关于丢番图方程(65n)~x+(2112n)~y=(2113n)~z

利用初等方法证明:对任意的正整数n,丢番图方程(65n)^x+(2112n)x+(2112n)^y=(2113n)y=(2113n)^z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).     

关于指数Diophantine方程nx+(n+2)y=(n+1)z

设n是正整数.本文运用Gel’fond-Baker方法证明了:当n>3×1015时,方程nx (n 2)y=(n 1)z无正整数解(x,y,z).     

x+y=k型问题的几种解法

一、分式代换法由x、y∈R~+,x+y=1,可设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m、n∈R~+,从而实现了分式法解题。例1 已知x,y均大于零,且x+y=1,求证(1+(1/x))(1+(1/y)≥9。证明设x=(m/m+n),y=(n/m+n),m,n∈R~+,则(1+(1/x))(1+(1/y))=(1+(m+n/m))(1+(m+n/n))=(2+(n/m))(2+(m/n))=5+2((n/m)+(m/n))≥9。当且仅当(n/m)=(m/n),即x=y=1/2时取等号     

关于Goormaghtigh方程的例外解

证明了 :方程 (x3 - 1) / (x - 1) =(yn- 1) / (y - 1) ,x >y >1,n >3,仅有正整数解 (x ,y ,n) =( 5,2 ,5)和 ( 90 ,2 ,13)分别满足条件 gcd(x ,y) =1和y|x。     

Diophantine方程xn+yn=zφ(n)的本原解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数.证明了方程xn yn=zφ(n)当且仅当n≤3时有正整数解(x,y,z)适合gcd(x,y)=1.     

江苏卷（21）题的思路与解法

20 0 3年高考江苏卷第 (2 1)题内容新、题型新 ,集中考查了导数和不等式证明等知识 ,解答的思路和方法较多 ,这里给出不同层次的若干思路和方法供参考 .(2 1)已知 a>0 ,n为正整数 .( )设 y=(x- a) n,证明 y′=n(x- a) n-1 ;( )设 fn(x) =xn- (x- a) n,对任意 n≥ a,证明 fn+ 1 ′(n+1) >(n+1) fn′(n) .证明　 ( ) y′=limΔx→ 0(x+Δx- a) n- (x- a) nΔx=limΔx→ 0 [(x+Δx- a) n-1 +(x+Δx- a) n-2 (x- a) +… +(x- a) n-1 ]=(x- a) n-1 +(x- a) n-2 (x- a) +(x- a) n-3 (x- a) 2 +… +(x- a) n-1=n(x- a) n-1 . (洪成、王严、王雪　供…     

一道易错题的多角度解答

<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x²-4xy+5y²+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是___.不少同学是这样解答的：W=(x²-4xy+4y²)+(x²+4x+4)+(y²-2y+1)-2=(x-2y)²+(x+2)²+(y-1)²-2.∵(x-2y)²≥0,(x+2)²≥0,(y-1)²≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时,     

关于方程Sx（n）=Sy（3）

对于正整数m,n(n≥3),设Sm(n)是第m个n角数.证明当n＞6且n-2是平方数时,方程Sx(n)=Sy(3)无正整数解(x,y);当n＞6,2|n且n-2为非平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y).     

抛物线的一条性质在解中考题中的运用

<正>命题如图1,P是抛物线y=1/4x²-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m2-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m²-1,OP=(m2-1,OP=(m²+(1/4m2+(1/4m²-1))2-1))²)2)^(1/2)=1/4m(1/2)=1/4m²+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m2+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m²-1-(-2)=1/4m2-1-(-2)=1/4m²+1,所以PO=PH.     

不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解数

给出了不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解以及非负整数解的个数的计算公式.同时也给出了将正整数n拆分成若干个1,2和m的拆分数的表达式.进一步给出了x1+2x2+3x3+4x4=n的正整数解的个数以及关于一般情形下的不定方程的正整数解的个数的递推关系.     

F~(n×n)的交换子代数

本文给出了的两类交换子代数,论述了这两类交换子代数间的关系,证明了子代数可以作成交换子代数的条件。     

组合(2n n)的一组计算公式

利用Legendre多项式的性质,运用初等方法获得了组合数2nn的一组计算公式.     

矩阵Γ_(n,m)—环M_(m,n)的F—正则性

讨论Γ—环M上的矩阵Γ_(n,m)—环M_(m.n)的F—正则性。得出Γ_(n.m)—环M_(m.n)的理想Q为F—正则理想的充要条件是在Γ—环M中存在F—正则理想P使得Q=P_(m,n)。     

(HF)n(n=2,3)分子团簇的结构和氢键相互作用

在分子间相互作用和化学反应研究中,氢键分子团簇是十分重要的.这些复合体的显著相关特征之一就是氢键合协调性,复合体的结构和结合能与体系的大小紧密相关. 在分子团簇中形成的主要分子间作用力是氢键.     

正整数（2n）2n+1的若干注记

讨论了正整数(2n)2n+1某些性质,给出了其不与任正整数构成拟亲数结论,并证明了其相异素因个数不超过[2(2n-2)/n+1],其中[x]表示为不超过x最大整数.     

重要极限limn→∞(1+1/n)n=e的一种证法

在<高等数学>教材中只证明了重要极限limn→∞(1 1/n)n=e的存在性,对于其结果为什么是e未做证明.本文将对此极限的结果做一个合理猜测,并给出了一种严格的证明.     

数列an=(1+1/n)n极限存在的一种证明方法

运用平均值不等式证明了数列an=(1+1n) n 的极限存在性 ,并且得到有界性比较强的结果。     

关于函数方程S（n）=Z（n）的两个问题

对于正整数n,设S（n）和Z（n）分别是Smarandache函数和伪Smarandache函数.解决了有关函数方程S（n）=Z（n）的两个问题。