一个不等式的加强及最佳结果

.若,:)2,则13,1 .1_l,3石1又二万万十二二一石十”’十石二又几-.‘任n十l“州卜“r.,(1)’二+、渝J这是许多书刊上选用的一个不等式,它是不等式:.若n)2,则(月+l)(,:十2)甲、.产、.声 门J.在︸口自.卜/.、i,1_1 ..1,.下又二二二~二十二了下十’‘’十石二-又1。‘一“一l”十“I.十…+(Zn一])·2,:的加强。 本文指出,不等式(l)还可加强为: 若n》2,则 4_11__1,J了 公(二二;二+二下+…+‘二花厂(一-二~。 7、”+1’陀+2”Zn、2’并且有最佳结果: 7_1_1-一1,一 鑫,落支竺-今一兰+…丰份斗了In2 12、n+1’”+2‘’2”、一一沙眼一洁)十(汤一…     

运用合分比定理证三角恒等式

三角恒等式证明题中有一类题目,若采用合分根据合分比定理得:比定理去证.则可使证明过程大大简化.例1.已知:tga=协tg刀二一瓷攀哥一带等, 粼决会-/雀恶绍争-拼十I市一1拼十l拼一1证明:由已知有:二退三_二tg户,卫匕 1例丁已知: (1+。cosa)(l一。eos尹)==1一e乞(‘今O) .29.求证:、梦一尝-二 ‘1+君l一etgZ车 乙则有l一eo台夕l+eos沙COS男一COS之COS戈+COSZ证明:由(l+eeosa)(l一ecos刀)二l一‘2得。(c osa一eos刀)二。2(cos a cos夕一l),.’口斗0宕十Xs,n一万一s‘n之一X 2COS之+x eos之一戈 夕2.’ l,....~.....侣吕 eeos a eos夕一…     

2002-2003年湖北省高职统考各科成绩分析统计表

考生数平均分 }2003最高分最低分 {2003 一一一.一|二、二一一一一一一一内,︸一一 l一.一刀斗一O一勺‘一Q一一勺一no一︸6一八巧一连二只︸一O一护b一ln7一1一勺石一月呀一乙n一1一1一1一百且一内j一1一今︸一J件一︸引f一通呀一一j 一|一一一︸一一一一一一︹书一一5一n一9一1一尹O一OU一一、J一7一。O一n︺10一今一4一81一J任一n,一n6一弓‘一l一连一勺山一1一3一,丁仁占一,‘一牛L考试科目语文数学英语种植畜牧水产机电电子建筑轻工医药财经旅游烹饪文秘小学教20022045720457204571627139842502648528834921043917751631 18376020…     

上期问题解答

(根据读者意见,从木期起停止“数学问题”栏。一一编者)1.已知a>l,、〔刃,证明1++-一丛___ 1+a+aZ2.试求椭圆互2、厂厂!勺丈fl’!为。的+…+两条切线的交点的轨迹方程。 ︵a1上+ 一 一J.1二1的两条切线的方程为亏‘Zy一户口 +叮即叮翻戈a l1+a+aZ+…丁一*<2十a解设椭圆21口 一一 ,.1 山证明吞k=山真分数不等式有。、毛一l<一斌人尹1,2,…,(n+1),并相加得一__、Q一l+。l,+…十n U“一IU1l一l1订 一a 一<2(;十姿+梦3+…十几)一“1一 召二无、x+胡、① 扮=k:戈+,,,:②则有二,’二。k之“+护, ,z::乙’一a艺k“+占2..’.nl,“一m 02=了(左,…     

每期一题

扭求证:1+了万(:>z). 1 .1二l、____._.1_1 .1一下于十-井于十’”十一下=户小等式两边问加一:;二;二,得1+一母=十…十-丘二丫Z丫乃丫月了k十l了2了龙 (高中代数第二册(甲种本)第112页第11题) 证法1(数学归纳法) 当,=2时,不等式成立. 假设:=泛任>幻时,不等式成立,即 1 .1二1、一‘+方+方+’“+方>了‘·要证:一。+1时,不等式仍成立,即证;+毛 一一--一’一’一‘”’一、’‘~一’,一’了万“.+去+一一吕二>办下丁,在假设条件下, ’.了了’石耳万一’一’一’,·-一-、·…+揣>汀+击。代 若汀+六>~成“,则不等式得证·于是考虑左边减右边的…     

柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

巧求sum from i=1 to n j_3

艺{(1月一2十二,十i)己玉留1一〔1十2+·’·+(云一1)j三}二(l子2+…+时2︸rJ。(”+1) 自然数的立方和求法很多.本文给出一利,新领巧妙的方法.’.‘拌与云有相同奇偶性.故 可令,孟二占+t.i=“一t则一香‘(‘+1),‘一合‘(‘一‘) 云3=fZ·i二(‘+t)(s一t)=52一tZ王‘(‘+l)1‘一r乏*(:一、)‘」L‘“(l+2十…十i户一LI十2十一卜(‘一l)」2巧求sum from i=1 to n j_3@曹思江$湖南新化三中!417600~~     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

两边取，巧运算

数学解题过程中，把一个等式或不等式变形，往往非常关键，变形变到位，可使问题迎刃而解。一、两边取对数例1已知。办是正整数，且1伽爪b(l n)即些卫土少乏>鱼工互边乏.因而只须证此不等式即可。令方)=些业土丝1贝吵f(x)=轰[青一 4l，当‘，“时，青<‘，娜瘫‘，所以f(x威斗)在【2， 0o】上是减函数，即些卫丝且>旦迎且成立，所以(1 nz卜(l n产成立。例2在数列《叼中，al二2，‘l二口扩求数列…     

全国数学奥林匹克集训班选拔考试题

试证1一处 十1一al 第一天 (l,87 .5.2上午4小时30分) 一、对于任意正整数无,试求最小正整数f以),使得存在5个集合S;,52,‘.‘,8。,满足 i)·{S宜」“无,落=z,2,…,5, 主i)召,n召,十;二功,‘=z,2,…5, S。=51;+4二十 {51 11){门S,{=了(k).又.、,:。靳个数,:一般的不小、。的、。整数n时,有何结果? 二、在平血直角坐标系,}‘给定一个l的边形尸,满足 i)尸的顶点坐标都足整数; ii)P的边都与坐标轴平行; iii)P的边长都是奇数.试证P的面积是奇数. 三、已知数列谧:。}满足 尹」二2,r。二尹J八…r。一:十1,呢妻2、犷]然数。3,a:,二,an满足十里,…     

不定方程p~q=q~p的解及应用

对此间题,回答是否定的。 定理2满足(a)式的正整数P、q、l.m(P>q,‘l,爪互素)只有一组P二3,q==1,l二1,爪=2。 为方便证明,先引入一个引理,此引理的证明不难,请读者自行完成,或参阅文〔1〕。 引理习k,(P为正整数)可表示为:的 抢=1_P十1次多项式,并且最高次项的系数为 1P十1“ 现在证明定理2。力占口曰谧11协、多七 不定方程P“=扩结构对称,形式优美,关于它的解,有 定理1方程班二扩(P>妇有唯一的正整数解(4,2)。 证明:,.’p>q,.’.尹{尹,又由尸二尹,得受q】P叮,从而有g!乡. 设P二初(k是大于1的正整数),则 (k口)女=口竺口,k至二口l,k二理“…     

一个不等式的推广

1990年n月,北大附中数学集训班训练试题为: 求证不等式(M一m)2+4M沉S((Zk+1)2(M+爪)2,)(瞥一种,且 X︸E曰2.、其中S=0相似文献   

应用三角代换解题

一、证明不等式 例1已知护十5犷一4x,=2,求证:’!x十:}(2了了. 分析:将条件二’十5刀’一4T夕二2的左边配方,得(x一2必’十犷=2.由三角公式sin’8+eo:’口二1,想到(v/丁sins)’+(、/万cos的’二2,故可作如下三角代换,①、②联立解得{X=万二代入}x十川即可。 证明:由x’+5万’一连x万二2得仕一2妇2丫一2刀二了丁s笼no 万二训丁eos口,解得产!、、令 ,曰 一一 万 十令 fx一29== 场二了丁了丁s如力eos白 {认一二了了(51。夕+3cos口) 又夕二了丁co:日.,.}x十刀}=、/丁{5 in夕+3eos夕)=训百。、‘丁6{:;n(口+印)}①②解方程4二、l一“)-(1+x’)侧…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

分解因式一法

当m-十x十l。n不是3的倍数的正整数,m>n,且m与n之和是3的倍数时,则代数式xm+x”十]必有因式x“.二这是一个分解因式的方法,现证明如下。设f(劝二xm+xn+1,要证xZ十x+1是f(x)的一个因式,只需证明x,,2=一1土亿 2多1是方程f(劣)的根。由于卫主了互左一cos夸物l7n粤·“了“!,2,=(co,夸“sin争)+(co,兰二:i:in卫卫一、n+i 、33,cos竺性干1 sin 3旦塑些 3十COS4拄派3干isin些丝丝 3=2‘l,S鲤望竺卫王.cos~些竺二竺二』王 66油in生些竺竺生cos土业生少王+1令m+n二3k(左=1,2,3,…),由于m>n,m和n均不是3的倍数,所以m一n=3艇1,_~,,、~__‘~‘___/。…     

一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

构造数表法解题一则

高中(甲种才劝代数第三册尸83.25(2)题:求证:C,,十ZC,,+3C,3+……十nC沪=n.2”一‘. 一般证法是采用教参上提示的: 由数c盒=、C之二{,将原式左边化为称性“补形”成为一个正方体: C月二C盆,C念二Cf. 万【ABC]二艺[A‘B’C‘]左边=”C月一,+C孟一,+……+C监})=n.2卜‘之c二味c众十.C:+e言.唇笔者通过构造一个数表给出了一种形象的解法 如图.将原等式左边写成如下形式并排成三角阵.…冲产民冲.p二,,刃}行亡二4e二+e二;改、。孟,e二,洛令哀。 C,而正方形数表整体为:困月执 一自八‘︸ 一。呼。. 一产又户L fl、 一+闷J,\ 一2汽二尸\ …     

模型构造——组合等式证明的一种常用策略

教学实践告诉我们:组合等式的诬明在往比较繁复,术文拟用构造模型的方法来证明一类组合等式,今举数例,供同行探讨._2奋,sn醒4证明:考虑代数模型,(l+,)”二C:+C二劣 例1.求证: _葵n二.乙一‘co卜石一’1一C孟+C孟一C盒+一c孟一C孟+C盖一C二十”·十C盖x,+…十C拓二”,根据模型与待证结论的关系.令二=‘得:(1十i)’一C尸+价卜卜、心若十社C之+二 十护C君二(C品一(棍+C轰一C盒+…)=2”十’·(]斗l)”+’((了g,、,+C;,十,+(C孟一C盘+C二一C二十二)i.+弓+,十二十C舞扣又(1+i),,=2两式即可得结论 ”兀_二几汀\“。s刁十’s’升飞){_匕较…     

2004年高考模拟试题

,.月︵尹‘一︼内jJ闷‘J︸‘幻一﹃一﹃了n石,上,丈﹃︸11 J.1‘l一,丈﹃.一1上1一.llee月.l.esee.l.eswe.J.eees..1,.lwejeeieseell…ee...1.‘eeJ吧.esJ尸es.es.eseeleslIllee..eswewetl4llwel1we. 丫护/一、选择题(本大题共60分,每题5分.)1.已知M=1列丁=sin二·cot二},则M=(). A,[一l,l]B.(一l,l] e,(一z,z)n.[一z,l)2,已知向量孟二(一1,行),向量石=币,1)则云与石的夹角等于(). 7r~77r。兀。5兀A.今B.子C.专D.号孟“6”.6~’2一’63.若a,占eR,则使lal+lb卜1成立的充分不必要条件是().A.}引〕1C.{a}+}b}>ll州二合且.‘!〕告D .b>…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…