一道解析几何题的多种思路

例 已知直线l：y=k(x 2√2)与圆O：x^2 y^2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积是S．(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求定义域；(2)求S的最大值及取得最大值时的k值．     

例解一次函数综合题

例1已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1,若它们的交点在第四象限内:(1)求k的取值范围;(2)若k为非负整数,点A的坐标为(2,0),点P在直线x-2y=-k+6上,求使三角形PAO为等腰三角形的点P的坐标.     

一道解析几何题的解法研究

题目过点P(2,1)的直线l交x轴正半轴、y轴正半轴于点A、点B,求△AOB面积S的最小值,并求出此时直线l的方程·这是一类典型的求直线方程的题目,解题的关键是选取直线方程的哪种形式,来建立起三角形面积的表达式,进而采用恰当的方法求出面积的最小值·根据着眼点的不同,本文给出如下一些入手方法·解法1:(用直线的一般式及平均值不等式)设直线l的方程为Ax+By+C=0,直线l过点P(2,1),则有2A+B+C=0,C=-2A-B·在l的方程中,令y=0,得x=-AC>0,则A(-AC,0);令x=0,得y=-BC>0,则B(0,-CB)·所以S=21|OA|·|OB|=21(-AC)·(-BC)=(-22AAB-B)2=2+…     

椭圆中一个三角形最大面积问题

正本文给出椭圆中的一个三角形最大面积问题及其解答.问题给定椭圆E∶x2/a2+y2/b2=1(ab0),A(x0,y0)是不与原点O重合的一定点,B是E上的一个动点,求三角形AOB的面积S△AOB的最大值.分析:由于三角形AOB的一边OA的长一定,故S△AOB最大,当且仅当点B到直线OA的距离最大,因此我们可采用如下两种解法来解答这个问题.     

错在哪里

题一:在平面直角坐标系中,设点 A 的坐标是(4,0)又点 P 是第一象限内直线 x y=6上一点,若△POA 是等腰三角形,问 P 点坐标如何?     

向量三点共线结论的拓展与妙用

正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理     

一类面积最小问题的简捷解法

定理　若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .　　　　　图 1证明　如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1　直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解　设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点…     

一次函数的图像与三角形的面积两例

同学们都知道,一次函数的图像是直线.而直线与坐标轴、直线与直线可以围成三角形.那么,已知函数的解析式,如何来求这些函数的图像围成的三角形的面积呢?本文向同学们介绍常见的两例,供同学们在学习中参考,并从中能得到一些启示.　例1　如图1,求两条直线l1:y=-x+5,l2:直线y=2x+2与x轴围成的三角形的面积.图1解　直线l1:y=-x+5与x轴交于点C(5,0);直线l2:y=2x+2与x轴交于点B(-1,0),∴BC=6.由y=-x+5,y=2x+2,解得x=1,y=4.∴A(1,4).所以△ABC的BC边上的高为4.故S△ABC=12×6×4=12.两条直线与坐标轴围成的三角形一定有一条边在坐标轴上.求这…     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AB、AC,则S矩形ABOC=AB·AC=|y|·|xy|=k.S△ABO=1/2|k|. 证明:∵y=k/x,∴xy=k,∴S=|k|. ∴S△ABO=1/2|k|. 二、应用举例 1.求面积 (1)直接利用k的几何意义求面积 例1一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=kb/x图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为() A.2.B.4.C.8.D.不确定.     

三点共线在解题中的应用

一、三点共线研究交点坐标例1已知A(4,0)、B(4,4)、C(2,6),试求直线AC与直线OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x-4,y).因P是AC与OB的交点,所以P在直线AC上,也在直线OB上,即OP∥OB,AP∥AC.又AC=(-2,6),OB=(4,4),所以6(x-4) 2y=0,4x-4y=0,解得x=3,y=3,知     

浅谈二次函数背景下的多解问题

<正>本文对二次函数背景下的多解问题分类简析,供大家参考.一、多点在抛物线上例1如图1,已知直线y=x与抛物线■交于A、B两点.(1)求交点A、B的坐标.(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数■的函数值为y2.若y1> y2,求x的取值范围.(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.     

热点三 代数几何综合题

一、探究解题新思路题型一方程与图形的综合题典例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2 OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx 2(m-3)=0的两个根.CyAO B x(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.研析:(1)运用一元二次方程根与系数的关系先求OA、OB,再求…     

利用向量的数量积求点的轨迹方程

.利用向量模的概念图 1【例 1】　已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】　已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 …     

浅谈二次函数背景下的多解问题

本文对二次函数背景下的多解问题分类简析,供大家参考.一、多点在抛物线上例1如图1,已知直线y=x与抛物线y=1/2x^2交于A、B两点.(1)求交点A、B的坐标.(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数y=1/2x^2的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围.(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.     

一道源于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题 .题目　已知椭圆C1 :x21 2 +y26=1 ,圆C2 :x2 +y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1 )当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,如图 1 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1 )直线AB方程为 :y =x+2 ;( 2 )由题意 ,切线PA、PB的斜率存在 ,连结OA .设A(x…     

2002年天津市中考数学一试题的探索

题目 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .若S△AOB=4 ,S△COD=9,则S四边形ABCD的最小值为 (　　 ) .(A) 2 1　 (B) 2 5　 (C) 2 6　 (D) 36我们给出如下解法 ,对试题与解法进行探索 .图 1解 :如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE =h2 ,BD =a ,OD =x .那么 ,OB =a -x .由已知条件可得12 (a -x)h1=S△AOB=4 ,12 xh2 =S△COD=9.从而 ,h1=8a -x,h2 =1 8x.①又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+1 3.于是 ,求四边形ABCD面积的最小值问题转化为求y =S△BOC+…     

数学问答

17.已知直线x y=0,x-y=0,点P(1,2),过点P作直线l与这条直线交于x轴上方的两点A、B,当△ABO面积最小时,求l直线方程.(广西张晓妹)学生数理化中高二版解:过P(1,2)作PD⊥OA于D,作PE⊥OB于E.则PD=22,PE=322.设AD=t,则PBEE=APDDBE=PEA·DPD=23t.S△ABO=12OA·OB=12322 t22 23t=213 22t 94t2=23 42t 29t≥23 42·229=3.当且仅当t=29t时,即t=322时上式取等号,此时A(2,2).故直线l的方程为y=2.(河南介志刚)18.设点C(a,b)(ab≠0)为定点,过点C作两条互相垂直的直线l1与l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求:(1)线段AB的中点M(x,y)…     

一直一曲有玄机

处理富于变化的一直线与某一圆锥曲线的综合问题,方法之一就是退到一元二次方程解决,其三步曲是:①直线方程代入圆锥曲线方程;②利用一元二次方程的韦达定理或判别式;③想干嘛就干嘛·本文意在揭示“想干嘛”有哪些多样化的特征,“就干嘛”又有哪些规律化的玄机·一、角平分线、弦长(或面积)问题例1如图1,过点P(1,2)的直线与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当直线OP平分∠AOB时,求直线AB的方程及△AOB的面积·解:直线y-2=k(x-1),代入y=x2得x2-kx+k-2=0·设交点A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理x1+x2=k,x1x2=k-2·因为直线OP平…     

一次函数与三角形的面积

一次函数与坐标轴围成的图形的面积问题,在历年中考题中常见,它有两种类型:一是由解析式求与坐标轴围成的图形的面积;二是由围成的三角形面积,求该函数的解析式.现举例如下:例1(2004年泰安市中考题)已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0)、且与y轴分别交于B、C两点,求△ABC的面积.解由题意得-4+a=0,a=4.2+b=0,b=-2.在y=2x+4中,令x=0,则y=4.因此该直线交y轴于点B(0,4).在y=-x-2中,令x=0,则y=-2因此该直线交y轴于点C(0,-2).图1S△ABC=21|OA|·(|OB|+|OC|)=21×2×6=6.练习已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=-kx+b+2的图象交…     

2014年高考新课标Ⅰ卷(文)第20题的解法探究及推广

题目 已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (Ⅰ)求M的轨迹方程; (Ⅱ)当|OP| =|OM|时,求l的方程及ΔPOM的面积.