特征方程与递推数列(高一)

题设f1(x)=2/x 1,而 fn 1(x)=f1[fn(x)],n∈N。记an=fn(2)-1/fn(2) 2,则a99=___. (14届“希望杯”高一1试)若令bn=fn(2),则此题变为:b1=2/3且bn 1=2/bn 1,n∈N,记an=___     

对一道高考试题的商榷和另解

2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.     

一道赛题的再推广和联想

在文[1]中笔者给出了13届“希望杯”高一赛题的一个推广,现记为推广1已知f(x)=ax2 bx(a≠0),若f(m) =f(n),m≠n,则f(m n)=0. 本文继续推广该赛题,并联想等差数列中一个相似的性质. 推广2 已知f(x)=ax2 bx c(a≠0),若f(m)=f(n),m≠n,则f(m n)=c. 证明根据题意可得f(m)=am2 bm十c,     

《f(n)无表达式吗?》一文的再思考

正曾有高一的学生问笔者一道课外题:若f:N*→N*为严格递增函数,且对每个n∈N*,都有:f(f(n))=3n,则f(1)+f(4)+f(27)=.笔者运用赋值法给出了答案63,学生意犹未尽,追问:如果n的数值很大时,如何求f(n)?f(n)有没有一般的表达式?笔者被问住了,思考良久未果.后来在同事指引下,在《数学教学》中找到一篇徐道老师写的文章《f(n)无表达式吗?》与此相关.徐老师解决了一位高三学生提出的问题,并用数学归纳法给出了f(n)的表达式.此文让笔者深受启发,探索出该问题的一个直接求法,并在该问题的基础     

不求反函数巧求解

求反函数是高中数学的一个难点,在求解有关反函数的题时,只要灵活应用互反函数的性质,我们则可以对反函数“避而不求”,下面具体介绍不求反函数巧解题的方法:一、求函数值【例1】若函数f(x)=x x2,则f-1(13)=.分析:利用反函数的定义域是原函数的值域,即有f-1(a)=b f(b)=a.解:由x x2=13,解得x=1,所以f-1(13)=1.二、求解析式【例2】已知f(x)=4x 5,求函数f-1(2x 3)的反函数的解析式.分析:利用互反函数的性质:y=f(x)的定义域为A,值域为B,则有f-1[f(x)]=x,x∈A,f[f-1(x)]=x,x∈B则可不求反函数快速解题.解:设y=f-1(2x 3),则f(y)=f[f-1(2x 3)]=2x…     

f~(-1)[f(x)]=x和f[f~(-1)(x)]=x(高一、高二、高三)

请看下面两个题目: 1.已知函数f(x)=(3x-2)/(2x+7),则f[f-1(x)]=_______; 2.若g(x)=2x3+4,则g1[g(x)]=_______. 这是一本高中数学辅导书上的两个练习题,原解答是先分别求出反函数f-1(x)和g-1(x)后,再代入复合计算得出结果,答案都是x.其实,这些计算都是多余的,无论f(x)和     

利用f-1[f(x)]=x解决反函数问题

若函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则对于定义域中的任何一个x都有f-1[f(x)]=x成立.同样f[f-1(x)]=x也成立.这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用.     

互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用

本文给出了互素多项式在矩阵的秩讨论中的一个简单结果:定理:设f(x),g(x)∈P[x],A是n阶方阵,若(f(x),g(x))=1,则n r[f(A)g(A)]=r(f(A)) r(g(A)).以及结果的一些简单应用,对文献[1]中的一些结论进一步讨论。     

拓广数列公式Sn+1-Sn=an+1

定理1 设数列{a_n}的前 n 项和为 S_n(n≥n_0),若存在 f(n)使 S_n_0V f(n_0),且 a_nVf(n)-f(n-1)(n≥n_0 1),则 S_nVf(n).其中符号“V”表示“<”,“=”,“>”中的任一种.证明 S_n=a_1 a_2 … a_n_0 a_n_0 1 … a_n=S_n_0 a_n_0 1 … a_nVf(n_0) [f(n_0 1)-f(n_0)] [f(n_0 2)-f(n_0 1)] … [f(n)-f(n-1)]=f(n).     

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

求函数解析式八法

一、配凑法形如f[g(x)]=F(x),可以从F(x)中凑出g(x),然后再直接把g(x)换成x即可.例1 (2006年全国卷二)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x C.3 cos2x D.3 sin2x解(解法一)f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=3-cos2(π/2-x)= 3-cos(π-2x)=3 cos2x.选C.     

幂函数、指数函数、对数函数单元测试题

已知下列命题:①函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象若有公共点,则公共点必在直线y=x上;②若y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;③若函数y=f(x)存在反函数y=f~(-1)(x),则必有f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]=x成立;④f(x)与f~(-1)(x)有相同的单调性,其中不正确的个数有( )     

也谈函数的零点问题及解法

<正>文[1]指出函数零点问题的类型及解决方法,并给有简洁、到位的点评;从问题的具体特征出发,选择恰当的解题策略,使问题解决能更简便、准确.1水尽疑无路笔者根据题型一的解法求解题1(2011年山东卷理16题):已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2相似文献   

2004年上海市高考数学试题

理工农医类一、填空题 (本大题满分 4 8分 ,本大题共有 12题 ,每个空填对得 4分 ,否则一律得零分 )1.若tgα =12 ,则tg (α π4 ) =　　　 .2 .设抛物线的顶点坐标为 ( 2 ,0 ) ,准线方程为x= - 1,则它的焦点坐标为　　　 .3.设集合A ={5,log2 (a 3) }.集合B ={a ,b},若A∩B ={2 },则A∪B =　　　 .4 .设等比数列 {an}(n∈N)的公比q =- 12 ,且limn→∞(a1 a3 a5 … a2n -1 ) =83,则a1 =　　　 .5.设奇函数f(x)的定义域为 [- 5,5] ,若当x∈[0 ,5]时 ,f(x)的图象如右图 ,则不等式 f(x) <0的解是　　　 .6 .已知点A( 1,- 2 ) ,若向量AB…     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

某些含[x]方程的一种解法

如果在一个方程中既含有[f(x)]。又含有不带[ ]的x,那么其解法可按以下步骤进行: (1)假设[f(x)]=n………………① (2)导出x=g(n)…………………② (3)将②代入①,得[f(g(n))]=n(3) (4)据(3)有     

04年北京高考数学试题(理科)

1.设全集是实数集R,呵一{x}一2簇x(2},N一(x}x<1},则M门N等于() (A){x Ix<一2}.(B){x一2相似文献   

2004年上海市高考数学试题（理工农医类）

一、填空题 :每小题 4分 ,共 48分 .1 若tgα =12 ,则tgα π4=　　　　　 .2 设抛物线的顶点坐标为 (2 ,0 ) ,准线方程为x =-1,则它的焦点坐标为　　　　　 .3 设集合A ={5 ,log2 (a 3 ) },集合B ={a ,b}.若A∩B ={2 },则A∪B =　　　　 .4 设等比数列 {an}(n∈N)的公比q =-12 ,且limn→∞(a1 a3 a5 … a2n - 1 ) =83 ,则a1 =　　　　　 .5 设奇函数f(x)的定义域为 [-5 ,5 ] .若当x∈ [0 ,5 ]时 ,f(x)的图像如右图 ,则不等式f(x) <0的解是　　　　　　　　　　　　　　　 .6 已知点A(1,-2 ) ,若向量AB→ 与a→={2 ,3 }同向 ,|…     

一道竞赛题的巧解及推广

题目:设函数f:N→N满足条件f(1)=1,f(2n 1)=f(2n) 1,f(2n)=3f(n).求f的值集. 这是1990年国家集训队测验题,现给出它的一种解答,并作推广。 解:我们把原题略作变化,设函数