你注意到了分母不为零吗?

大家在小学阶段就知道"分母不能为O"这一特殊性质,但在初中学习分式的过程中,不少同学未注意到题目中这一隐含条件而导致解题失败.本文列举几例以引起同学们的重视.例1(武昌初二期末考试题)以下结论正确的有——(填序号).(1)1/x-2可变形为x/((x~2)-2x));(2)x/(x~2-2x)变形为1/(x-2);(3)使x/(x~2-2x)无意义的x值是x=0且x=2;(4)无论a、b为何值,代数式(a+2b)/(a-b)+     

关于方程logax=a^x解的范围

记ａ =ａ(1) ,ａａ=ａ(2 ) ,ａａ(ｎ -1) =ａ(ｎ) .那么有结论　对方程ｌｏｇａｘ =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1 ) ,(1 )当ａ∈ (0 ,1 )时 ,其解ｘ∈ (ａ(ｎ) ,ａ(ｎ 1) ) (ｎ∈Ｎ ,ｎ为奇数 ) ;(2 )当ａ∈ (1 , ∞ )时 ,其解ｘ∈ (ａ(ｎ) , ∞ ) (ｎ∈Ｎ ,ｎ为奇数 ) ;证明 :当ａ∈ (     

数学单元测试题

一填空题7J-办,瀚怕1.分解因式:(1)4a(x一少)一sb(少一x)=;(2)夕‘一夕2一12=2.m、n满足}m十2}十(n一4)’一O,分解因式(了十犷)一(mxy+、)一_·3.若二次三项式拼2+kmn+25n,是一个完全平方式,则k一_·4.已知扩一。x一24在整数范围内可以分解因式,则整数。的值是_(只需填2个)5.若长方形的面积为尹+13x十40(x>O),其中一边长为x+5,则它的周长为_·6.(l)当二时,分式2x2一1 一xZ有意义;(2)若x~3时,分式5x2一13x+a无意义,则a-7.如果分式￡2一7士一8 x+1的值为0,则二一8.(1)当x(2)当x时,分式军牛县的值是正数; O门一沈{ x一3一(x+l)2a+b‘a一ba+b…     

函数中易混淆的十对概念

1.定义域为A与在A上恒有意义"函数在A上恒有意义"中的A是f(x)的定义域的一个子集,属于不等式恒成立问题;而"函数的定义域为A"中的A是函数的定义域,     

一道数学题的误解及其分析

题目　已知函数ｙ =ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 〔2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1〕的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,试求实数ａ的取值范围 .误解　函数 ｆ(ｘ)的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,∴ 2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1>0恒成立 ,于是有2 ( 3ａ - 2 ) >0 ,( 1)Δ =16ａ2 - 8( 3ａ - 2 ) (ａ 1) <0 . ( 2 )由 ( 1)得ａ >23,由 ( 2 )得ａ <- 2或ａ >1,∴ａ >1.因此 ,所求ａ的取值范围为ａ >1.这个解答的错误是容易断定的 .例如 ,令ａ =2 ,则ａ∈ ( 1, ∞ ) .这时 ,ｙ =ｌｏｇ2 ( 8ｘ2 8ｘ 3) =ｌｏｇ2 8ｘ 122 1.由于 8ｘ 122 1≥ 1,所以ｙ的…     

子集思想的应用

1.解方程(或不等式)使方程(或不等式)中各代数式都有意义的未知数的取值范围,可称为方程(或不等式)的"定义域".方程(或不等式)的解集是"定义域"的子集.因此利用子集思想,借助"定义域"定性分析,可减少一些中间运算环节,优化解题过程.     

不等式恒成立求参数的取值范围

1参数分离法例1设()lg[(239)/7]xxxfx= ?c在(]?∞,1上有意义,求实数c的取值范围.解由题设可知,2390xxx ?c>对x∈(]?∞,1恒成立.即(2/9)(1/3)xx??g(x),即c>g(1)=(?2/9)?(1/3)=?5/9,即c的取值范围是(?5/9, ∞).2判别式法例2如果不等式22221463xmxmxx <对一切实数x均成立,则实数m的取值范围.解∵224x 6x 3=(2x 3/2) 3/4>0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于22x 2mx m<24x 6x 3(x∈R)恒成立,即2…     

谨防“零”陷阱

正在中考试题中,不少同学在解题时因忽视"零"而酿成错误,因此,加强这类试题的训练显得尤为重要。本文以近几年中考试题为例,将容易出错的各种情况归纳如下,供大家参考。一、忽视分母应不为零例1:(2013年湖南娄底)使式子(2x+1)/x-1有意义的x的取值范围是()     

利用函数单调性解一类三角函数式取值范围问题

文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1　已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解　由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12…     

应用极限法巧解取值范围问题

极限法又叫极端假设法,即假设本来不存在的两个极端,拟定两种虚拟状态,求得最大值和最小值,从而确定该量的取值范围。一、极限法解物质燃烧问题中的取值范围例1.(2002年全国高考24题)在25℃、101kpa条件下,将15LO2通入10LCO和H2的混合气中,使其完全燃烧,干燥后,恢复至原来的温度和压强。(1)若剩余气体的体积是15L,则原CO和H2的混合气中V(CO)=L,V(H2)=L;(2)若剩余气体的体积为aL,则原CO和H2的混合气中V(CO):V(H2)=;(3)若剩余气体的体积为aL,则a的取值范围是。解:设与CO反应的O2为xL,与H2反应的O2为yL,则2CO(g) O2(g)=2CO2(g)2H2(g) O2(g)=2H2O(l)2122102xx2x2yy因是完全燃烧,当有O2剩余时,不可能有CO或H2剩余,则剩余气体为O2和生成CO2的总量。根据题意可得:(1)2x 2y=10[15-(x y)] 2x=1 x=2.5y=2. V(CO)=2x=5LV(H2)=2y=5 (2)2x 2y=10[15-(x y)] 2x= x=a-10/2y=20-a/ V(CO)C(H...     

应用极限法巧解取值范围问题

极限法又叫极端假设法,即假设本来不存在的两个极端,拟定两种虚拟状态,求得最大值和最小值,从而确定该量的取值范围。一、极限法解物质燃烧问题中的取值范围例1.(2002年全国高考24题)在25℃、101kpa条件下,将15LO2通入10LCO和H2的混合气中,使其完全燃烧,干燥后,恢复至原来的温度和压强。(1)若剩余气体的体积是15L,则原CO和H2的混合气中V(CO)=L,V(H2)=L;(2)若剩余气体的体积为aL,则原CO和H2的混合气中V(CO):V(H2)=;(3)若剩余气体的体积为aL,则a的取值范围是。解:设与CO反应的O2为xL,与H2反应的O2为yL,则2CO(g) O2(g)=2CO2(g)2H2(g) O2(g)=2H2O(l)2122102xx2x2yy因是完全燃烧,当有O2剩余时,不可能有CO或H2剩余,则剩余气体为O2和生成CO2的总量。根据题意可得:(1)2x 2y=10[15-(x y)] 2x=1 x=2.5y=2. V(CO)=2x=5LV(H2)=2y=5 (2)2x 2y=10[15-(x y)] 2x= x=a-10/2y=20-a/ V(CO)C(H...     

平面区域性质的运用

一、平面区域的性质在平面直角面坐标中,直线L:Ax+By+C=0(A>0)将平面分成两部分:则有"同正异负".设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为平面内的任意两点。     

利用F（x，y）在某区域的符号求有关参数的范围

这里先介绍一个结论：二次曲线F(x，y)=0分xoy直角坐标平面为若干开区域D1，D2，……，Di(i=1，2，3，4)．若M1(x1,y1),M2(x2,y2)是上述某一开区域Dk内的任意两点，则有F(x1,y1)&;#183;F(x2,y2)&;gt;0．这个结论的成立是显然的．     

一类取值范围问题的解法

问题 :设Ａ1Ｂ2 ≠Ａ2 Ｂ1,若ｘ、ｙ满足 :ｍ1≤Ｆ1(ｘ ,ｙ) =Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ≤Ｍ1,ｍ2 ≤Ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ≤Ｍ2 ,求函数Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ +Ｂｙ的取值范围 .对上述问题的求解 ,要先找出Ｆ(ｘ ,ｙ)与Ｆ1(ｘ ,ｙ)及Ｆ2 (ｘ ,ｙ)之间的线性关系 ,然后利用不等式的性质加以解决 .事实上 ,设Ｆ(ｘ ,ｙ) =λ1Ｆ1(ｘ ,ｙ) +λ2 Ｆ2 (ｘ ,ｙ) (λ1、λ2 为常数 ) ,也即是 :Ａｘ +Ｂｙ =(λ1Ａ1+λ2 Ａ2 )ｘ + (λ1Ｂ1+λ2 Ｂ2 ) ｙ .∴　 λ1Ａ1+λ2 Ａ2 =Ａ ,λ1Ｂ1+λ2 Ｂ2 =Ｂ .解得 :λ1=Ｂ2 Ａ -Ａ2 ＢＡ1Ｂ2 -Ａ2 Ｂ1,λ2 =Ａ1Ｂ …     

不单调问题的解题思路

不单调是近几年的创新考点,题目往往以导数为载体,解题中分类讨论,转化思维,数形结合等思想方法有着广泛应用.为此特举例分析不单调问题的解题思路,供同学们学习时参考.题目(2009年浙江高考理科22题)已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1(k∈R).设函数p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.思路1利用"p(x)在(0,3)上不单调p(x)在(0,3)上有极值点"直接求解.     

对一道选择题的分析思考

题目　已知ｓｉｎｘｃｏｓｙ =1 /2 ,则ｃｏｓｘｓｉｎｙ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [-1 /2 ,1 /2 ]　　 (Ｂ) [-3 /2 ,1 /2 ](Ｃ) [-1 /2 ,3 /2 ]　　 (Ｄ) [-1 ,1 ]错解 1　令ｃｏｓｘｓｉｎｙ =ｔ,则有ｃｏｓｘｓｉｎｙ ｓｉｎｘｃｏｓｙ =ｔ 12 ,即ｓｉｎ(ｘ ｙ) =ｔ 12 。     

试析河南境内中原官话中副词"情"的虚化

河南境内中原官话中的特殊副词"情",其语法意义与普通话中的"情"不一样,主要有三种:(1)表示"显然";(2)表示"假设";(3)表示"尽情".本文对这三种意义进行溯源,并且根据虚化理论从历时角度分析它们的发展关系.     

“2~(1/2)的认识”:HPM视角下的数感培养

2~(1/2)是学生学习的第一个真正意义上的无理数,2~(1/2)数感的建立对后续的无理数学习具有十分重要的意义。根据数感的组成成分,采用HPM视角来设计和实施"2~(1/2)的认识"的教学:采用重构式,通过面积计算来引入2~(1/2);采用复制式,通过反证法来证明2~(1/2)不是有理数;采用附加式,介绍无理数的历史;通过"在数轴上标出2~(1/2)的准确位置"的活动来凸显2~(1/2)的几何表征。课后的问卷调查和访谈表明,这样的教学对于培养学生无理数的数感是有效的。     

例谈构造法解题的思维途径

"构造法"解题,就是构造数学模型解决问题.在中学的数学竞赛和高考题目中,它的应用十分广泛,特别有些技巧性强的题目,学生往往手足无措,难于下手.本文举例说明"构造法"解题的几种思维途径,供参考一、构造函数例1已知函数f(x)=x~2+2x+alnx.当t≥1时,不等式f(2y-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.解析:不等式f(2f-1)≥2f(t)-3(?)2t~2-     

一类“任意性”或“存在性”问题的求解策略

涉及"任意性"或"存在性"的函数问题在近年高考中频频出现.如何处理这类问题一直让不少考生感到头疼.本文从几道例题出发,阐述这类问题的解法,供借鉴.1一元"任意"性问题例1(2012年高考天津卷·理20)已知函数f(x)=x ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞5),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)略.解(Ⅰ)a=1(过程略).