a的值 .分析　因为Δ =(3a2 - 8a2 ) - 4 a2 (2 a2 - 1 3a+1 5) =(a2 +2 a) 2是完全平方式 ,故可用因式分解法求出方程根 .解　解方程得 x1 =2 - 3a,x2 =1 - 5a.因为方程有整数根 ,所以 x1 或 x2 是整数 .因此 ,a是 3或 5的因…     

用交叉相乘法构造方程

初中代数第三册第153页第4题是: 求一个一元二次方程,使它的根分别是方程x~2+px+q=0的各根的平方.本题的常规解法是利用根和系数的关系来构造所需要的方程     

巧用代换

在一元二次方程根与系数的关系、二次函数中,对于一些习题,巧用数量代换有利于拓宽解题思路,提高灵活应变能力.现举例如下. 例l已知方程尸一Zx一l一。,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根是原方程各根的平方. 解设所求新方程的根为y,则y一扩,…x一士丫y.把二一士厂歹代入原方程得 (土、今)“一2(士侧丁)一i一。,化简整理后得了一6y十1一0· 注本题一般用一元二次方程根与系数的关系来解.现用数量代换解亦较简捷. 例2将抛物线y,一粤、一4x+6向左平移:个单位,再向 一‘一“,~’‘一J上2--一’一’‘一”7一”‘一”‘’‘上平移3个单位,…     

一对“克隆”方程

同学们,下面是一道看似普通但却能引起我们好奇心的题:已知方程x2 4x 1=0,求作一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数。解:设已知方程的两根为x1,x2,则所求作一元二次方程两根分别为x11、x12,根据一元二次方程根与系数的关系:x1 x2=-4,x1x2=1∴x11 x12=x1x1 x2x2=-4,x11x2=1故所求的一元二次方程是x2 4x 1=0.观察所求的一元二次方程竟然与已知的方程一模一样,真是一对“克隆”方程,是巧合还是有某种内在联系?除了这个方程外,还有其它的一元二次方程具有这种特征吗?同学们,看到这里,你不想自己找一找具有这样特征的方程?那么…     

根的定义有妙用(初三)

使方程中等号两端相等的未知数的值叫做方程的根,这就是根的定义,利用它,会给解题带来方便.从下面的例题中你就能体会到. 1.作一元二次方程例1 求作一元二次方程,使它的     

运用“变根代换”求作所需方程

“已知一个一元二次方程,求作一个新方程,使它的各根与原方程各根具有某种关系”是一元二次方程一章中一类重要题型,课本介绍了运用“韦达定理”入手的一般解法.这里,我们请同学们认识另一种方法——“变根代换法”.它使求作新方程与原方程根之间具有“倒数”、“相反数”、“倍数”、“某次方”或“相     

一元二次方程创新题赏析

一元二次方程是各种考试的重点.在近年的中考试题中,出现了不少新题型,它主要考查我们利用方程知识解决新问题的能力.现以中考题为例,把这类问题归纳总结如下.一、开放型问题例1(1)已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是((((((((只需写出一个方程).(2)写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1:((((((((.(3)若方程x2-m=0有整数根,则m的值可以是((((((只填一个).分析:(1)有一个根为1的一元二次方程的特点是(x-1)(x-a)=0,令a取不同的数,就得到不同的一元二次方程.因此,有一个根为1的一元二次方程有无数个.…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初63 不解方程,求作一个关于y的一元二次方程,使它的两个根分别是方程x~2-x-1=0的两个根的7次方。 (吴登之 青海省海东地区平安中学,810600) 初64 平面上有103个点,其中既无三点共线,义无四点共圆的情况,那么,至少存     

以线段长为方程根的中考题析解

在近年各省、市中考试题中 ,常有以两线段长为方程的根的题目出现 .这类问题把一元二次方程与几何问题直接挂钩 ,沟通了几何与二次方程之间的联系 ,它涉及到的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强、题型新颖 .本文试以 2 0 0 2年几道有关的中考题为例 ,对其解法分类作简要说明 ,供学习参考 .一、以两线段长为根 ,求作一元二次方程其解题思路是 :先根据题设条件及有关知识设法求出两线段的和与积 ,然后依照“以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程是 :x2 - (x1+ x2 ) x + x1x2 =0”写出所求作的方程 .例 1　 (2 0 0 2年四川省巴中市中考题 )在 Rt△ A…     

一类方程与几何综合题的解题策略

一元二次方程是中考的一个重点 ,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题 ,又是中考中的一个热点与难点 .这些综合题类型较多 ,其中有一类常以下列两种形式出现 :(1 )求作以两个几何量为根的一元二次方程 ;(2 )求证两个几何量是某一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0的两个根 .解决这类问题的策略是化归 ,运用根与系数的关系 ,在第一种形式的问题中 ,把原题化归为求这两个几何量的和与积 ,再代入方程ｘ2 -(ｘ1 ｘ2 )ｘ ｘ1ｘ2 =0即可 ;在第二种形式的问题中 ,把原题化归为证明这两个几何量的和等于 -ｂａ,且这两个几何量的积等于 ｃａ.因…     

一元二次方程根的情况的判断

一元二次方程有没有根,取决于判别式(Δ)与零的关系;一元二次方程的根是不是有理数,取决于判别式是不是完全平方式;求一元二次方程的根,可用求根公式;求一元二次方程的     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

简单无理方程中参数取值的求法

求简单无理方程中参数的取值范围 ,方法有二 :1 增根控制法此方法主要从两个方面入手 :( 1)首先把无理方程化为一元二次方程 ,考虑其判别式 ;( 2 )考虑无理方程本身成立的条件和控制出现增根的条件 .再结合 ( 1)、( 2 ) ,即可准确求得参数的取值范围 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实根 ,求满足条件的ａ .解 :( 1)原方程两边平方并整理 ,得ｘ2 ( 2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =( 2ａ - 2 ) 2 - 4(ａ2 - 1) >0 ,解得ａ <1.( 2 )原方程成立的基本条件是2ｘ 1≥ 0 ,ｘ ａ≥ 0 ,即 ｘ≥ - 12 ,ｘ≥ -ａ .要使方程无增根 ,则 -ａ≤ -…