巧用奇偶性——一道竞赛题解答及评述

今年全国初中数学联合竞赛的压轴题是: 将正方形ABCD分割为n~2个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B、D染成兰色,其它交点任意染成红、兰两色中的一种颜色,证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶势。     

关于几道竞赛题的讨论

1.《初中数学竞赛辅导讲座》(上海科技出版社)第一讲中指出(P.14); Z 1 L形能复盖m×n矩形的必要条件是6|mm。图1给出了15个L形可复盖5×9矩形,但6×5×9.所以上述结论是错误的.     

第43届IM0预选题解答(下)

组合部分 1.本届IM0第1题. (哥伦比亚提供) 2.已知n×n(n是奇数)的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色,且4个角上的单位正方形染的是黑色.将3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块"多米诺".问n为何值时,所有的黑格可以用互不重叠的"多米诺"覆盖?     

运用网格正方形解题举例

<正>把正方形均匀地分成一个一个的小方格,从而形成"网格正方形".同学们对于这种图形都很熟悉,在数学学习中,正方形网格能发挥很大的作用,现举例如下:一、比较大小例1比较     

一个整数的整除性质

抽屉原理已为广大数学爱好者所熟悉,也是参加数学竞赛的选手们的必备知识,如果我们巧妙地应用抽屉原理,不仅能解决平常的一些有趣问题,而且能解决一些难度较大、一时难于入手的趣题,本文目的是证明如下一个 定理 在2·2~n·3~m·5~k·7~-1个整数中,必能找到2~n·3~m·5~k·7~l个整数,它们的和是2~n·3~m·5~k·7~l的倍数,(n,m,k,l都是非负整数)。     

“竞赛数学教程”中若干引伸的注记(下)

本文继续讨论“竞赛数学教程”中的引伸,给出解答或注明出处: 五、例7.2的引伸:一个锐角三角形、钝角三角形、正方形能分成几个锐角三角形解:按图1锐角三角形可分成四个小锐角三角形,钝角三角形可分成七个小锐角三角形,正方形可分成十个小锐角三形。角形,故锐角三角形可分成九个(十个,…)锐角三角形。将图1a中一个小锐角三角形分成四个小锐角三角形,则原锐角三角形被分成七个锐角三角形。综上,对n=4和n≥7,锐角三角形可以分成n个锐角三角形。     

涂黑格问题趣谈

2005年俄国莫斯科有这样一个竞赛试题:如图1,5×5的正方形内有25个方格,至少要涂黑几个方格,才能使正方形内的任何一个3×3的正方形里面正好都出现4个黑格?     

正方形的分割

下面我们看两道竞赛题1.将一个正方形分割成n(n>1)个小正方形,则n不可能取().(A)4(B)5(C)8(D)9(第十六届江苏省初中数学竞赛题)2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.(1997年安徽省初中数学竞赛题)这两道题都是研究正方形的分割问题.为了解决这两个问题,我们先来全面、深入的研究如何把一个正方形分割成n个小正方形.我们先考虑n可以取哪些数?首先从n=2开始,当n=2时,正方形不可分;当n=3或5时,正方形亦不可分.接下来,通过画图可以知道,当n=22…     

关于十五子的游戏

在一张纸上画一个正方形,并把它分成大小相同的十六个方格,再剪出十五个大小相同的正方形纸板,而这些正方形纸板的面积稍小于方格的面积,在这些小纸板上写上1到15这十五个数,这样我们就可以玩十五个子游戏了,把这十五个纸板按任意的顺序放到这十六个小方格中去（如图1）,由于每个小方格只能放一个,因而,有一个小方格是空着的,     

89年全国高中数学联赛二试第三题的解法探索

89年全国高中数学联赛二试第三题是: n×n(n≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填上 1与-1的两个数中的一个.现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表成4k的形式,其中k∈Z)。这无疑是一道好题,它以n阶行列式为     

一道中考格点题解法探求

正格点题是浙江省湖州市近几年数学中考试题的一大特色,其在数学探究性学习方面有着积极的导向作用,试题本身也具有较高的研究价值.笔者撷选2013年浙江省湖州市数学中考试题中的格点题与大家共赏.原题呈现如图1,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的3个格点,则以这3个格点为顶点的三角形称为抛物线的"内接格点三角形".以O为坐标原点建立如图1所示     

第43届IMO预选题解答（下）

组合部分1.本届IMO第 1题 . (哥伦比亚提供 )2 .已知n×n(n是奇数 )的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色 ,且 4个角上的单位正方形染的是黑色 .将 3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块“多米诺” .问n为何值时 ,所有的黑格可以用互不重叠的“多米诺”覆盖 ?若能覆盖 ,最少需要多少块“多米诺” ?(亚美尼亚提供 )解 :设n =2m + 1,考虑奇数行 ,则每行有m + 1个黑格 ,共有 (m + 1) 2 个黑格 .而任意两个黑格均不可能被一块“多米诺”覆盖 ,因此 ,至少需要 (m + 1) 2块“多米诺” ,才能覆盖棋盘上的所有黑格 .由于当n =1,…     

浅析中考中的“格点问题”

“格点问题”突出了“数形结合”的数学思想方法,考查了学生对图形的观察力和对数学规律的发现探究能力,还考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力.“格点问题”现已成为中考中的热点题型,其题型多样,涉及的知识点十分广泛,综合性很强.现举例如下:例1(2005江西)如图1,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ABC中,边长为无理数的边数是()(A)0(B)1(C)2(D)3解析用勾股定理求出三条边的长度即可,答例案2选C.(2004黑龙江)已知正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A、B两点在小方格的顶点上,位置如图2,点C也在小方格的顶…     

巧涂黑格（1）

有这样一道俄罗斯趣题:5×5的正方形内有25个方格(如图1),至少要涂黑几个方格才能使正方形内的每一个3×3的正方形里面正好都有4个黑格?为了求解上述题目,我们先数一下,在图1中3×3的正方形共有9个;再观察一下,图1中每个小方格包含在这9个3×3的正方形的哪几个之中,现用数字写在图2中,比如图2的中心格内写“9”,表示这一方格都包含在这9个3×3的正方形之中;四个角上写“1”,表示这一方格只包含在1个3×3的正方形之中,其他类同.图11232124642369632464212321图2现在来解上题,据题意,要求涂黑的方格个数尽量少,就需要先涂黑这样的方格,它是包…     

因式分解中的数形结合思想

我们知道,因式分解可以用矩形纸片拼成的图形面积来解释.例如,ma mb mc=m(a b c),它可以由三个小矩形拼成的一个大矩形来形象地解释又(如如图,公1)式.a2-b2=(a b)(a-b),可以由边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形的图形,剪拼成一个长为a b,宽为a-b这的种矩矩形形来拼解     

一道国外竞赛的另证

题目如图1,一个单位L形由三个单位方格组成.证明:对任意的正整数、一个相似的k倍大的L形可以分割成若干个单位L形.[1]_{2010,爱沙尼亚数学奥林匹克（决赛）}文[1]给出的证明是将问题化归为阶梯形,并对k分三类情形讨论.本文给出一种简单、直接的证法     

简证一道全国数学竞赛题

一九八九年全国高中数学联合竞赛试题的第二试最后一题为: 有n×n(n≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1与-1两个数中的一个,现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项,试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除。     

利用一个性质 解决一类赛题

整数有个非常有用的性质:‘(。,b)=(。,b+九。),这里k是任意整数.”利用这个性质可以解决一类关于求最大公约数的竞赛难题,举例说明如下.命题得证.例3:求使得儿一135儿+6是一个非零的可约分数的最 例1:求证:对任意自然数氏的.(1959年第一届国际竞赛题)分数黯是既约(1985年第三十六届美国中学数学竞赛试证明:‘,‘(21”+4,14”+3)=(21”+4一14”一3,小正整数n。题) 解:月一13sn+6非零且可约。14”+3)=(7”+], 21”+4。 I丽耳万正 1 4n+3)=(7n+1,1)=1既约的。 例2:设”是自然数,试证:扩+1任意两数都是互素的.克数学竞赛题)2,+1,2,.+i,……(1,…     

关于用t色染m×n棋盘问题

用t色染m×n棋盘（约定m≤n）有两种可能情形：对于任意一种染色方式，棋盘必定含有一个矩形，其四个角上的方格有相同的颜色（这样的矩形称为同色矩形）或存在一种染色方式，使得这个棋盘中的每一个矩形都不是同色矩形．文[1]、[2]分别解决了用3色染m×n棋盘及用n色染（n 1）×m棋盘问题，本文介绍一个方法，用它可以讨论t色染m×n棋盘问题．引理1若用t色染m×n棋盘，则至少 1个方格染有相同的颜色，简称为同色格．引理1的证明参见[3]P66．引理2若m×n棋盘中有a个小方格染有相同的颜色，不妨设为黑色．用aj=1、2、…、n）表示第j列中黑色…     

正方形网格中的几何题

在网格上,可以对图形作几何变换,网格比平面直角坐标系更能直观地进行数与形结合.近几年来,正方形网格题中有关图形面积的计算,几何变换、猜想与证明等成为全国各地中考试题的考查热点.正方形网格与格点实际上是做数学实验的模板.