一道竞赛题证法探究

2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第二试的第五题为： 如图1,AB是半圆O的直径,C是AB的中点,M是弦AC的中点,CH⊥BM,垂足为H．求证：CH^2=AH·OH．     

一道竞赛题的两种证法及推广

文 [1 ]中提到这样一道竞赛题 :设 a>1 ,b>1 ,求证 :a2b- 1 + b2a- 1 ≥ 8.(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )并运用丢番图恒等式给出了一个巧妙证法 .本文再给出两种证法并将其推广 .另证 1　 (参数法 )证明　设 a=1 + t1 ,b=1 + t2 ,由于 a>1且 b>1 ,所以有 t1 >0 ,t2 >0 .代入欲证不等式左边 ,得( t1 + 1 ) 2t2+ ( t2 + 1 ) 2t1=1t2+ 1t1+ 2 t2t1+ 2 t1 t2+ t21 t2+ t22t1≥ 4 + 1t2+ 1t1+ t31 + t32t1 t2=4 + 1t2+ 1t1+ ( t1 + t2 ) ( t21 - t1 t2 + t22 )t1 t2≥ 4 + 1t2+ 1t1+( t1 + t2 ) t1 t2t1 t2=4 + 1t2+ 1t1+ t1 + t2 ≥ 4 + 2…     

一道竞赛题的新证法

2005年全国高中数学联赛加试第二题为:设正数a、b、c、x、y、z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=1 x2x y21 y 1z 2z的最小值.本文给出不同于标准答案的一种简捷证明.证明:由已知得b(az cx-b) c(bx ay-c)-a(cy bz-a)=0.即2bcx a2-b2-c2=0所以x=b2 2cb2c-a2同理y=a2 2     

一道国外竞赛题的两种新证法

题目 在凸四边形ABCD中,已知 ∠ADB＋∠ACB=∠CAB＋∠DBA=30°,∠AD=BC．     

一道竞赛题证法再探究

本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞赛题进行了再探究,并给出几种不同的证明方法.     

一道数学竞赛题的几种证法

题目如图1,⊙O是以AB（A、B为平面内两定点）为直径的圆,M、N是⊙O上（异于A、B）的两个定点,P是线段AB上（不包括A、B两点）的动点．求证：tan∠PMA·tan∠PNB为定值．     

一道竞赛题的多种证法

题目:如图1,AB∥CD、AD∥CE,F、G 分别是AC 和 FD 的中点,过 G 的直线依次交 AB、AD、CD、CE 于点M、N、P、Q,求证:MN+PQ=2PN.(2007年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛第14题)     

一道竞赛题的多种证法

题目：如图1,AB∥CD、AD∥CE,F、G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q,求证：MN＋PQ=2PN．     

一道国际竞赛题的面积证法

题目设a,b,c是正数,且abc=1, 求证(a-1+(1/b))(b-1+(1/c))(c-1+(1/a))≤1. (2000年41届国际数学竞赛试题)     

一道赛题的多种解法

已知x、y∈R，且满足√x＋2＋√y-5=6．求x＋2y的最小值和最大值．     

一道国外竞赛题的多种解法

题目如图1,已知⊙I、⊙O分别为△ABC的内切圆、外接圆,⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F．作圆ωa、ωb、ωc,记ωa切⊙I、⊙O于点D、K,ωb切⊙I、⊙O于点E、M,ωc切⊙I、⊙O于点F、N．证明：     

由一道竞赛题引出的两个新结论

1996年全国高中数学联赛第二试平面几图 1何题是 :如图 1,圆Ｏ1和圆Ｏ2与△ＡＢＣ的三边所在直线均相切 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为切点 ,并且ＥＧ、ＦＨ的延长线交于Ｐ .求证 :直线ＰＡ与ＢＣ垂直 .这道题有许多证明方法 ,已被大家广泛发掘 ,此处不再重复 .利用这个竞赛题的结论并借助一些熟知的定理 ,我们得到与三角形的旁切圆有关的两个新结论如下 :命题　设△ＡＢＣ为不等边三角形 ,∠Ａ内的旁切圆分别与边ＡＢ和ＡＣ切于Ａ3 和Ａ4,直线Ａ3 Ａ4与直线ＢＣ交于点Ａ1,相仿地可定义Ｂ3 、Ｂ4、Ｂ1和Ｃ3 、Ｃ4、Ｃ1.又设直线Ａ3 Ａ4与Ｂ3 Ｂ4交于点…     

一道竞赛题的另证

题目如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，E是△ABC外一点，     

一道波兰竞赛题的另解

复旦大学黄宣国教授在其编著的《数学奥林匹克大集》一书中用了大量篇幅解答了~1994年波兰数学奥林匹克》第六题．解后注记有不满意之感，并期待有上乘的证明出现．笔者通过努力，给出一种证明思路．     

一道全国初中竞赛题的解法研究

题目　沿着圆周放着一些数 ,如果有依次相连的 4个数a、b、c、d满足不等式 (a -d) (b -c) >0 ,那么 ,就可以交换b、c的位置 ,这称为一次操作 .( 1 )若圆周上依次放着数 1 ,2 ,3,4 ,5,6 ,问 :是否能经过有限次操作后 ,对圆周上任意依次相连的 4个数a、b、c、d ,都有 (a -d)·(b -c) ≤0 ?请说明理由 .( 2 )若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2 0 0 3个正整数 1 ,2 ,… ,2 0 0 3,问 :是否能经过有限次操作后 ,对圆周上任意依次相连的 4个数a、b、c、d ,都有 (a -d) (b -c) ≤0 ?请说明理由 .( 2 0 0 3,“TRULY 　信利杯”全国初中数学竞…     

由一道竞赛题想到的

题目 如图1,在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,满足EF=BE＋DF,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N,求证：     

一道竞赛题的推广

第12届莫斯科数学奥林匹克有一道很有趣的题目：给定13只砝码,它们的重量都是整数克重,任取其中12只,都可以将其分成重量相等的两组,且每组都有6只砝码．求证：这13只砝码重量均相等．^[1]     

一道竞赛题的推广

题　 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 )　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 (　　 )。(Ａ) 56　 (Ｂ) 45 　 (Ｃ) 34　 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明　设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ…