高考理科(23)题的直观思路

题目:已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当 n≤y≤n 1(n=0,1,2,…)时,该函数图象是斜率为 b~n 的线段(其中正常数b≠1),设数列{x_n}由 f(x_n)=n(n=1,2,…)定义.(Ⅰ)求 x_1、x_2和 x_n 的表达式;(Ⅱ)求 f(x)的表达式,并求其定义域;(Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于1的交点.该题解答涉及许多重要的数学思想方法,考     

解题思路应来得自然——关于1999年高考理科第23题的解答

题 已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n 1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为b~n的线段(其中正常数b≠1),设数列{x_n}由f(x_n)=n(n=1,2,…)定义。     

用不动点法探究递推数列的通项公式

对问题:若数列{x_n}满足递推关系 x_(n 1)=f(x_n),求数列{x_n}的通项公式.我们可以尝试先求出方程 x=f(x)的根,即函数f(x)的不动点,再将递推公式 x_(n 1)=f(x_n)转化为 x_(n 1)-α=a(x_n-α)、x_(n 1)-α=a(x_n-α)~2、x_n 1     

阿基米德的求圆周率——迭代法的先例

阿基米德创造的用来逼近π的方法(译者注:即刘徽的“割圆术”),是数值分析的基本概念之一——迭代数列的一个简单有趣的先例。由函数f按下式生成的数列{x_n}: x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),……,x_n=f(x_(n-1)),……,n=1,2,3,……叫做一个迭代数列(或递推数列),x_0叫做初始值。由于x_n=f(x_(n-1)),如果{x_n}有极限,那么这个极限就是方程x=f(x)的解,方程x=f(x)的解也叫做函数f(x)的不动点。阿基米德求π的方法,与计算内接(或外切)于单位圆的正n边形的周长当n趋于无     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

递归数列x_(n+1)=f(x_n)的两个性质

1984年高考理科数学试题第八题,涉及到递归数列x_(n+1)=x_n~2/2(x_1-1)的性质。关于一般的连续函数f(x),对数列x_(n+1)=f(x_n)的性态进行讨论是很复杂的。本文就满足一定条件的函数f(x)所导出的递归数列{x_n}:x_(n+1)=f(x_n)进行讨论,得出两个定理.这对深入分析上述那     

论△[f(x)]=∫integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf_n(X_n)]。

本文的内容在討論函數f(x)的定積分integral from n=a to b f(x)dx与其代真值 c_1f(x_1)+………+c_nf(x_n)之间的差值△[f(X)]=integral from n=a to b f(x)dx-[c_1f(x_1)+……+c_nf(x_n)].a≤x_1<……相似文献   

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

由函数f(x)确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性

本文叙述了由函数f(x)的单调性、不动点及数列的初值x_0来确定数列x_(n+1)=f(x_n)的敛散性的方法.     

“准对称”函数问题的本源与化解

<正>一、"准对称"函数的概念我们知道,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).倘若引入二元变量x_1、x_2后,该命题又可表述为:若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则x_1+x_2=2af(x_1)=f(x_2),比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.假设上述对称函数y=f(x)在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y=g(x)的图象必然呈现非轴对称     

2015年安徽高考数学理科18题第(Ⅱ)问解法探究

题目 设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (Ⅰ)求数列{xn}的通项公式; (Ⅱ)记Tn=x21x23…x22n-1,证明Tn≥1/4n. 本题综合考查了函数导数、数列、数列不等式的证明,入口较宽,解法多样.笔者对第(Ⅱ)小题进行了探究,得到如下几种证法,供读者参考.     

例说数学解题时信息的获取和运用

题目已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的折线．当n≤y≤n 1(n=0，1，2，…)时，该图象是斜率为6n的线段(其中正常数b≠1)，设数列{xn}由f(xn)=n(n=1，2，…)定义.     

数学科

例一:已知幂函数图像过点M(2,1/4),则f(0.5)=( )(A)2~(1/2)/2 ;(B)1/4;(C)4;(D)2~(1/2)[评析]这道题考查了函数的基本概念,初等函数的解析表达式,当x=x_0时求函数值y_0=f(x_0),及待定系数法等重要内容.解答本题首先要清楚幂函数的解析式是y=x~n,其次对函数图像的概念:“设函数y=f(x)定义在数集A上,则坐标平面上的点集{(x,y)|x∈A,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像”有明确的认识.一般的函数图像过点M(x_0,y_0).可以理解为x=x_0时y=y_0由已知幂函数     

从一道数学题的解答谈起

本刊1982年第3期“关于一道数学题的解答”一文中,认为“求 x~2+2xsin(xy)+1=0的一切实数解”一题的传统解法有问题。经笔者再三推敲,觉得传统解法是站得住脚的,并不存在“偷换概念”的原则错误。为叙述方便,我们将函数系数的方程 f(x_1,x_2…x_n)x~2+g(x_1,x_2…x_n)x+h(x_1,x_2,…x_n)=0(其中f(x_1,x_2…x_n)≠0,且x可为某个x_i,亦可不同于诸x_i,i=1,2,…n)称为类二次方程;同时,为了说明问题,先证如下的两个定理。定理1.实函数系数的类二次方程 fx~2+gx+h=0(f≠0)有实数解的必要条件为△=g~2-4fh≥0 证:∵f≠0,故由原方程可得     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

一类分段函数解析式的求法

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1　关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1　已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解　当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,…     

忽视数列函数特殊性致错一例

<正> 问题已知|an|是递增数列,且对于任意的正整数n,an=n2+λn恒成立,求实数λ的取值范围?错解如图1,考察相应的函数f(x)=x2+λx的图象.由题意知,本题意在寻求使函数f(x)在区间[1,十∞)上为增函数时λ的取值范围,而函数     

高等数学背景下的高考命题探究——2012年全国数学高考理科卷第22题

题目设函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xn相似文献   

用函数的凹凸性证明不等式竞赛题

我们熟知某些初等函数的凹凸情况,对较复杂的初等函数的凹凸判断可由微分学知:若f(x)在(a,b)上有二阶导数,且f″(x)>0(<0),则f(x)在(a,b)上是凹(凸)函数,对凹(凸)函数有如下性质。(证略) 如果f(x)是(a,b)上的凹(凸)函数,n是自然数,则对x_i∈(a,b)(i=1,2,…,n)有不等式(f(x_1) f(x_2) … f(x_n))/n≥(≤)f((x_1 x_2 … x_n)/n) 当n>1时,上式等号成立的充要条件是x_1=x_2=…=x_n。灵活巧妙地运用上述性质,对证明某些不等式非常有效,常可使竞赛题迎刃而解。例1 设n为自然数,a、b为正实数,     

分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…