复平面内坐标轴的平移

在实平面内将坐标轴平移,使新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标为(h,k),则实平面内任意一点P在新坐标系中的坐标(x',y')和它在旧坐标系中的旧坐标(x,y)之间有下列关系:     

圆锥曲线的中心、直径的简单判定法及其求法

一、圆锥曲线的中心：设二次锥线关于坐标系xOy的方程为L:ax^2 bxy cy^2 dx ey f=0 (1)点O’（x0,y0）为坐标面上的任一点，在点O'(x0,y0)引入新坐标系x'O'y'，则平面上任一点P，关于新坐标第沔的坐标为P'(x',y'），关于原坐标系xOy的坐标为P（x' x0,y' y0)，     

应用伸缩变换解几道高考题

<正>新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了有关坐标系伸缩变换的概念.定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x'=λx(λ>0)y'=μy(μ>0){的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.在这种变换下,有性质1直线与曲线的位置关系保持不变;性质2直线l变成l',且kl'=μλkl;     

高中数学对称问题分类解析

一、点关于已知点或已知直线的对称点问题1.若点P(x,y)关于点(a,b)的对称点为P'(x',y'),则由中点坐标公式得x'=2a-x,y'=2b-y2.若点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=0的对称点为P'(x',y'),则x'=x-2AA2+B2(Ax+By+C),y'=y-2BA2+B2(Ax+By+C)证明∵PP'⊥L,PP'的中点在直线L上,∴Ax'+By'=-Ax-By-2C,y'-yx'-x(-AB)=-1(B≠0)解此方程组便可得前面的结论.三种特例:(1)点P(x,y)关于x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y);(2)点P(x,y)关于直线x=a和y=a的对称点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y);(3)点P(x,y)关于直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,…     

挖掘数学教材中蕴含的美

古代数学家普洛克拉斯曾经说过:“哪里有数学,哪里就有美。”可见,数学中充满了美。仅就新教材而言数学中蕴含的美俯拾即是。一、数学的语言美数学的语言美,首先表现在数学语言丰富多彩,既有文字语言,又有图形语言、符号语言。其次,数学语言既简洁、严谨,又富于形象化、理想化。数学概念的概括、明确,数学定理的简洁、深奥,数学公式的简明、醒目,是其他学科无法与之相比的。在证明定理、推导公式的过程中,数学语言借助于数学方题1平移坐标轴,把原点移到O‘(2,0),求双曲线4x2-3y2=1在新坐标系下的方程;题2平移坐标轴,把原点移到O‘(2,-1),求直线3x‘-4y‘-6=0在原坐标系下的方程;题3已知曲线的方程式2x2 y2-4x-2y=0,试讨论此曲线的性质.4.反思探究过程,提高探究能力.在学生运用自己的探究成果成功地解决上述法和数学符号把思维、运算过程扼要地表现出来,并能准确、深刻地把现象结构表现为其不变式———对客观事物的数学特点在抽象的基础上创造出理想形象。语言精当,文字简约,逻辑严谨,达到了不可随意增删一字的极高境界。二、数学的图形美数学新教材中的图形具有数学所特有的形体美。引进单位圆后,三角函数可以用有向线段...     

1998年全国高考理科(24)题新证

题目 设曲线C的方程是y=x~3-x,将C沿x轴,y轴正向分别平移t,s单位长度后得曲线C. (1)写出曲线C_1的方程;(Ⅱ)证明曲线C与C_1关于点A(t/2,8/2)对称;(Ⅲ)如果曲线C与C_1有且仅有一个公共点,证明:s=(t~3/4)-t且t≠0. 证明 (1)曲线C_1的方程为 y=(x-t)~3-(x-t) s. (Ⅱ)平移坐标系xOy,把原点移到A(t/2,s/2),得新坐标系x′Ay′,则     

二次函数测试题（二）

一、填空题1.把抛物线y=x2向下平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式是!!!!.2.平移抛物线y=x2 2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式!!!!.3.若二次函数y=x2-4x c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=!!!!.(只要求写出一个)4.在直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物     

国家基础教育课程改革实验区2004年中考试题分类选编（一）

一、方程1.① (灵武市 )解方程x2 +2x - 3=0 .　　② (芜湖市 )已知方程 3x2 - 9x+m =0 的一个根是 1,则m的值是　　　　 .③ (潍坊市 )方程 1x- 1- 1x+1=1的解是　　　　 .2 .(海口市 )把分式方程 1x- 2 - 1-x2 -x =1的两边同时乘以(x - 2 ) ,约去分母 ,得 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1- (1-x) =1(B) 1+(1-x) =1(C) 1- (1-x) =x - 2 (D) 1+(1-x) =x - 23.(青岛市 )用换元法解方程x2 +x +1=2x2 +x 时 ,若设x2 +x =y ,则原方程可化为 (　　 ) .(A)y2 +y+2 =0 (B)y2 -y - 2 =0(C)y2 -y +2 =0 (D)y2 +y - 2 =04 .…     

2005年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试题(文理)

一、填空题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 4分 ,共48分 )1 .函数 f(x) =log4(x+1 )的反函数 f- 1 (x)= .2 .方程 4x+2 x-2 =0的解是 .3 .(文 )若x ,y满足条件 x+y≤ 3 ,y≤ 2x ,则z=3x+4y的最大值是 .　 (理 )直角坐标平面xOy中 ,若定点A( 1 ,2 )与动点P(x ,y)满足 OP· OA =4,则点P的轨迹方程是 .4.(文 )与 (理 ) 3同 .　 (理 )在 (x-a) 1 0 的展开式中 ,x7的系数是1 5,则实数a =.5.(文 )函数 y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T =.　 (理 )若双曲线的渐近线方程为 y =± 3x ,它的一个焦点是 ( 1 0 ,0 ) ,则双曲线的方程是 .6.(文 )若cosα =…     

导数de应用

一、曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0).例1垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3-3x2-1相切的直线方程是.解由题意可知,所求直线的斜率k=-3.而由y'=3x2-6x=-3,解得x=1.∴切点坐标为(1,-3).∴所求的切线方程是3x+y=0.例2对于函数y=x3+ax2+bx+c,试确定函数的图像有与x轴平行的切线的条件,并确定该函数在R上是增函数的条件.解若函数的图像有与x轴平行的切线,则方程y'=0有实数解;若该函数在R上是增函数,则y'>0.∵y'=3x2+2ax+b,得驻=4a2-12b≥0,即a2≥3b,∴函数y=x3+ax2+bx+c的图像有与x轴平行的切线的条件是a2≥3b.又若y'=3x2+2ax…     

巧用增元技巧 妙解代数方程

在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方…     

圆锥曲线的一个性质及应用

定理:过圆锥曲线Φ:Φ(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A+C≠0)上的一定点P0(x0,y0)引两条互相垂直的弦P0P1、P0P2,则直角弦过定点N(xo-ΦA+C,y0-ΦA+C),分别以P0P1与P0P2为直径的两圆交点的轨迹方程是:[x-x0+Φ2(A+C)]2+[y-yo+Φ22(A+C)]2=Φ21+Φ224(A+C)2.其中Φ1=Φ1x=2Axo+Byo+D,Φ2=Φ1y=Bxo+2Cyo+E.证明:作平移变换x=x'+x0,y=y'+y0,因P0(x0,y0)在曲线上,所以Ax20+Bx0y0+F=0,曲线Φ的方程变为:Ax'2+Bx'y'+Cy'2+(2Axo+Byo+D)x'+(Bxo+2Cyo+E)y'〕=0(1)设角弦P1P2的方程为Px'+qy'=1(2)由(1)、(2)式构造齐次方程,得Ax'2…     

椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

利用圆的均匀压缩求椭圆面积

将平面上一点P(x_1,y_1),移到新的位置P'(x_1,y_1'),使y_1'=ky_1。这种变换叫做点P向X轴均匀压缩。常数k≠0叫做压缩系数。本文下面取0b>0),可得出椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1。证明如下。设P(x,y)是圆上任意一点,经压缩变换后的对应点是P'(x',y'),则有x'=x,y'=ky=b/a y,由此得y=a/b y',代入x~2+y~2=a~2,得x'~2+a~2/b~2 y'~2=a~2,于是有x'~2/a~2+y'~2/b~2=1,     

活用一次方程(组)的解巧妙解题

活用一次方程或一次方程组的解可巧妙解题 ,现略举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　已知关于 x、y 的方程组3x - 4y=- 6 ,ax + 2 by=- 4和 3bx+ 2 ay=0 ,2 x- y=1有相同的解 ,求 a和 b的值 .分析 :两个方程组的解相同 ,则这个解必定同时适合这两个方程组中的四个方程 ,从而它必定是方程组( 1) 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1和 ( 2 ) ax+ 2 by=- 4,3bx+ 2 ay=0 的解 .因此 ,可有如下巧解 .解 :解方程组 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1. 得 x=2 ,y=3.把 x=2 ,y=3.代入 ( 2 )可得 2 a+ 6 b=- 4,6 a+ 6 b=0 .解之 ,得 a=1,b=- 1.例 2　王明和李芳同求方程 ax + b…     

求对称曲线方程的公式算法

众所周知,曲线f(x,y)=0关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0,关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0,关于原点成中心对称的曲线方程是f(-x,-y)=0由此想到曲线f(x,y)=0关于任何已知直线ax+by+c=0成轴对称的曲线方程是什么形式?关于任何已知点M(a,b)成中心对称的曲线方程又是什么形式?这就是本文要探讨的问题。 先看一名中学生对下面一道习题的奇妙解法。题目是:“求直线3x-4y+2=0关于直线x-y+3=0成轴对称的直线方程。” 解 由x-y+3=0,得x=y-3,y=x+3,同时代入3x-4y+2=0中,得3(y-3)-4(x+3)+2=0,即4x-3y+19=0。此即为所求的对称直线方程。     

二元一次方程组

基础篇课时一　一次方程组有关概念及解法诊断练习一、填空题1.在方程:xy=4,x+y=2,x2-y=3,x+y=z,x+1y=1中,属于二元一次方程的是.2.方程3x+2y=-1的一个解中x=2,则这个解中y=.3.已知方程12x-13y=1,用含x的代数式表示y=.4.在求解二元一次方程组x=2y,2x-3y=4时,用的方法消去未知数x简便,消去未知数x后,就把问题转化为问题.二、选择题1.若关于x,y的二元一次方程2kx+y=1的解是x=2,y=-7.则k的值为(　　)(A)4.　(B)2.　(C)3.　(D)-2.2.下列方程组中是二元一次方程组的是(　　)(A)x+y=1,xy=3.　　(B)3x+y=2,2y+z=5.(C)x+3y=4,x+1y=3.(D)x=3,2x-3…     

一九八六年上海市高考数学(理)试题

一、(本题满分40分)本题共有20个小题,每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的.答题时,在答题纸上把代表正确结论代号的小圈按答题纸上的要求涂黑,每小题涂对得2分,不涂、涂错或涂黑的小圈数超过一个,则得零分. 1.平移坐标轴,把原点O(0,0)移到O'(2,-1),则点(-1,-3)在新坐标系中的坐标是     

浅谈图象按向量平移与坐标平移

谈及图象变换,常常会遇到图象按向量平移与按坐标平移的问题,这两种平移并非一种变换,请看下例. 例1 已知函数f(x)=2(x-1)2 3, (1)将函数y=f(x)的图象按向量a=(1,3)平移,求平移后的图象所对应的解析式; (2)平移坐标系,使新坐标系的原点位于     

用矢量分析法推导加速度合成定理

任一变矢量A在静坐标系中对时间的变化率,称为绝对导数·用(dA/dt)j表示。 任一变矢量A在动坐标系中对时间的变化率,称为相 对导数。它的意义就是动坐标系认为不动时变 矢量A对时间的变化率,用(dA/dt)d表示。 设一瞬时动坐标系 O' X'y'z'绕定轴 OZ以角速度ω转动,任一变矢量A的始端 在动坐标系的原点 O'上,末端在动坐标系中 的坐标为X'、y'、z',如果以i'、j'、k' 表示沿动坐标系O' X' y' z' 坐标轴的单位 矢量,则矢量A可表示为: