用点对称法证明反余弦函数的一条性质

对于任意x∈[-1，1]，有arccos(-x)=π-arccosx，这是反余弦函数的一条重要性质，它在反三角函数的运算中发挥着重要作用，这条性质的证明，教材采用了比较迂回的方法，实践发现学生接受的效果较差，若考虑采用下面证法，教学效果会更好一些。     

“arc cos（—x）=π—arc cosx”教学尝试

在中学骨干教师国家级培训班有关案例教学研讨会上,有学员提出:反三角函数中公式arccos(-x)=π-arccosx x∈[-1,1]来得突然,证明抽象.如何教学,值得探究!为此,笔者在揭示这一公式的发生、发展过程上进行了一点尝试.现将教学中的这一“镜头”再现,以请同行点评.     

反三角函数教学一得

反三角函数是高中数学的难点部分.反三角函数中的一些内容,学生在学习时,感到十分吃力.如反余弦函数的性质:arccos(-x)=π-arccosx(高中数学第一册第174页).由于证明过程比较抽象,学生不易理解和掌握,普遍反映学过以后似懂非懂.鉴于这种状况,笔者在教学中采用一种"几何法",即借助图象的直观作用且结合教材的证法进行讲述的尝试,收到了一定的效果.     

一个反三角函数关系式的两种直观证法

反余切,反余弦函数有如下关系式: arc ctg(-x)=π-arc ctgx,x∈(-∞,+∞) arc cos(-x)=π-arc cosx,x∈[-1,1] 本文以第一个公式为例,利用图象的几何直观性,介绍两种证明方法,可在学生复习时用。∵ y=arc ctgx是y=ctgx (x∈(0,π))的反函数,其图象关于直线y=x对称,而y=ctgx(x∈(0,π))的图象关于点(π/2,0)对称,∴y=arc ctgx的图象关于点(0,π/2)对称。     

一个含参不等式问题错解剖析

问题:已知不等式1-x2≥x t的解集是,求实数t的取值范围.错解:1-x2≥x t的解集是等价于1-x21-x1-x有解,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,设x=cosθQ∈[0,π],则t>sinθ-cosθ=2sin(θ-4π).因为θ∈[0,π],所以(θ-4π)∈[-4π,34π],2sin(θ-4π)∈[-1,2]·所以t>-1为所求·     

非线性平面区域

1．边界是正、余弦函数例1 函数y=f(x)的图象与直线x= a,x=b及x轴所围成的图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积．已知函数y=sinnx在 [0,π/n]上的面积为2/n(n∈N*),则     

反三角函数复习纲要

一、反三角函数的概念,性质: 课本采用逆映射的观点,引出在一定区间上的反函数,复习时以反正弦函数为重点,把概念,性质讲深讲透。 1.反正弦函数的定义: (略) 2.对符号arc sin(-(1/2))的理解: ① arc sin(-(1/2))表示属于[-(π/2),π/2]的唯一确定的一个角(弧度数),这个角的正弦恰好等于(-(1/2)),这个角应为(-(π/6)),因为根据y=sin x在[-(π/2),π/2]上的单调性可知:在[-(π/2),π/2]     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

集锦

正余弦和差化积公式的向量证明吴爱龙余建国(江西省丰城中学331100)曾兵(江西省丰城市第一中学331100)文[1]利用面积相等关系给出了正弦和差化积公式的一种构造证法,本文再给出正余弦和差化积公式的向量证法,供参考.图1证明如图1,设OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(0<β<α<π),则OA+OB=(cosα+cosβ,sinα+sinβ);OA-OB=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又以OA,OB为邻边作OACB,因为OA=OB=1,所以四边形OACB为菱形,作OE=BA,设AB与OC相交于D,则BA⊥OC,∠COB=α-2β,∠COx=α+2β,∠EOx=π2+∠COx=π2+α+2β;OC=2·OD=2co…     

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②     

数形结合在三角函数中的应用

数形结合是数学中一种重要的方法,也是高考要求掌握的重点之一.数形结合具有直观、形象、简洁、快速的特点,因而倍受师生青睐,对于有些问题,若能抓住本质,以形辅数,数形结合,则可直观、快速地求解.本文以《三角函数》一章为例,谈谈数形结合在解题中的妙用.1求函数定义域例1试求函数y=36-x2 lgcos的定义域.解:求函数定义域就是求不等式组cosx>036-x2≥0的解集.利用三角函数图象求解cosx>036-x2≥0c-os6x≤>x0≤6,如图1,由图知-6≤x<-32π或-2π相似文献   

高一数学单元测试(三角函数))

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题 4个选项中 ,只有一项是正确的 )1.角α的终边过P(-1,2 ) ,则下列正确的是(　　 )　　 (A)sinα =-12 　　 (B)cosα =-1　　 (C)cotα =-2 (D)tanα =-22 .已知arctanx =-π6,则arccos3x2 的值是(　　 )　　 (A) 5π6　 (B) π6　 (C) π3 　 (D) 2π33 .y =cos π4-x是 (　　 )　　 (A) [-π ,0 ]上的增函数　　 (B) -3π4,π4上的增函数　　 (C) -π2 ,π2 上的增函数　　 (D) π4,5π4上的增函数4.函数 y =｜cotx｜· sinx( 0 相似文献   

构建斜率表达式 破解高考压轴题

题目 已知函数f（x）（x∈R）满足如下条件：对任意实数x1，x2都有λ（x1-x2）^2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和｜f（x1）-f（x2）｜≤｜x1-x2｜，其中λ是大于0的常数．设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）．（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b-a0）^2≤（1-λ^2）（a-a0）^2；（Ⅲ）证明[f（b）]^2≤（1-λ^2）[f（a）]^2．分析 这是2004江苏高考题，形式新颖，在函数与不等式的交汇点上命题，旨在揭示函数的性态，与高等数学衔接紧凑，难度大，区分选拔功能明显．     

从一题多解中看求函数值域的方法技巧

求函数的值域是中学数学中较为重要的题型之一,解决它没有固定的模式,也难以形成思维定势,因此应善于思考,多归纳积累,特别需要掌握常见题型的求函数值域方法,丰富自己的解题经验,下面从一题多解的角度来看求函数值域的方法.解法1:利用三角换元,令x=tanα,α∈(-π2,π2)则y=11-+ttaann22αα=ccooss22αα-+ssiinn22αα=cos2α∵α∈(-π2,π2)∴-π<2α<π∴y∈(-1,1]解法2:利用分离常数进行转化∵y=1-x21+x2=2-1+1-x2x2=1+2x2-1又∵1+x2≥1,∴0<21+x2≤2∴-1相似文献   

一道错解引发的思考

2006年秋季浙江省参加了普通高中新课程实验,数学教科书采用人教版,笔者在数学③“1．4．2正弦函数、余弦函数的性质”教学中,出现意外情况,在学生仔细阅读P_(44)例5后,让二位学生上台板演例5左边的思考题:你能求y =sin(π/3-1/2x),z∈[-2π,2π]的单调递增区     

正弦余弦曲线对称问题的解法

高考中有关正弦(余弦)曲线有两类对称问题:中心对称和轴对称.本文给出求解这两类对称问题的若干方法. 例1 (2003年高考题)已知函数f(x)=sin(ωx φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π/4,0)对称,且在区间[0,π/2]上是单调函数,求φ和ω的值. 解法1:定义法.由f(x)是偶函数,知有     

函数图象的三个层次

1．作图 （1）描点法作图 例1 作函数f（x）=2sinz（sinz＋cosx）,在区间[-π/2,π/2 ]上的图象．     

关于抽象函数强弱连续的一个注记

本文对《巴拿赫空间引论》[1]中的L~2[—π,π]上有关抽象函数强、弱连续关系的例子,推广到L~P[—π,π](P≥1)空间中。     

正余弦曲线的一个余弦定理

本文介绍正弦曲线和余弦曲线的余弦定理与应用,供读者欣赏.定理：设正弦曲线y=Asinωx或余弦曲线y=Acosωx（A＆gt;0,ω＆gt;0）与x轴相邻的两个交点是M,N,P是正余弦曲线上且位于M,N之间的最高点或最低点,∠MPN=θ,π是圆周率,则cosθ=4ω2A2-π24ω2A2＋π2.证明：因为正余弦曲线的形状和周期性相同,故将点M平移至坐标原点O,由函数y=Asinωx（A〉0,ω〉0）的性质得M（0,0）,P（π/2ω,A）,N（π/ω,0）,故由对称性得｜MP｜=｜NP｜=√（4ω2A2＋π）/2ω,｜MN｜=π/ω。     

浅谈求解数学中的最值问题

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...