一道数学高考题的来源和引伸

1993年全国高考数学试卷（理工农医类）最后一题（第29题）有一定的深度和难度，该题是：已知关于x的实系数二次方程x~2＋ax b=0有两个实数根a、β，证明：关于此题的各种解法，在不少杂志上已经有过，这里不再重复．本文主要想谈一下这道试题的来源和引伸，以供大家参考．一、来源．这道试题源于课本，高中《代数》下册∮5．5（第27页）的例4是：(为叙述方便,这里将课本原题中的字母a、b换成p、q）课本中采用分析法，利用双向箭头推理给出证明．可见本例的逆命题也真．代入，则本例可变换为：则a，β是关于x的实系数二次方程根，上述充要条…     

利用课本习题巧证一个不等式

题若正数a，b，c满足a b c=1，，求证本刊1994年第7期P．46上，田正平老师用逐步调整法证明了此题．这里，笔者给出两种简洁证明，证1因对任意实数a，b，c，d有（高中代数课本下册P．14练习第2题）因此，原不等式成立．证2因对任意复数z_1，z_2有（高中代数课本下册P．197习题第6题）（i为虚数单位）因此，原不等式成立．最后，我们指出：原题的条件可放宽为“a、b、c，为满足a b c=1的实数”．利用课本习题巧证一个不等式@宋庆$江西永修县一中     

关于一个复数命题真假判定的异议

新编高中《代数》（必修）教材下册P220复习参考题八第2题中，要求判别命题“复数集C与复平面内的所有向量的集合一一对应”的真假，并说明理由．此题原出现在高中《代数》甲种本第二册P236上．对于此题的解答，无论是原来由某些省编的《教参》还是现由人民教育出版社数学室编的《教参》（1990年1l月版P242）都一致解答如下：“假，因为实际上是复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量的一一对应．”笔者认为这一解答值得商榷，理由如下．首先让我们看看“复平面内所有向量的集合”是指的什么．必修本(P184）及甲种本（P194)都规定：“…     

柯西不等式的妙用

高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等…     

课本变式题库

课本变式题库高中部分原型如果ａ，ｂＥＲ”，且ａ一ｂ，求证ａ’＋ｂ‘＞ａ‘ｂＭａｂ‘．（高中《代数》下册Ｐ．１３例９）变式卫已知ａ，ｂ，ｃｅＲ“，且两两不等，求证２（ａ’＋ｂ’＋ｃ’）＞ａ‘（ｂ＋ｃ）＋ｂ’（ａ＋ｃ）４ｃ’（ａ＋ｂ）．（此题是高中《代数...     

两道课本习题的推广和应用

高中《代数》（必修）下册１６页第１１题和１２题：求证：ａ＋ｂ２２≤ａ２＋ｂ２２．（１）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,且ａ≠ｂ,求证：２ａｂａ＋ｂ＜ａｂ．（２）若（２）式允许ａ＝ｂ,那么两式均为当且仅当ａ＝ｂ时取等号．两题的证明虽然简单,但却有着重要的潜在功能．我...     

一类课本不等式的推广

现行教材高中《代数》下册,有一类课本的例习题．已知a,b＞0,求证：这一组不等式结构对称、和谐、具有数学之美,笔者现将此类不等式作一些推广命题1已知a、b＞0,证明因为a、b＞0,n=p十q（高中教材《代数》下册32页第5题）证明由命题2得三式相加即得命题3已知a、b、c...     

一道课本习题的推广及其它

一道课本习题的推广及其它章腊华（安徽省无为县襄安中学２３８３４１）高中代数（下册）复习参考题六有这样一道题：用数学归纳法证明．可将此题结论推广为这就是等差数列的前ｎ项和公式．为１的等差数列，由命题一有这就是上面提到的课本习题．由这道习题的结构，联想到...     

杨辉三角中的一组探索性问题

行高中《代数》课本（下册）“二项式定理”中,选编了一些有关二项式展开式的二项式系数间关系的命题．这些命题的证明方法灵活、抽象,技巧性较强,学生证题时颇感吃力,甚至束手无策．如果在教学中,教师不急于让学生追求命题的证明,而以“杨辉三角”（图１）为模型,...     

高中《代数》中几个求证题的归纳推广

高中《代数》中几个求证题的归纳推广临洮中学谢立亚高中课本《代数》下册中有如下求证题：１．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３；（第７页例２）２．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３；（第７页练习题３...     

逆用等比数列求和公式解题

高中《代数》（必修）下册第125页习题二十三第6（1）题要求用数学归纳法证明:     

"代表法":一类代数不等式的统一新证

拜读《中学数学教学》2007年第2期，郭要红老师《一个擂题的源与流——兼擂题（82）的评注》，与尚生陈老师《一个代数不等式的证明》，受益匪浅．拙以为，对于这一类代数不等式的证明，还有更为简洁、巧妙的统一证明方法，即“代表法”．[第一段]     

关于数列的通项

关于数列的通项李玉石，刘继烈数列都有通项公式吗？一般回答是“不一定”．但认真推敲一下，这种回答也不一定是正确的。现行高中课本代数下册（必修）教材关于数列有如下叙述：“按一定次序排列的一列数叫做数列……”。“数列可以看作一个定义域为自然数集Ｎ（或它的有...     

一个不等式的七种证法

在数学教学中，恰当地采用“一题多解”的方法研究和解决问题，对于帮助学生融会贯通所学知识，提高学习兴趣，丰富联想，全面深刻地理解和认识某些问题的实质，探讨和总结解题规律，培养和训练学生的发散思维，都有着重要的意义。本文仅以课本中的一道习题为例说明之。求证：（高中《代数》下册P16第22题）证法一：（分析法）上是减函数（证明略）证法六：（三角法）证法七：（几何法）不难发现方，／7fi：，l可以构成一个直角三角形，／广河／W－－，1也可以构成一个直角三角形，这两个直角三角形各有一条直角边为1。如图所示：一个不等…     

从一道习题的证法谈起

题目：设a、b、c是△ABC的三边长，此题是江苏《中学数学》93年第9期中学生课外基本练习题中的一题，原文用函数的单调性给予了证明，显得比较繁，下面用课本一例的变形给出简洁的证明．0时取等号．此定理是现行高中《代数（必修）》下册P12例7的变形，它有着广泛的应用，先用此定理证明上面一题，然后再举几例供参考．证：由a、b、c是△ABC的三边长，用上述方法易证下面几题：例1设x、y∈R，且0≤x≤1，0≤y≤1，求证：y/(1 x) x/(1 y)≤1（1988年列宁格勒数求证y/(1 x) x/(1 y)≤1(1988年列宁格勒数学奥林匹克试题的第25题）．证由对…     

三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)

关于△ABC三边a、b、c的不等式证明，文已给出了若干证明方法．其中，文建立了代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z）；文建立了代数变换：f（ra，rb，rc）=f（x，y，z）（其中半周长s=a＋b＋c/2；ra，rb，rc分别为△ABC的旁切圆半径）．但是，对于一类“轮换对称不等式”，以上方法显得力不从心．本文将文的代数变换：f（s-a，s-b，s-c）=f（x，y，z），改造为代数变换：f（a，b，c）=f（y＋z，z＋x，x＋y），导出了两个漂亮的定理，找到了△ABC三边a、b、c的不等式（包括非完全对称的“轮换对称不等式”）的证明妙法．     

课本上一道习题的一般形式

课本上一道习题的一般形式金昌市一中张斌贝高中《代数》（必修）下册习题十五第１９题（２）是：已知：ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：（ａ＋ｂ＋ｃ＋）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）≥９ａｂｃ。此题启发我们思考下列命题。命题１．若ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，则（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ...     

一个新的三角不等式

《中等数学》1998年第3期“数学奥林匹克问题”栏高中第65号题为：在△ABC中,求证：B．C＿sinA＋Zsin子十3sin子＜3．（l）－———一一2——一？”－’原刊1998年第4湖上,江苏张延卫老师给出了该题的构图证法．这里,我们给出类似于（1）式的一个新结果,并且给出其代数证法．定理在△ABC中,有BC＿＿＿COSA＋＋COSW＋3COS子＜3／3．（2）———””——一2’——一3——”—””“”证明”．”A,B,C是凸ABC的内角,B＿＿．”．0＜A十号＜A＋B＜n,2～‘——～,,故（2）式获证．从上述证明过程不难看出,当且仅当ABtr…     

应用极值定理解题应注意“一正二定三相等”

高中代数课本下册的第九页例3，实际上是两个很重要的极值定理，可简述为“和定积最大”，“积定和最小”，应用这两个定理时要注意其成立的三个条件．即为“一正二定三相等”，缺一不可.所谓“一正”是指函数式中，各式必须全是正数；所谓“二定”是指函数式中含变量的和（或积）必须是定值；所谓“三相等”是指函数式中含变量的项相等．我们发现不少学生在做作业时，由于忽略了上述三个条件中的一个或两个而导致错误．现举例如下，以防重犯。其图象为如图所示的一条射线,（图1）剖析：这里忽略了“一正”而导致错误．正解（i)当t＞0时，由…     

关于一道习题的教学建议

关于一道习题的教学建议景泰县一中曾全堂高中《代数》下册第１３２页复习参考题六第３４题：“已知数列｛ａｎ｝的项满足，其中ｃ≠０，ｃ≠１，证明这个数列的通项公式是作为一个综合复习题，如果就题论题，让学生用数学归纳法证明较为简单。若把求证改换成“求数列｛ａ...