一道美国数学月刊问题的简解

设x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1.求函数f=x+y+z-xyz的值域. 此问题最早出现在美国<数学月刊>问题征解中,后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求初等的解法,至今无人给出它的初等解法.笔者通过三角及导数的知识给出了此问题的一种简解,现整理出来供参考.     

构造向量巧证三元分式不等式

本文利用高中数学新教材中新增的重要内容向量,对中学数学期刊上的一些三元分式不等式给出简证、加强和推广。     

运用均值不等式解两道征解问题

问题1(数学通报2020年第12期问题2576)2已知x>0,y>0,y³(5-2x³)=3,求P=2/x²+3y²的最小值.解法1:由3元均值不等式可得x²=1·x·x≤1/3(1³+x³+x³),即x²≤1/3(1+2x³).     

构造辅助函数智求一类最值问题

求函数f(x)=λ1√x-a λ2√b-x(λ1＞0,λ2＞0,b＞a)的最大值和最小值. 此题的常规解法是用不等式法解,笔者经过深入探索与研究,获得了构造辅助函数的简单解法.     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

构造商函数求解2007年高考题——不等式恒成立问题

不等式恒成立问题一直是中学数学的重要内容,是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点.随着中学数学引引进导数,为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.一些含自然对数和指数函数     

一道美国数学月刊问题的初等解法探究

问题设x,y,z∈（0,＋∞）且x^2＋y^2＋z^1=1,求函数f—x＋y＋z—xyz的值域．     

构造法解(证)不等式

构造法就是根据某种需要 ,把题设条件或求解结论设想在某个模型上 ,通过对新设想模型的研究推出求解结论的解题思想方法 .本文通过范例说明构造法在解 (证 )不等式中的巧妙应用 .1　构造图形许多数学问题从形式上看 ,条件与结论间的关系不易寻求 ,若能针对题目特点 ,构造相关的图形 ,则问题往往变得直观易解 .例 1　若x1和x2 的绝对值≯ 1 ,求证1 -x21 1 -x22 ≤ 2 1 - ((x1 x2 ) /2 ) 2 .证　作单位圆x2 y2 =1 (如右图 ) ,x1=OM1,x2 =OM2 ,则1 -x21=|M1N1|,1 -x22 =|M2 N2 |.取M1M2 的中点M ,则 (x1 x2 ) /2 =OM ,1 - ((x1 x2 ) /2 …     

构造局部不等式解决一类不等式问题

正不等式问题是中学数学代数问题的基础和重点,在解决有些不等式问题时,特别是一些分式不等式和根式不等式,从整体上考虑往往难以下手,可以构造若干个结构完全相同的局部不等式来解决,只要局部不等式构造好了,解决这些不等式问题就方便得多了.下面结合一些具体例题谈谈如何利用局部不等式来解决问题.     

构造有理化因式解题举隅

求解根式问题的关键在于有理化，把“无理”问题转化为“有理”问题，实现这一转化的基本途径之一是构造有理化因式．举例如下：     

构造齐次方程，求解一类圆锥曲线问题

问题1(2000年北京、安徽春季高考题)如图1,设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹.     

函数值域的若干求法

函数值域和最值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：反函数法、分离常数法、配方法、均值不等式法、换元法、判别式法、单调函数法、利用三角函数的有界性法、数形结合等．     

函数值域的若干求法

一、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域即为原函数的值域.一般地,形如y=ax b/cx d的函数都可应用此法.     

一类问题的解法

本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1　不等式ａｘ2 +5ｘ +ｂ>0的解集是ｘ 13<ｘ <12 ,求ａ、ｂ的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ａｘ2 +5ｘ +ｂ=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5ａ,13·12 =ｂａ ,即 ａ =- 6 ,ｂ =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2　若关于ｘ的不等式ｘ >ａｘ +32 的解集为 {ｘ|4 <ｘ <ｍ},求实数ａ、ｍ的值 .解 :令ｘ =ｔ,则ｔ∈ ( 2 ,ｍ) .原不等式化为ａｔ2 …     

构造对偶函数求一类无理函数的值域

文[1]对型如:y＝mg(x) nf(x),其中g(x) f(x)＝c(常数),mn>0的函数求最值,其构思有独到之处,值得借鉴.本文利用构造对偶函数式的方法对其中的例题作解答,更易被学生所接受.     

一类新颖的数列问题

近年来,与数阵(表)有关的高考试题频频出现,如2003年全国理科数学第22题,2004年春季北京卷第20题,2004年春季上海卷第11题等等.此类问题对大多数学生来说由于背景较新,所牵涉到的知识为数列综合知识,故具有一定的难度.本文就这一类问题分类解析,供大家参考.     

构造向量证明一类分式不等式

《数学通报》2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式及均值不等式111()nminmiimiaan=-=、《中学数学教学》(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式2(,)xyxyxyR 澄分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.笔者发现,如果通过构造向量,利用向量数量积不等式||||||mnmn祝uvvuvv证明这类不等式更加方便快捷. 为应用方便,我们把不等式||||||mnmn祝uvvuvv写成222||||/||(0)mmnnn坠uvuvvvvv(*)证明时只要根据所证不等式的结构特点,构造适当的向量,再利用不等式(*)即可获证.文[1]、[2]中的所有例题及练习都可以用此法证明. 例1 (文[1]例1) 已知12,,,…