一个新发现的不等式链

本文旨在建立一个新的不等式链. 定理若x,y为满足x y=1的正数,则     

一个有趣的几何不等式链

符号约定：在△ABC中,a、b、c表示三边长,A、B、C表示三内角,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,ha、hb、hc表示高线,∑、Ⅱ表示循环和与循环积。     

两个有趣的不等式链

本文给出了两个命题,证明了将二元基本不等式a²+b2+b²≥2ab(或ab≤(a2≥2ab(或ab≤(a²+b2+b²)/2)两端之间插入无穷多个式子而形成一个同向不等式的无穷长的不等式链.     

一个有趣不等式的推广

对于任意实数a,b都有 ((a+b)/(2))((a2+b2)/(2))((a3+b3)/(2))≤(a6+b6)/(2),(1)当且仅当a=b时取等号.     

一个三元不等式链的进一步探究

刘永春老师提出了一个有趣的三元不等式链[1 ] :9 ａ ａ2 ≤ ａ≤ ｂ2 +ｂｃ+ｃ23≤ ｂ2 +ｃ22 ≤3 ａ2 ≤ ｂｃａ ≤ 2ａ2ｂ+ｃ≤ ｂ2 +ｃ22ａ ≤ ａ3ｂｃ.(其中ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ , 、 分别表示循环和、循环积 ;下同 )随后 ,陈永毅、张云华两位老师均对此作了有益的探索[2 ] [3] .在此基础上 ,本文将作进一步探究 ,推证出下列不等式链 ,并探寻其解题功能 .定理　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ3ｂｃ ≥ ｂ2 +ｃ22ａ ≥ (ｂ +ｃ) 24ａ ≥ ｂｃａ ≥3 ａ2 ≥ ｂ2 +ｃ22 ≥ ｂ2 +ｂｃ +ｃ23≥ ａ≥ 3 ｂｃ≥ ｂｃ≥ 33 ａ≥ 9 ａ ａ≥…     

一个新几何不等式链

文 [1]给出了一个有趣的几何不等式链 ｒｂｒｃｒ2 ａ≥ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ≥ ｒａｈａ ≥ ｈｂｈｃｈ2 ａ≥ ｈｂｈｃｒｂｒｃ( 表示循环和 ,下同 ) ,并提供了一个猜想 ｈａｒａ ≤ 3Ｒ2ｒ,文 [2 ]否定了这个猜想 .笔者经过研究 ,得到了一个新的不等式 ,现以定理形式给出 .定理　在△ＡＢＣ中 ,设三边长为ａ、ｂ、ｃ ,外接圆半径 ,内切圆半径、半周长、面积分别为Ｒ、ｒ、ｐ、Ｓ ,三个旁切圆半径分别为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,三边上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,则　　　 ｈｂｈｃｒｂｒｃ≤ 3Ｒ2ｒ,①当且仅当是正三角形时取等号 .证明　…     

一个猜测的证明和不等式链的补充

文[1]中,宋庆先生提出如下猜测:若 a,b满足 a b=1的非负数,则对λ≥1有(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)≤2/(2λ 1)~(1/2).(*)(*)式虽说小巧玲珑,但证明起来还真有点棘手,为此,我们用导数法来进行证明:在闭区间[0,1],考虑函数 f(a)=(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)=(a/(λ 1-a))~(1/2) ((1-a)/(λ a))~(1/2),为方便求导,     

一个优美的不等式链

设△ABC的3条边长分别为a，b，C，半周长为s．文献[1]证明了不等式：∑cot A/2≥（a/b＋b/c＋c/a）∑tan A/2.     

四面体的一个不等式链

本文介绍四面体的一条不等式链。     

一个不等式链的几何模型

高中教材中有不等式链2/(1/a+1/b)≤(ab)~(1/2)≤(a+b)/2≤((a~2+b~2)/2)~(1/2),本文从形似联想出发,给出它的两个几何模型,凸显数形结合的和谐美.     

再探一个有趣的几何不等式

文[1]中给出了一个有趣的几何不等式: 定理1 若△DEF是△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,面积为S,△DEF的外接圆半径为R0,则有     

一个不等式链及其证明

前些时笔者发现并证明了以下命题[1]:设x,y,z为非负实数,且x2 y2 z2≤3,则xyz≥①yz zx xy-2≥②3(x y z)-8,当且仅当x=y=z=1时,①、②两式均取等号.现将①、②式向四元推广,得到定理设x,y,z,w为非负实数,且x2 y2 z2 w2≤3,则3xyzw≥③Σyzw-1≥④Σxy-3≥⑤3Σx-9当且仅当x,y,     

再谈对一个不等式链的证明

2006年第6期《中学数学月刊》"几个猜想结论1若a,b,c为正实数,且a~n b~n 的加细探讨"一文,有如下结论:c~n=3,其中n≥2,则a b c≥ab bc ca     

一个优美的不等式链及应用

本将运用以下熟知的引理推导出一个优美的不等式链(即定理)，并以例说明它在不等式证明中的应用.     

均值不等式链的一个图形证明

我们知道：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤均方平均数，在二维时有如下均值不等式链：     

也谈对一个不等式链的证明

文[1]给出了几个结论和一个猜想,文[2]对其中的两个结论"给出了一种更好的证明方法,以便于说明猜想的正确性";文[1]和文[2]给我们许多启迪,但是,笔者认为文[2]的方法并不简单,本文给出较简单的证法.     

例谈一个不等式链的应用

高中数学新教材第二册(上)第11页有一道习题:已知a,b都是正数,求证:21a 1b≤ab≤a b2≤a2 b22,当且仅当a=b时等式成立.此不等式链应用广泛,其中含有6个不等式:ab≤a b2,①21a 1b≤ab,②a b2≤a2 b22,③21a 1b≤a2 b22,④21a 1b≤a b2,⑤ab≤a2 b22,⑥这些不等式其实是一些简单不等式或它们的变形,但十分有用.现就其中除不等式①外的5个不等式的应用举例如下:例1甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司共购芯片两次,每次的芯片价格不同,甲公司每次购10000片芯片,乙公司每次购10000元芯片,两次购芯片,哪…