横看成岭侧成峰,远近高低各不同——一道题目的多种解法

题目经过点P(4,3)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.解法1:利用直线的点斜式方程.     

一道解析几何题的解法研究

题目过点P(2,1)的直线l交x轴正半轴、y轴正半轴于点A、点B,求△AOB面积S的最小值,并求出此时直线l的方程·这是一类典型的求直线方程的题目,解题的关键是选取直线方程的哪种形式,来建立起三角形面积的表达式,进而采用恰当的方法求出面积的最小值·根据着眼点的不同,本文给出如下一些入手方法·解法1:(用直线的一般式及平均值不等式)设直线l的方程为Ax+By+C=0,直线l过点P(2,1),则有2A+B+C=0,C=-2A-B·在l的方程中,令y=0,得x=-AC>0,则A(-AC,0);令x=0,得y=-BC>0,则B(0,-CB)·所以S=21|OA|·|OB|=21(-AC)·(-BC)=(-22AAB-B)2=2+…     

一道最小值问题的解的反馈信息

解析几何同步训练中有这样的一道题:过点P(2,3)的直线与x、y轴的正半轴交手A、B两点,求使△AOB的面积最小时直线l的方程,(O为原点,下同),并求面积的最小值.此题结构严谨,解法多变,规律性强,可以从多角度、多途径人手进行分析和挖掘.     

巧用不等式解直线中的最值问题

例扭直线l过点邢，l)，且分别交x轴，y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求当△AOB的面积最小时的直线l的方程。思路一因为直线之已过一定点户飞2，l)，所以可以先设出直线止的点斜式方程，且易知直线止的斜率k眨0。解设过P的直线l的方程为y一1球(x一2)，则该直故所求直线‘的方程为y--卜一令(x一2)，‘线在x轴，y轴上的截距分别为翔二2k一1__:。L ~一几，一一理护1一‘几蕊D即x Zy--4=0思路二由于本题中的△AOB的两直角边长就是直线l的横纵截距，且横纵截距均大于零，因此联想到直线方程的截距式。解设设过p的直线l的方程为三十答=1…     

深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

一类面积最小问题的简捷解法

定理　若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .　　　　　图 1证明　如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1　直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解　设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点…     

浅谈直线问题两个解法

例1直线与两坐标正半轴围成面积过点P(2,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A、B两点,求当△OAB面积最小值时直线l的方程:分析:设方程x/a+y/b=1,p代入2/a+1/b=1①(这里a、b为横纵截距)     

一道应用题的多角度分析与思考

学生在学习直线与圆时,曾经做过这样的题目:“在直角坐标系xOy中,已知点P(1,3),过点P作一直线l交x轴于点B,交y轴于点C,求△OBC面积的最小值.” 当初学生有3种解法: 法1是设斜率k,求出B,C两点的坐标然后利用直角三角形的面积建立k为变量的函数; 法2是设截距式,然后用基本不等式求解; 法3是连接OP,把三角形的面积分割成△OBP,△OCP的面积和来求解.     

实验·猜想·发现·论证

在学习直线方程一部分知识时,我们总是遇到一个典型的问题: 已知点P(3,2),过点P引一条直线k分别与x,y轴的正半轴相交于A,B两点,求使△AOB的面积最小时的直线k的方程。分析解决这道问题的关键是确定△AOB的     

一个最值问题的探究

正问题:过点M(2,1)的直线l分别与x,y的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程。·y x B O A M(2,1)探究一:解法探究分析一:由于题中的直线l斜率存在且过定点M(2,1),所以在设直线l的方程上可优先选用点斜式。利用直线l方程可求出直线l在x,y上的截距,然后利用面积公式进行求解。     

求一类最小面积问题的简捷方法

解析几何中有这样一个题目:过点P(2,3)的直线与x、y轴的正半轴交于A、B两点,若△AOB的面积极小,求直线AB的方程,并求此面积的极小值.(《中学数学习题选解》P.269人民教育出版社,1980年5月)     

一道课本例题的多方位探究

<正>苏教版必修5第13.4.2:基本不等式应用一节中,有下面的例3,编者目的是应用基本不等式求直线的斜率,解法比较简单,如果仅止于此,则浪费了这道看似简单实则意义深远的例题.课下可以引导学生作进一步的探究,现给几个非常不错的结论以及简捷美观的证明方法.例3过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.     

寻根求源

纵观近几年的高考选择题,不难发现大部分是来源于课本但高于课本,所以为了顺利地解决这些高于课本的选择题,我们常常要先找到它们的根源.下面举例说明之. 例1直线l过点P(1,2)与x轴、y轴分别交A、B两点,若△AOB的面积等于3,则直线l的条数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4     

对一道课本典型例题的探究与思考

<正>一、问题呈现在学习不等式这一章内容时,苏教版(必修5)课本上安排了一道例题,题目如下:问题过点P(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当ΔAOB的面积S最小时,求直线l的方程.本题是一道基本不等式和直线方程的交汇问题,主要意图为借助于求直线方程,以考查基本不等式的应用.基本不等式是不等式部分一个非常重要的内容,是高考必考知识     

在探究中发现,发现中探究

在解析几何中,过定点的直线与坐标轴围成的直角三角形倍受命题者的青睐,与之相关的问题有长度之和(或积)、面积的最值等.文[1]、[2]分别总结了与之相关的问题,给出了求解方法并推广,得到了一般性的结论.笔者对此再探究,发现与周长有关的一个问题,寻求其解法后意外发现了一类问题,并进行一般性的推广.问题过点P(2,1)的直线l与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点,求△ABO周长c的最小值,并求出此时对应的直线l的方程.     

利用猜想推广陈题结论

本题借一道陈题,给出一个巧妙的解法(借用无关参数),并且借题发挥,利用猜想和论证,对题目条件进行推广,给出解答这类问题的通用公式。 题目:过点P(3,4)作直线交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,求 (1)△AOB的面积最小值;     

一个最值问题的多角度探究与推广

<正>题目:直线l经过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于AB点,O为坐标原点,试求△AOB面积最小时直线l的方程.在很多辅导书中都可看到与上例类似的题目.为此本文将在探究其多种处理方法的基础上,予以一般意义上的推广.一、提出问题问题1:最值型问题的一种常见处理方法是引进自变量构建函数,借助于函数最值的探求来使得问题获解.若将直线l的斜率k作为自变量,那么能建立起函数解析式,并使得问题得到解决吗?     

四心问题

本文介绍与三角形的四心有关的问题.1.垂心例1已知O为坐标原点,A、B是抛物线y~2=4x上的两点,问:是否存在最小的t值,使△OAB的面积S=ttan∠AOB,若不存在,说明理由;若存在,则求出当t取最小值时,△OAB垂心H的轨迹方程.     

巧用“Δ”求最小值

例直线y一kx+(l一3k)与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点,△OAB的面积用S表示,求S的最小值.分析易知,直线与y轴的交点坐标为(0,1一3k),与x轴交点坐标为户钻卫,。卜 S一(1一3k)2 2k这里S不是k的二次函数,所以不能用二次函数的方法求最小值.我们不妨把k看成未知数,S看成已知数,利用“△”求出S的最小值.易知A、B两点的坐标分别是{一(1一3k)2 2k1一3k k,o{,(o,i一3、).则S-一化简整理得9k2+2(S一3)k+1一0. 关于k为未知数的一元二次方程必有实根,即△)0. 皿(S一3)了一4只9火l)o. (S一3)2)9,:。S)6或S簇0. S为△OAB的面积,…只能有S…     

一道解析几何题的解法探究

题目 过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，当｜PA｜&;#183;｜PB｜取得最小值时，求直线l的方程。