解析几何最值问题求解的若干策略

最值问题是解析几何中的一类常见而重要题型,它的解决要涉及到函数、不等式、三角函数、平面几何知识等重要内容,最值问题也涉及到许多重要的数学思想方法.重视最值问题的求法,有助于培养学生的综合分析、解决问题的能力,本文结合实例介绍几种常见的求法.一、运用圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义是在求解解析几何最值问题时可     

求二面角大小的常用方法

二面角问题是立体几何中的一个重点也是难点,它的求法较多,且在各种求法中需要充分运用立体几何中的线线、线面、面面关系,教材引进空间向量后解法就更多了.因此,二面角问题具有综合性强、灵活性大的特点,这一内容也自然成为高考的热点,学生需要掌握这一问题的常用方法.PQMBAN图11.直接作出二面角的平面角来求其大小例1在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠C-PA=60°,求二面角A-PB-C的余弦值.解:如图1,在二面角的棱PB上任取一点Q,在面PBA和面PBC上分别作QM⊥PB,QN⊥PB,则由定义可得∠MQN即为二面角A-PB-C的平面角.设PQ=a,则…     

浅谈多面体与球的“切”、“接”问题

由于多面体与球的组合体问题最能考查同学们的空间想象能力和逻辑思维能力,而成为近几年高考的热点问题之一,同学们往往找不准过球心和多面体一条棱的轴截面,而导致所构造的球的半径与多面体的要素不在同一个平面内,导致错误百出.下面把高中常见的正多面体与球"切""接"问题的求法归纳如下,然后通过例子展示更一般问题的求法.     

立体几何的最值问题及求解方法

【考试要点】求解立几最值问题主要应用代数中有关函数知识和不等式有关知识求解 .解题的关键是恰当引入参变量 (一元或二元 ) ,建立目标函数 ,然后由表达式的特点求最值 .一般有如下一些途径求最值 :①“选变量 ,寻定值”运用不等式最值定值 ;②运用立体几何的有关定义求最值 ;③运用对称变换求最值 ;④运用三角函数的有界性求最值 ;⑤运用一元二次方程的判别式求最值 ;⑥运用一元二次函数求最值 .立体几何中空间距离、截面面积的最大值或最小值 ,与组合体有关的几何体的表面积 ,体积的最大值和最小值 ,以及取得最值时有关空间元素的位置、…     

例谈合力最值的求法

一、两个合力的最值求法 问题1两个共点力F1和F2间的夹角为a,则合力的取值范围如何呢？     

将空间问题化归为平面问题的几种途径

化归思想是数学基本思想之一,即将新的问题化归为熟知的或者易于解决的问题,使新问题获得解决,取得一种“反弹”成功效应。化归思想在立几中的应用是多方面的,而空间问题化归为平面问题则是立几中重要的解题策略。一、利用投影将空间问题化归为平面问题例1 求证:四面体中有两组对棱平方和相等,则第三组对棱必互相垂直。分析:如图1,设在四面体ABCD中,AB~2 CD~2=AD~2 BC~2,现证AC⊥BD,很自然想到立几中的“骨干”定理——三垂线定理及其逆定理,故需作面垂线AH⊥平面BCD、若能证得CH⊥BD就能推出结论。这时空间四边形问题已化归为平面四边形问题,只须证明四边形BCDH中其对角线互相垂直。简证:设∠BOH=a,OB=a,OC=b,OD=     

例谈二面角求法种种

二面角是空间角的一种,是立体几何的重要内容之一.下面从三方面对二面角的求法进行探讨,供大家参考. 1.有棱二面角的平面角的作(找)法 所谓有棱二面角就是从题中可以看出两个半平面的交线,这类问题常根据定义、三垂线定理或面面垂直的性质定理,作出二面角的平面角,然后解三角形进行计算.     

几个立几试题的向量解法

在历届高考试题中，立几试题占有一定的份量．对某些立几试题如用向量方法来解，常常是方便的．现以92年和93年高考试题中几个立几题为例来说明之．例1（92年文、理科（14）题）在棱长为1的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，M和N分别为A_1B_1和BB_1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是解我们来计算向量AM与CN的内积（数量积），一方面有其中cosθ就是题中所要求的AM与CN所成角的余弦值．又另一方面，因为比较（1）、（2）两式，即知例2（92年文科（26）题）如图，已知ABCD-A_1B_1C_1D_1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA_1…     

解析几何的最值问题初探

解析几何的最值问题,往往与代数、三角、几何等诸多知识联系在一起,使问题具有高度的综合性和灵活性。因此常用来考查学生综合运用知识的能力,需引起高度的重视。下面从几个方面谈谈最值问题的解法。一、定义法根据定义解题是最基本的方法,它不仅可以加深学生对概念的理解,而且还可以简化解题过程。正确理解定义,并能灵活运用,有利于快速简便地解决相关问题。(一)利用第一定义例1已知点A(1,1)为椭圆x92+y52=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,求｜PF1｜+｜PA｜的最值。解析:不论用椭圆的普通方程(设P(x,y)),还是用椭圆的参数方程(…     

浅谈立几计算中线段、面积、体积的转化

有很多文章对立几计算题中的转化法作了详细的论述。如求异面直线间的距离转化为“线面距离”或“面面距离”,转化为“点面距离”再转化为三棱锥的高等等。本文借两道题的分析和解答,说明立几计算题中线段、面积、体积相互转化的思想方法,供参考。例1 如图,在任意四面体中,E、F分别为对棱AB、CD的中点,过E、F作四面体的截面交相对棱BC、AD(或其延长线)于G、H,求证:GH被EF所平分。     

二面角的几种求法

二面角是高中立体几何的一个重点,也是一个难点.如何把二面角化归为平面角,或借助立体几何的某些公式直接求出,学生往往束手无策,本文介绍二面角的几种求法,为学生解题提供几个着眼点. 1 定义法 例1 经S引三条 等长但不共面的线段 SA,SB,SC,且ASB 60ASC==?BSC 90=?求二面角ABCS--的大小. 分析 由题设条件可知ABAC=.取BC中点O,连,AOSO则有,AOBCSOBC^^,所以AOS为二面角ABCS--的平面角.引入长度参数SAa=,由余弦定理或勾股定理可得90AOS=? 2 三垂线定理法 例2 如图,设E、F、 G为正方体1AC中相应 棱的中点,求截面EFG与 …     

立体几何动态最值型选填压轴题解法

<正>近几年高考题中,立体几何动态最值型题目往往作为压轴题出现。这种题型要求空间想像能力较强,计算复杂,下面从三个角度讲述分析思路和简化计算的方法。一、建系函数法例1 (2018全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大     

与椭圆有关的一些最值的求法

椭圆曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;另一类是椭圆曲线中有关几何元素的最值问题.这些问题往往通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式等知识以及观图、设参、转化、替换等途径来解决(当然在解决其他圆锥曲线问题时也可选用类似方法).以下通过例子简析其一般求法.     

浅谈解析几何中求最值的几种方法

解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地,近几年的高考也经常出现.最值问题涉及的知识面宽,解题方法较灵活,学生时常感到无从下手.为了解决这个问题,现举例说明求最值的几种方法,请大家指正.一、利用定义圆锥曲线的定义,是曲线上的动点本质属性的反映.研究圆锥曲线的最值,巧妙地应用定义,可把问题简化,速达目的.     

例析最值问题解法策略

在解决函数问题时,常常会碰到求某个变量的最大值或最小值．求函数最值的方法很多,下面就结合例题归纳一下最值的几种求法．     

例谈求解最值问题的数形结合方法

一、利用圆锥曲线的定义有关圆锥曲线的最值问题,利用圆锥曲线的定义,常常会使问题的解决显得非常巧妙!例1若点A坐标为(3,2),F为抛物线y~2= 2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使|PA| |PF|取得最小值,点P的坐标为______。     

例说降维转化法解立几问题

所谓降维转化 ,就是将立体几何 (三维 )的问题转化为平面几何 (二维 )的问题 ,也就是将空间的点、线间的关系放到同一平面上讲行分析、研究 ,从而找到解题途径 .转化的常用方法有 :截、展、移、转等 .一、截　所谓“截”就是在能够反映各元素的关系的适当位置作空间图形一个截面 ,在这个截面内集中研究各元素间的关系 ,使空间问题转化为平面问题 .例 1　在三棱锥Ｐ -ＡＢＣ中 ,已知ＰＡ =ａ ,其余各棱长为ｂ,求体积 .分析 :若以△ＡＢＣ为底面 ,求高比较困难 .若以一棱ＢＣ为高 ,即作一个截面ＰＡＥ和棱ＢＣ垂直 ,这样就可把求三维体积转化…     

一堂研究课的来龙去脉——对基本不等式的探究及应用

1 一个闪念 本刊2004年第3期发表陈立军老师《究竟为什么错》一文，文中谈到学生不易掌握一类最值问题的求法．笔者在教学中也反复遇到类似情况，虽然在教学中不断地反思与改进，但一直都未能完美地解决．后来又在本刊2004年第11期上看到孙建斌老师的文章《一类二元函数最值问题的一种解题策略》，读后非常兴奋！因为若用这种策略去解决前一类最值问题，简直易如反掌！突然有一个念头闪过：是否可以先让学生掌握这种策略，然后再用它解决前类最值问题？！     

异面直线间距离求法种种

求异面直线间的距离是立体几何中的一个重点，也是一个难点，它涉及概念多，覆盖知识面广，综合性强．由于课本对这类问题的解法介绍得不多，再加上学生受解平几问题的影响，因此在解答此类问题时常常思维受阻．笔者就自己在教学与教研中的一些体会，归纳总结异面直线间距离的一些常用求法，可供同仁在教学中参考．一、直接求法分析图形的特征，通过辅助线将空间线段转化为同一平面中的相关关系，可以直接求出异面直线间距离．例1在棱长为a的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，求BD_l和B_1C间的距离．解如图1，由B_1C上BC_1，B_1CC_1D_1，…     

构造向量 求等式条件下的最值

文[1]用7种方法14个例题讨论了等式条件下的最值的求法,笔者读后,启发很大.在IMO、国内外数学竞赛以及一些数学杂志的问题征解中,常常出现一些高难度的等式条件下的最值问题,对于解决这类问题没有统一的方法,任何一种方法都不是万能的,文[1]提供的7种方法只能解决这类问题的一部分.