从一道错误例题想到的

现行职高《数学》第一册配套教材《数学学习指导用书》（江苏教育出版社）第38页一道例题：设数列{an}为等比数列,a3=27、a11=243,求a7．原解题过程：因a7是a3与a11等比中项,故a7=±√a3a11=±√27×243=±81此结论是错误的．     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

幂值的大小比较

<正>幂值的大小比较是高一数学的基础,是幂函数和指数函数性质的灵活应用,现将常用方法总结如下。一、底数相同,指数不同例1已知a=81⁽³¹⁾,b=27(31),b=27⁽⁴¹⁾,比较a,b的大小关系。解:因为a=81(41),比较a,b的大小关系。解:因为a=81⁽³¹⁾=(3(31)=(3⁴)4)⁽³¹⁾=3(31)=3⁽¹²⁴⁾,b=27(124),b=27⁽⁴¹⁾     

二次根式大小的比较

比较两个二次根式的大小,是八年级代数的重要内容之一,若不许查表,可采用以下方法进行比较. 一、因式法(将根号外的部分移入根号内)例1 比较76√和85√的大小. 解:76√=294√,85√=320√,∵294√<320√,∴76√<85√.二、作差比较法例2比较23√-7√和7√-3√的大小.解:∵(23√-7√)-(7√-3√)=33√-27√=27√-28√<0,∴23√-7√<7√-3√.三、作商比较法例3比较π√和3π√的大小.解:∵π√÷3π√=π3>1,∴π√>3π√.四、平方比较法例4比较11√+13√2和12√的大小.解:11√+13√2>0,12√>0,将11√+13√2和12√分别平方,得11√+13√2 2…     

一个数学问题的深化

1引言 <数学通报>2002年8月号问题1388为:已知x＞0,y＞0,且x y=1,求证:(√x √y)(1√1 x 1√1 y)≤4/√3 (1) 文[1]、文[2]对不等式(1)进行探讨,综合两文的结果,有     

化简双重二次根式的技巧5法

如何化简形如√m±√n的双重二次根式呢？请看下面一例： 化简：√7＋3√5-√7-3√5. 解法1 设辅助未知数法 设√7＋3√5-√7-3√5=x＞0, 两边平方,化简得14-4=x^2．     

一道高考题的疑问及剖析

2011年上海市春季高考数学第23题:对于给定x0＞3√a(a＞0),由递推式xn+11/2=(xn(√a/xn)(n∈N)得到数列{xn},且对于任意n∈N,都有xn＞3√a.用数列{xn}可以计算3√a的近似值.     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

问题1649的另一种解法与推广

《数学通报》2007年9月号问题1649： 已知a,b,c∈（0,＋∞）,且a＋b＋c=1,求 y=^3√a＋1＋^3√b＋1＋^3√c＋1的取值范围.     

一道初中联赛题的推广及变式

2005年全国初中数学联赛有这样的一道题：a，b，c为实数，ac〈0,且√2a＋√3b＋√5c=0，证明一元二次方程 ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根。     

数学竞赛单元训练题(初中) 分式的概念及性质

一、选择题1 .已知分式 x2 -4|x| 3x2 -4x 3 的值为零 ,则x- 3等于 (　　 ) .A .± 1　　　　B .1或 12 7C .± 12 7　　D .-1或 -12 72 .若有理数a、b满足 a2b2 <3 ,那么(a 3b) 2(a b) 2 与 3的大小关系是 (　　 ) .A .(a 3b) 2(a b) 2 <3　　B .(a 3b) 2(a b) 2 > .(a 3b) 2(a b) 2 =3D .无法确定3 .已知a、b满足ab =1 ,若M =11 a 11 b,N =a1 a b1 b,则M、N的大小关系是 (　　 ) .A .M >N　B .M =N　C .M 相似文献   

一道初中联赛试题的再推广

2005年全国初中数学联赛解答题第1题为： a，b，c为实数，ac〈0，且√2a＋√3b＋√c=0，证明一元二次方程ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根．     

一元二次方程常见错解会诊

一元二次方程是初中数学的重要内容,是中考的重点.由于概念不清、考虑不周,解题时常会出现一些错误.现将常见错误归类剖析如下,希望你能从中吸取教训,不再犯类似错误. 一、忽视方程化为一般形式 例1 (201 1年泰安卷)解方程2x2+5x=3. 错解:因为a=2,b=5,c=3,△=52-4×2×3=1,-5±√1-5±1     

你有过这些“小问题”吗?

数列是中学数学的重要内容,也是历次大考必考内容。对于数列问题的求解,很多同学不会出现“大错误”,但由于不细心,总会出点“小问题”,轻者因过程不完善,丢一至两分,重者是选错或填错答案而满盘皆输;本文将列举一些“小问题”,看看你是否曾经“拥有”?问题1、忽视分式不为零例1、已知｛an｝是等差数列,求证:1a1√+a2√+1a2√+a3√+…+1an√+an+1√=na1√+an+1√错证:设公差为d,则左边=a2√-a1√d+a3√-a2√d+…+an+1√-an√d=an+1√-a1√d=d(aann++11-a1√+a1√)=d(ann+1d√+a1√=na1√+an+1√剖析:上面的证明好似“天衣无缝”,其实,忽视了…     

一道2007女子竞赛题的简证及推广

题目 已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3,①（2007年女子数学奥林匹克竞赛试题）     

一个三角不等式的妙用

“在△ABC中,∑sin A≤3√3/2”是一个基本的三角不等式.下面用它证明一个三元不等式问题 题目 正数a、b、c满足∑a=1.证明： ∑1/bc＋a＋1/a≤27/31,其中,“∑”表示轮换对称和.[1] （2008,塞尔维亚数学奥林匹克） 证明 令a=yz,b=zx,c=xy（x、y、z＞0）.     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

追根寻源

江苏省第二十届初中数学竞赛第1试的第8题是一道选择题，题目是这样的：正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d=1。设P=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1＋√3d＋1，则（ ）。     

数学教学中对例题的挖掘

在数学教学中应注意例题的教学,特别是对例题的功能应进行深层次的挖掘,不能就题论题,例子分析完了思路就断了,而应该多想一想,这道例题告诉了我们什么,还有什么可挖掘的,是否能启迪我们得出更一般的结论或规律。 现行中师数学教材《代数与初等函数》第一册242页有这样一个例题:求证3~(1/2) √7<2√5.这是一个证明不等式的问题,宜用分析法,证明如下: 假设√3 √7<2√5 则有(√3 √7)~2<(2√5)~2,即√21<5 两边平方得21<25。 21<25恒成立,又因上面每步推理都可逆,所以原不等式成立。 回过头来再看原题,不等式左边两个被开方数3和7之和为10,右边是两个√5,如果也视作两个平方根,则被开方数之和也是10,它们的区别在于左边两个被开方数7和3之差是4,而右边两数相等,结论是左边小于右边。由此可启发学生作大胆猜想(1);若两数(正数)之和一定,则以相近两数的平方根之和为最大。为此,可举一特殊例子验证,如证明     

一道三角题的构图证法

题目:求证tan420°-4√3tan320° 6tan220° 4√3tan20°=3. 该题是<数学通报>1997年第6期刊登的数学问题1 076题,由于恒等式的左边是含同一个角的正切函数值.指数较高,系数复杂,证明有一定的难度,本文给出该题一个构图证法,供参考.