一道竞赛题与两道改编题

<正>第20届伊朗数学奥林匹克中,有如下一道经典的不等式题:原题已知a、b、c为正实数,a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.文[1]、[2]、[3]分别从不同角度对该题给出了证明与拓展,笔者读后很受启发,思考之余突发奇想,如果将该题由三元退化到二元,同时又不降低问题的难度,那么会是什么结果呢?     

利用函数单调性巧解竞赛题

分析 此题的特点就是入口非常小，所求的cos（x＋2y）的值好像与题设条件没有什么关系．我们对方程组中的3个变量x，y，a的系数进行观察。利用t^3＋sint在[1π/2，π/2]上的单调性和性质（＊），就能找到一条通向胜利之路     

用函数与方程思想简解几道竞赛题及其变式

函数与方程思想是高中数学中最重要的数学思想之一,本文用函数与方程思想来处理一类竞赛试题及其奇异变式与大家分享．     

几道数学竞赛题的简解

题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1)     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

关于两道数学竞赛题的探究

题1 设a、b、c是正实数．证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8.     

运用函数单调性解竞赛题

函数的单调性是函数的一个重要性质，很多数学竞赛题都以函数的单调性作为背景，因此，运用函数的单调性是解这类题的一个有力工具．     

巧解两道竞赛题

<正> 题1(2001年全国高中数学联赛第8题)若复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=3/2-i,则z1z2=__.分析若用复数的代数形式来解,则需要解四元二次方程组,运算量大且繁琐;若用复数的三角形式来解,则需用到复杂的三角公式,不少学生由于未记牢三角公式而半途而废.若能抓住已知条件     

两道竞赛题的纠错

在每年的全国数学联赛备考中,难免需要仔细研究往年试题,笔者发现2011年全国及各省的预赛题中某些题目本身有错误,本文仅做纠错,不当之处请指正,也期待读者更深层次的研究.题1(2011年全国高中数学联赛贵州省预赛第8题)定义在R上的函数f(x)满足f(0)     

两道竞赛题的分析

2007年,中学生“数学爱好者”活动试题：已知fn（x＋1/x）=x^n＋1/x^n,求f（x）.     

运用函数的性质解竞赛题

函数涉及的知识面相当宽，牵涉到数、式、方程和不等式等许多概念与运算，也是初中数学竞赛中的热点问题．下面我们一起研究用函数的性质解决某些竞赛题．     

与函数方程相关的竞赛题举例

近几年的国际竞赛和中国冬令营考试中,函数方程是出现较频繁的一类题型,归纳起来,主要有三个方面:求函数值,确定函数的性质,解函数方程.     

利用奇偶性速解竞赛题

函数的奇偶性是函数的重要性质，是高考与各类竞赛的考察重点，关于函数奇偶性的试题，年年都考且多为“小题”或“深藏不露”，需要解题者机智地利用已知条件、分析题设特点、通过构造适当的函数并利用其奇偶性，获得问题的解．     

构造法在解数学竞赛题中的运用(一)

解题通常是指,在问题给定的系统里由题设推出结论.但对某些问题,直接推理有时不能顺利进行,因而,不得不寻求某种中介工具沟通条件与结论的联系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中,需要我们去发现、去解释、去构造.这种通过构造题目本身所没有的解题中介来解题的方法,就是构     

构造单调函数八法

函数的单调性是函数的重要性质之一．运用函数单调性解题,其难点和关键在于合理地利用题设条件,构造出相应的函数。本文介绍构造函数单调性解题的八种方法．     

函数与方程思想应用例谈

提纲: 1.掌握最简单的指数方程、对数方程的类型及解法,化"同底",借助函数的单调性是其基本解题方法.     

函数与方程思想在数学解题中的运用

函数与方程是数学中极其重要的内容。函数的思想，就是用“联系”与“变化”的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。方程的思想，是指在解决问题时，先设定一些未知数，根据题设中各     

巧解两道竞赛题

例1.一个四位数是9的倍数。若将其个位上的数字擦掉,剩下的三位数是4的倍数。试求满足条件的最大的四位数。(2021年亚太小学数学奥林匹克竞赛第一回合第5题)将四位数的个位数字擦掉,剩下的三位数最大是999,这时,用4去试除。把余的3去掉,则可知剩下的最大三位数是996。     

函数思想与函数单调性的应用

函数是现代数学的重要研究对象,也是中学数学教学的一个重要内容.基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)在数学教学中占重要的地位,函数所具有的某些特殊性质可以用来解决相关的数学问题.     

构造单调函数解题的几种思路

<正>函数的单调性是函数的重要性质之一,在比较大小,求函数值域(最值)、解方程、解(证)不等式以及求参数范围等方面都有着广泛而独特的应用.运用函数单调性解题,其难点和关键在于合理地利用题设条件,构造出相应的函数,并将原问题进行等价转换,通过函数的增减性