向量与三角形的“四心”

<正>三角形的“四心”即重心、垂心、内心、外心,在三角形中有着极其重要的地位,涉及到“四心”的问题既简洁明了,又新颖别致.向量是高中数学的新增内容,是一个具有代数与几何双重属性的量,向量能以独特的形式反映三角形的“四心”所具有的性质.下面例举有关三角形“四心”的向量关系式.     

向量与三角形的“四心”

三角形与向量的加减法紧密相关,而三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面将给出向量与三角形＂四心＂相关的几个结论.     

三角形“四心”的向量形式

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三角形“四心”的向量视角

三角形“四心”与平面向量有机结合,可拓宽它的应用范围。使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形“四心”的性质,这样可以大大提高解题速度,简化解题过程,总能起到事半功倍的作用。     

三角形“四心”的向量视角

三角形"四心"与平面向量有机结合,可拓宽它的应用范围,使很多复杂的几何问题得以解决。若能记住有关三角形"四心"的性质,这样可以大大提高解题速度,简化解题过程,总能起到事半功倍的作用。     

向量视角下的三角形“四心”

三角形有外心、内心、重心、垂心,在平面几何中研究过三角形的“四心”的作法,在解析几何中可以利用方程的思想方法求三角形的“四心”,这两种方法,前者侧重几何特性,后者侧重代数运算.由于向量具有代数和几何的双重属性,以向量为视角,研究三角形的“四心”,可以揭示三角形“四心”与顶点及各心之间的联系.一、“四心”依托顶点,各具特色结论1设O是ABC所在平面内一点,则O为ABC外心的充要条件是|OA|=|OB|=|OC|(即点O到3个顶点距离相等)(OA OB)·AB=(OB OC)·BC=(OC OA)·CA=0(即O为三边垂直平分线的交点).证明如图1,设ABC的三…     

平面向量与三角形的“心”

在近几年的高考题和高考模拟题中,与三角形四心——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现,这主要是考查向量和三角形的基本知识,试题的陈述简明流畅,内涵丰富.既考查了向量的几何运算,又考查了三角形的基     

关于三角形的“四心”与平面向量的结合

每年全国各地高考试卷中,都有不少试题与三角形的“四心(内心,外心,垂心,重心)”有关,与三角形的“心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级考试命题者的青睐,经常出现在各级各类考试卷中,学生在解决这些问题时错误率较高,甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料,结合本人积累的一些经验,就高中新课标向量的相关知识进行阐述,对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合.     

向量法打动三角形之“心”

三角形的外心、内心、重心、垂心以及正三角形的中心与几何有关图形的性质有机地结合．可拓宽应用的范围,使很多几何问题很快得到解决,特别是在用向量法解题时,若能记住一些关于“心”的性质．可大大简化解题过程．     

向量和你谈“心”

在各类试题和模拟试题中,常出现一些围绕向量知识和三角形四"心"的题目,同学们在学习过程中,要注意提炼总结、比较异同,举一反三,以提高解题能力.     

三角形“四心”的向量表示

向量的加减法运算是通过三角形法则来完成的,向量与三角形有着密不可分的关系,三角形的“四心”（重心、垂心、内心、外心）又是三角形的重要内容,与“四心”相关的向量题目也是频繁出现,用向量表示“四心”则是常见问题,现归结如下．     

巧用向量探究三角形“四心”

三角形的四心是三角形的重要性质和特征,但关于四心的知识,初中教材介绍不多,高中教材也没有系统的阐述.高考试题中却频频出现,尤其与平面向量知识综合考查更为普遍.笔者就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知     

三角形“四心”问题的判断

三角形的"四心"(即内心,外心,重心,垂心)是中学数学的一个基础知识点,需掌握它们的定义和性质.近几年,以平面向量知识为载体,加强了对它的考查,是高考的一个小的热点.本文就"四心"判断问题的解题方法作一归纳,供读者参考.     

平面向量定“四心”

向量具有“数”和“形的双重身份,是数学中的一种重要工具．现对利用平面向量判定三角形的“四心”即内心、外心、重心、垂心问题说明如下．[第一段]     

与三角形的“心”有关的向量综合题分类导析

与三角形的“心”(重心、外心、垂心、内心)有关的向量综合题是一类极富思考性和挑战性的重要题型，倍受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中．下面精选出部分典型例题并予以分类导析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．     

三角形"五心"的向量表示

通过五个定理给出三角形“五心”的向量表示方法,并提供证明。     

浅析三角形的“四心”

本文就高中阶段解析几何和立体几何两章中,有关重心、垂心、外心、内心等“四心”问题展开讨论,提出自己的解题思路．并在教学实践中对有关的“四心”问题作出总结．希望学生能通过联想,把三角形的四个“心”联系起来,把知识融会贯通起来,能够快速地解答问题,并能与实际问题联系起来,较好地解决实际问题．以此提高学生学习的兴趣和解决问题的能力．     

用向量共线定理推导三角形四心的向量形式

通过向量共线定理,结合三角形重心、外心、内心、垂心的定义,经过向量的运算,推导出三角形四心的向量形式.     

探究一类阿基米德三角形的三心的轨迹

抛物线的弦与过弦的两个端点的切线所围成的三角形通常称为阿基米德三角形,阿基米德三角形以其深刻的背景和丰富的内涵有着无穷的魅力,备受高考命题者的青睐.阿基米德三角形在高考题中常考常新,正是源于其丰富的背景和性质,本文探究一类阿基米德三角形的重心、垂心、外心的轨迹问题,并给出证明.