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一、判别式法对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x)≥0恒成立,则{a>0,Δ≤0;若f(x)≤0恒成立,则{a<0,Δ≤0.例1奇函数f(x)是R上的减函数,若对任意x∈R,有f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立,求k的取值范围.解析由已知得: 相似文献
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<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于 相似文献
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李锦昱 《数理天地(高中版)》2003,(11)
数列极限中有著名的“两边夹”定理: 若an≤bn≤cn,且liman=limcn=A,则limbn=A. 由于数列是一种特殊的函数,上述定理可以移植到函数当中: 如果函数f(x)在区间D上满足g(x)≤f(x)≤h(x),且g(x)≤h(x)在区间D上恒成立.若存在x0∈D使g(x0)=h(x0)=A,则f(x0)=A. 不妨将这一命题称为函数中的“两边夹定理”,这个十分简明的结论,在高中数学中有着非常重要的作用,但在具体应用中要注意“恒”成立这一条 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(1)
<正>一、关于存在性问题存在性不等式中变量的取值范围问题:若函数f(x)具有最小值,若存在x∈D,使得f(x)≤a成立,则只须当x∈D时,f(x)min≤a;若函数f(x)具有最大值,若存在x∈D,使得f(x)≥a成立,则只须当x∈D时,f(x)_(max)≥a。这类问题也可归结为函数的最值问题,利用函数的单调性时,导数仍 相似文献
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导数的应用是中学数学的一个重要内容.下面讨论利用导数研究函数性质.1利用导数研究函数的单调性在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件是:对于任意的x∈(a,b),有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不存在连续的点使得f'(x)=0.例1已知f(x)=kx3?x2+kx/3?16在R上单调递增,则k的取值范围是()A、k>1B、k≥1C、k>1D、k≥1分析由f(x)=kx3?x2+kx/3?16得f'(x)=3k x2?2x+k/3,又∵函数f(x)在R上单调递增,∴f'(x)≥0在R上恒成立,即3k x2?2x+k/3≥0在x∈R上恒成立.∴30,44310.3kk k??????=>???≤∴R≥1… 相似文献
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<正>一、问题高中数学的"恒成立"问题是我们经常遇到的.本文对一个具体的"恒成立"问题作一些探索,以抛砖引玉.问题已知函数f(x)=x(lnx+3/2),g(x)=a/3x3+x(a∈R),若g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围.二、解题策略上述问题中,g(x)≥f(x)恒成立,即 相似文献
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设F(x)是关于x的一个代数函数 ,称方程F(x) =x的根为函数F(x)的不动点 .本文以实例来说明求函数不动点的方法和函数不动点在数学解题中的应用 ,供读者参考 .1 求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧 ,才能使问题迅速获解 .例 1 M是形如f(x) =ax +b(a、b∈R)的实变量x的非零函数集 ,且M具有下列性质 :(i)若f、g∈M ,则g f∈M ,其中定义(g f) (x) =g[f(x) ];(ii)若f∈M ,且f(x) =ax +b ,则反函数f-1也属于M ,这里f-1(x) =x -ba ;(iii)对M中每一个f,存在一实数xj,使得f(xj) =xj.求证 :总存在一个实数k ,对所有f∈M有f… 相似文献
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例若a是非零常数,对于任意的x∈R,函数f(x)满足f(x a)=1/2 √f(x)-(f(x))2,求证:f(x)是周期函数. 证明由f(x a)≥1/2在x∈R时恒成立,得f(x)≥1/2在x∈R时恒成立. 相似文献
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一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数y=f(x)与y=g(x)的定义域和值域都是R,且都有反函数.则函数y=f-1(g-1(f(x)))的反函数是().(A)y=f(g(f-1(x)))(B)y=f(g-1(f-1(x)))(C)y=f-1(g(f(x)))(D)y=f-1(g-1(f(x)))2.集合M由满足如下条件的函数f(x)组成:当x1、x2∈[-1,1]时,有|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.对于两个函数f1(x)=x2-2x+5,f2(x)=|x|,以下关系中成立的是().(A)f1∈M,f2∈M(B)f1∈M,f2∈M(C)f1∈M,f2∈M(D)f1∈M,f2∈M3.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称.若2x1x2=-1,则2m的值是().(A)3(B)4(C)5(D)64.在△ABC中,… 相似文献
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任杰 《数理化学习(高中版)》2006,(18)
不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题.这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理.而导数是研究函数性质的有力工具,因而将不等式f(x)≥g(x)恒成立转化为F(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立问题,再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值,就顺理成章了.一、利用函数的单调性例1(2006年全国卷Ⅱ)设函数f(x)=(x 1)ln(x 1).若对所有x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.解:构造相应函数g(x)=(x 1)ln(x 1)-ax,于是不等式f(x)≥ax转化为g(x)≥g(0)对x≥0恒成立的问题.对g(x)求导数,得g′(x)=ln(x 1) 1-a.令g′(x)=0,解得x=e… 相似文献
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丁丰庆 《数理天地(高中版)》2003,(1)
依据若f(x)≥a,g(x)≥b取等号的条件能同时成立,则f(x)+g(x)的最小值为a+b,或者当f(x)≤a,g(x)≤b取等号的条件能同时成立,则f(x)+g(x)的最大值为a+b. 相似文献
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邓绍锋 《课程教材教学研究(小教研究)》2009,(5)
近年来,高考试卷中经常出现不等式恒成立的问题,不等式恒成立与函数的最值即甬数图象的最值点密切相关,也就是利用极端思想的原理.不等式f(x)≥a恒成立,其实质就是f(x)的最小值大于或等于a,不等式f(x)≤a恒成立,实质是f(x)的最大值小于等于a.不等式f(x)≥g(x)恒成立实质是f(x)-g(x)的最大值大于等于0,不等式f(x)≤g(x)恒成立,实质是f(x)-g(x)的最大值小于等于0.这类问题有时可以用图象法解决. 相似文献
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正笔者在批改学生作业时发现,学生在不等式恒成立的条件下求参数范围竟然不知所措,因此笔者觉得有必要对此类问题进行简单分析,并对几种方法进行对比分析,以供同行研讨.1.问题的提出已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(k∈R),(1)若k=2,求以M(2,f(2))为切点的曲线的切线方程;(2)若函数f(x)≤0恒成立,确定实数k的取值范围;(3)证明: 相似文献
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王万军 《数理天地(高中版)》2002,(4)
1.“定义域”及“值域”例1 设函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域是R,求a的取值范围; (2)若f(x)的值域是R,求a的取值范围. 分析 (1)f(x)的定义域是R,即对一切r∈R.ax2+2x+1恒为正数,其充要条件是 相似文献
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数学中的恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质,渗透着不等式的解法,还贯穿了换元法、数形结合、函数与方程等思想,有利于培养学生学生的综合能力,也是高考的一个热点.下面谈一谈恒成立问题的求解策略.首先,对于恒成立问题,有以下结论:如果函数y=f(x)在定义域D上存在最大值f(x)max(或最小值f(x)min),则g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立g(a)≥f(x)max(或g(a)≤f(x)min).可以看出,求解恒成立问题可以转化为求函数的最值问题.根据具体问题,可采用以下方法:一、主元素法这种方法就是改变自变量与参数的位置,当变化的量较多时,选择其中一个… 相似文献
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易错点1:混淆“在某点的切线”与“过某点的切线”例1定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)过点(1,1)作函数f(x)的图像的切线,求切线的方程.(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.难度系数0.65错解(1)由f(x)=x2+x,可知当x=1时,f(1)=2. 相似文献
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杨冬冬 《中学数学研究(江西师大)》2023,(4):47-48
<正>在解不等式或恒成立问题中,有很大一部分题目是由函数单调性构造出来的,若能找出这些函数模型(即不等式或等式两边对应的同一函数),无疑会大大加快解决这些问题的速度.比如F(x)≥0能等价变形成f [g(x)]≥f [h(x)],然后利用函数f(x)的单调性,再转化为g(x)≥h(x)(或者g(x)≤h(x)),这种方法称为同构不等式法(等号成立时,称为同构等式法),简称同构法. 相似文献