组合恒等式

高中课本"排列、组合、二项式定理"中介绍了一些组合数计算及组合恒等式证明的基本方法.然而,用这些方法解决数学竞赛中的组合恒等式问题还是有些困难的.本文结合实例来介绍数学竞赛中证明组合恒等式的常用方法与技巧,并给出组合恒等式在竞赛中的简单运用.     

组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

另辟蹊径证明组合恒等式

排列与组合是与现实生活息息相关的数学知识,随着现代技术,特别是计算机的飞速发展,使得组合学得到蓬勃发展,成为近若干年来非常活跃的数学分支．在中学数学中排列、组合是一块相对独立的内容,学好这部分知识对提高学生的数学思维能力有积极的促进作用,而解决这类问题的思考方法与其它代数内容有所不同,不能仅靠代数的逻辑推理．组合恒等式是组合教学的重要内容之一,也是研究“概率论”与“组合计数”的重要工具,因此,研究组合恒等式具有深刻的实际意义．     

组合恒等式的证明

<正>组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,并加以推广和补充而形成的一类问题,它具有一定的难度和特殊的技巧,且灵活性强,对学生的运算能力的培养和思维灵活性的训练都有良好的作用。下面就来谈组合恒等式的证明。例1求证:C_n¹+2C_n1+2C_n²+3C_n2+3C_n³+…+n C_n3+…+n C_nⁿ=n·2n=n·2^(n-1)。证法一:设S_n=0C_n(n-1)。证法一:设S_n=0C_n⁰+C_n0+C_n¹+2C_n1+2C_n²+…+nC_n2+…+nC_nⁿ。则S_n=nC_nn。则S_n=nC_nⁿ+(n-1)C_(n-1)n+(n-1)C_(n-1)^(n-1)+…+C_n(n-1)+…+C_n¹+C_n1+C_n⁰两式相加,并结合C_n0两式相加,并结合C_n^k=C_nk=C_n^(n-k),得:     

杨辉恒等式的推广与三类组合恒等式

杨辉恒等式即现行高中数学教材中所述组合数的第二个基本性质:C_(n-1)~(i-1) C_(n-1)~i=C_n~i(1≤i≤n-1)(1) 我们可以结合等差数列将其推广为定理设a_0,a_1,…,a_n是一个等差数列,则当0≤i≤n时,恒有 a_iC_n~i=a_nC_(n-1)~(i-1) a_0C_(n-1)~i(2) 证明:当i=0或n时,按规定有C_(n-1)~n=0,C_(n-1)~(-1)=0,此时,(2)式显然成立。当1≤i≤n-1时,设等差数列a_0,a_1,…,a_n的公差为d,则a_i=a_0 id (0≤i≤n),于是     

巧构组合模型证明组合恒等式

<正>组合恒等式的证明无固定的方法,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成。但是,很多组合恒等式,也可通过巧妙构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组问题的两种计算方法,由解的唯一性来证明组合恒等式成立。     

构造组合模型巧证组合恒等式

构造组合模型巧证组合恒等式甘肃省物资学校许军保证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成．但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明．即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的...     

一个新发现的组合恒等式

排列组合是高中数学教学的重点和难点,也是历年高考考查的热点.学生在此类问题上得分率极低,主要是源于学生对解答排列组合问题的众多方法及其适用背景未能逐一吃透,习惯用模型套问题,不会变通.加强对常见、典型排列组合问题的研究,并试图提炼出可加以逻辑证明的组合恒等式,有助于学生理清排列组合的内部关系并进一步领会通性通法.     

组合恒等式的证明方法

组合恒等式的证明往往具有一定的难度并且灵活性较强,笔者结合具体实例,利用初等数学与高等数学综合交叉的方法给出了多个组合恒等式的证明。     

用概率法证组合恒等式

中学生学习了概率论知识后，证明组合恒等式又多了一个新的武器，同时通过组合恒等式的证明还可使所学的概率知识掌握得更牢固．为帮助学生学好这一内容，特推荐如下的一些方法和技巧，供教学中参考．     

组合恒等式的几何证法

如图1,在直角坐标系中,过x和y轴的正整数点分别画垂直于x和y轴的两族平行线,它们相交成许多小方格,再把杨辉三角中的数字换成组合数写在坐标系的对应格顶点上,把下标换成格顶点的两坐标之和,并规定C_(0 0)~0=1,则杨辉三角变成组合三角。易知,从原点沿格边到格顶点(n,m)的最短折线数是C_(n m)~n为     

一组新的组合恒等式

给出并证明了一组与高阶等比数列有关的组合恒等式。     

组合恒等式的概率证明

用概率方法证明一些关系式是概率论一项重要的应用。这说明概率论中的一些方法具有普遍意义。本文试图用概率方法证明一些组合恒等式。其主要思路是,针对所要证明的组合恒等式构造出适当的概率模型,求出该模型中有关事件的概率,然后根据概率的一些性质,推出应有的结论。     

组合恒等式证法举隅

作者章枚,组合恒等式的证明有一定的难度,需要一定的技巧.本文介绍了证明组合恒等式的迭加法、倒写错位迭加法、拆项求和法、构追模型法、复数求和法、微分法等六种方法.掌握这些方法,并能灵活运用,将有利于提高学生综合运用所学知识解决实际问题的能力.     

略谈组合恒等式的证明

组合恒等式证明问题,一般难度较大,学生往往不易掌握。下面就来谈谈组合恒等式证明的几种方法。 1.置换法。在公式(a+b)~n=C_n~0a~n+C_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+…+C_n~ra~(n-r)b~r+…+C_n~nb~n中,适当地选择某个数来置换a和b,原恒等式即可得证。例1.求证:①2~n-C_n~12~(n-1)+C_n~22~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)2+(-1)~n=1; ②3~n-C_n~13~(n-1)+C_n~23~(n-2)+…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)3+(-1)~n=2~n。     

组合恒等式证明八法

二项式系数可以组成许多有趣的组合恒等式,这些等式常通过简捷的组合分析来得到证明,本文举例说明.     

浅议组合恒等式的证明

中学教材中对组合恒等式的证明介绍极少,学生遇到这类问题往往感到无从下手,这主要是组合恒等式的证明有其特殊的个性,而学生对这些特殊性又缺乏了解．为此,本文介绍组合恒等式的几种常见证明方法,以供学生参考．１公式法组合恒等式的证明中最常用到的公式是Ｃｍｎ＋...     

一个重要的组合恒等式

有一个重要组合恒等式，我们经常使用，即kCn^k=nCn-1^k-1.     

一组新的组合恒等式

给出并证明了一组与高阶等比数列有关的组合恒等式。