数形结合思想在解题中的应用

数形结合是数学解题中一种常用的思想方法,数与形二者相结合往往能使抽象问题具体化,复杂问题简单化.本文主要介绍了数形结合思想在集合,解不等式,直线方程,以及求函数极限之中的应用。     

对一习题的探讨

“要使方程 lg(kx)=2lg(x 1)只有一个实数解,求常数 k 的取值范围”.解:lg(kx)=lg(x 1)~2得 kx=(x 1)~2,整理得x~2 (2-k)x 1=0,要使方程只有一个实数解,即方程有两个相等的实根,只须判别式Δ=0.得Δ=(2-k)~2-4=k(k-4)=0,k_1=0 k_2=4,当 k=0时,不满足 kx>0,故舍去.     

方程中的函数思想 函数中的方程观点

方程是中学数学的重要知识点 ,函数是高考和竞赛的热点 ,许多方程问题常常运用函数思想解决 ,而数学中不少函数问题往往转化为方程解决 .因此 ,在解决一些函数和方程问题时 ,既要善于运用函数思想解决方程问题 ,又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题 .本文举例说明如下 .1　方程中的函数思想例 1　已知实数 p,q满足方程 lg( lg3p)= lg( 2 - q) + lg( q+ 1 ) ,求 p的取值范围 .简解　可将 p表示成 q的函数 ,从而转化为求函数的值域 .∵lg3p=( 2 - q) ( q+ 1 ) ,∴ p=3(2 - q) (q+1 ) 　 ( - 1 相似文献   

挖掘限度和类别特征,打开求解之门

中学阶段数学内容中,有一些有关求方程的整数解的题目,因其非常规形式使得求解很困难,然而我们此时如果注重探索挖掘和灵活利用数或数式的限度和类别特征,就能柳暗花明,打开求解之门·本文针对这类问题,就如何找到其解题方向介绍几例,仅供参考·例1:用[x]表示不大于实数x的最大整数,解方程lg2x-[lgx]-2=0的实数根·解:∵[lgx]≤lgx∴lg2x-[lgx]-2≥lg2x-lgx-2 lg2x-lgx-2≤0-1≤lgx≤2·又∵lg2x=[lgx] 2,∴lg2x∈Z lgx=-1、0、1、2、3、2·检验得知:lgx=-1、3、2时满足方程lg2x-[lgx]-2=0,故所求的解为x=10-1,x=103,X=102·*思维亮点:①通…     

如何用数形结合法解题

数形结合法,是启发学生思维的一种很好的方法。它是通过数与形之间的对应和转化来解决问题。数量关系借助于图形性质,有利于解题途径的探求,保证在大多数情况下能使问题得到解决而不需要花大量的运算时间。尤其是在许多复杂的情况下,能起到很好的启发作用,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化,给解题带来意想不到的效果。一、对于含有参数的方程,利用数形结合,显得更为直观例1,已知|x|=ax+1有且只有一个根,则有A.a2=1B.a2≤1C.a2≥1D.以上答案都不对分析:作函数y=|x|与y=ax+1的图像,直线y=ax+1过定点A(0,1),当a≥1时,l与y=|x|交于一点在…     

数形结合巧解几何题

<正>所谓数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而优化解题途径.本文举例说明运用数形结合思想将某些几何问题转化为一元二次方程,再借助判别式或者韦达定理来巧妙地解决问题.一、运用判别式解几何题例1 如图1,在锐角△ABC中,有一内接     

参数分离思想及其应用

含参变量问题的分类讨论,一直是高中数学教学的难点和重点,尤其是含参变量方程的根的分布及含参变量函数的值域问题.能否找到一种办法,使得既可避免纷繁的分类讨论,又使运算简洁,还使变量间的内在关系明确地显示出来.为解决这个问题,本文提出了参数分离思想.先看一个例题:例1　已知关于x的方程lg2x=2lg(x a),讨论当a为何值时方程有一解、两解、无解.分析　原方程可变换成下列不等式组:2x>0,x a>0,x a=2x.若用方程思想处理,较繁且有一定难度,分类讨论时易漏情况.所以我们换个角度考虑,用参数分离思想把参数a与x分离在等式的两侧,然后用函数的…     

数形结合解方程

类型一：议程的解的个数问题 主要把方程的解的个数问题转化为两个函数的交点个数问题,利用数形结合思想,将抽象问题直观化、具体化．     

数学教学中如何渗透“数形结合”思想

在解决数学问题时,根据问题的背景、数量关系、图形特征,或使"数"的问题借助于"形"去观察;或将"形"的问题借助于"数"去思考,这种解决问题的思想称为数形结合思想。数形结合是重要的数学思想方法。把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的目的。     

一类特殊的初等超越方程的解法

高中教材中讲授了指数方程、对数方程,三角方程这三种超越方程及其解法,但对一些特殊的多元超越方程的解法没有涉及,本文归纳为如下几个方面的问题: 一、利用平方式的非负性。例1.已知:lg(x~2+9)+lg(y~2+1)=lgx+lgy+lg12,求:x、y。     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

数形结合思想的应用

数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合;或是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的;或是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,通过"以形助数"和"以数辅形"使复杂问题简单化、抽象问题具体化.     

一类对数方程的推广

一次，老师在数学课上要我们解方程lg（x＋11）＋1＝lg（11x－1）．解原方程可变为得原方程的解为x＝111．如果把其中的11变成10或9时，结果如何？变式（1），解方程lg（x＋10）＋1＝lg（10x－1）．解原方程可变为lg（10x＋100）＝lg（10x－1），得X无实数解．变式（2），解方程似X＋9）＋1一议gX一1）．解原方程可变为得X无实数解．由上述方程，我们想如果把这个常数变为a，又会怎么样呢？那就是解方程似三十a）＋l一议ax－1）．解原方程可变为．．．当a＞10时，方程有实数解；当a＜l时，方程无实数解．上述方程都考虑底数为10的对数方程…     

(2+1)维色散长波方程新的行波解

对偏微分方程解的研究主要有三个方向:1)解的数学理论研究.对于一些难以求出解的方程,借助数学理论(解的先验估计、算子理论等)证明解的适定性,属于基础数学研究的内容. 2)解的数值模拟.借助于计算机和计算数学知识,对解的变化态势进行分析和模拟,属于计算数学的内容. 3)求方程的显式解.通过适当的变换,构造出解的解析表达式.属于应用数学的范畴.微分方程的求解问题一直是人们关注的热点问题.本文以齐次平衡原则和试探函数法为基础求出(2+1)维色散长波方程的行波解.     

如何运用“转化策略”解决数学问题

在小学数学解题中,常遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难于解决的问题,可以通过转化策略,使生疏的问题熟悉化、抽象问题具体化、复杂的问题简单化,从而顺利解决问题。     

架设"桥梁"解数学竞赛题

在解数学竞赛问题时,为了减少计算量,使抽象问题具体化,常常要借用一些特殊的方法来解题.现以竞赛题为例,说明架设“桥梁”的方法.     

中考试题中的转化思想

转化是一种重要的数学思想．灵活运用转化思想可以将复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而使数学问题巧妙获解．下面结合2004年中考数学试题介绍转化思想在解题中的应用．     

解析法在解证代数题中的应用

用解析法解证代数题,就是在坐标平面内,根据数,式、方程的几何意义,通过构造几何图形(点、直线、圆和圆锥曲线),利用图形的几何性质和解析几何知识使问题得以解决．这种方法开辟了一条解代数题的新路子,使抽象的代数直观化,具体化．它有助于从多方面、多角度、多渠道去思考阎题,从而有利于培养学生的发散思维和创造思维能力。     

如何培养学生的联想思维能力

联想思维是人们在认识事物的过程中,根据事物之间的联系,由一个事物想到另一个事物的心理过程。它是探索、发现、创造的前提,是分析问题和解决问题的必要过程。根据联想思维的途径,可以从如下四个方面来培养学生的联想思维能力。 一、牢固的基础知识是联想的源泉 例1 解不等式2-<1lg8lg3lg2-++xxx< 3. 联想方向:本题可用常规方法来解,但比较复杂。如果能联想到定比分点的知识,则可另劈蹊径。 解 设x轴有1P、P、2P三点,其坐标分别是2-、1lg8lg3lg2-++xxx、3,P为1P、2P的内分点,则21PPPP=l>0 即21PPPP=l = )11(lg)3)(lg2(lg1lg8lg3lg…     

构造齐次线性方程组解题

高中代数第二册(甲种本)第155页有一定理:“齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零”为应用此定理,我们设法从题设中构造齐次线性方程组,现举例如下: 例1 已知:log_(18) 9=a,18~b=5。求1og_(36)45(系78年高考题) 解:设log_(36) 45=C,而log_(18)9=a,18~b=5,则 alg2 2(a—1)lg3=0 blg2 2blg3-lg5=0 2clg2 2(c-1)lg3-lg5=0将上式视为关于lg2、lg3、lg5的齐次线性方程组,显然有一非零解(lg2,lg3,lg5)